Бесекерский В.А. Теория систем автоматического регулирования (1972) (1151987), страница 102
Текст из файла (страница 102)
Амплитуда всегда является лишь верхней границей, но не обязательно максимумом этих членов. Отметим также, что последовательность (15.148) не изменится, если 1О заменить частоту ~ .= — частотой ( + й~„где ~з — — Т ' — частота работы 2з ключа, а й — целое число. Невозможно различить две частоты, разность между которыми равна целому кратному частоты повторения ~Ф Так, например, синусоидальная последовательность с частотой( = ~, состоит нз одного единственного члена, повторяющегося неограниченное число раз, и, следовательно, она неотличима от последовательности с нулевой частотой ~ =- О.
Из предыдущего следует, что, меняя частоту синусоидальной последовательности на входе ~ в пределах от 0 до /Ф можно охватить весь диапааон возможных частот. Можно также показать, что достаточно исследовать поведение импульсного фильтра в диапазоне частот 0(~ < 0,5/ю так кан для интервала частот 0,5~э ( / «= ~з может быть использована дополнительная частота ~', выбранная так, чтобы выполнялось условие / + (' = ~р. При атом начальная фаза 1р должна быть заменена начальной фазой я — 1р. Это положение аналогично тому, что при исследовании непрерывных систем в интервале частот — оо ( ~ ~ оо достаточно охватить только положительные частоты, т. е. интервал 0 < г < оо.
Сннусоидальная последовательность (15 148) может быть заменена символической записью последовательности комплексных чисел Х [П[ — ПЕ1(пат+Щ = ОЕ3пвт (15.149) где а = ае'~ — комплексное число Как и в случае непрерывных систем, символичность записи заключается в том, что на самом деле х [и[ равно мнимой составляющей правой части (15.149). Введем обозначение ежг = г. Тогда последовательность (15.149) приобретает вид (15.150) х [и[ = аз". В этой формуле г — произвольное комплексное число с модулем, равным единице. Следовательно, каждой частоте соответствует определенная точка на окружности единичного радиуса, расположенной на комплексной плоскости (рис.
15.15). Двум эквивалентным частотам, т. е. частотам, различающимся на целое кратное частоты повторения, соответствует одна и та же точка на этой окружности. Частота о1 = 0 соответствует точка на вещественной оси з =- 1, а частоте ю .— — 0,5вэ — ДиаметРально пРотивоположнаЯ точка з = — 1. Частоте Ф = 0,25ю,,соответствует точка з = 1, и т. д. Когда частота Ф наменяется от 0 до Фр, представляющая ее точка совершает один 464 ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ Ые 1О полный оборот против часовой стрелки. Двум симметричным относительно вещественной оси точкам, т.
е. двум комплексным сопряженным числам с модулями, равяыми единице, соответствуют две взаимно дополняющие частоты ОО и гэ'. Следовательно, совокупность точек. расположенных на одной верхней (или нижней) полуокружности единичного радиуса, достаточна для отображения всего многообразия частот. Найдем теперь реакцию импульсного фильтра на синусоидальную последовательность (15.149).
Ьудем предполагать прп этом, что импульсный фильтр является устойчивым. Поскольку синусоидальная последовательность на входе всегда ограничена, то н реакция устойчивого фильтра на эту последовательность должна представлять собой определенную ограниченную последовательность на выходе. В соответствии с формулой (15.118) выходная величина в этом случае б удет для уста но в ившегося режима у[п]= ~1 х[т)и>„[п — т]= ~~~~ х[п — т]и:„[т]== т:О т.= Π— ~ иги[т]ае" —...аз" ~, иге[т]з ".
(15Л51) «г — О ггг=-О Эта формула может быть иредставлена в следу1ощем символическом виде: у [и] =- аз" И' (г) =- х ! п [ И' (э). где г =- е"", О1=.-2пТ,1. Здесь введена величина (15.152) И' (Е]гет), 2' иг [т! З пг=О з е1вт (15.153) у [и, е[ =- И' (г, е) х! и], 3 =- е'"г, (15.154) где Иг(з, е) — передаточная функция (15.124), Таким образом, частотная передаточная функция может быть найдена нз дискретной передаточной функции импульсного фильтра И'(з) или И'(г, е) посредством подстановки О = е' '. П р и и е р. Пусть непрерывная часть импульсного фильтра предста- вляет собой апериоднческое звено первого порядка с передаточной функцией И'О (р) =- Й (1 + Т,р) ', а импульсный элемент генерирует короткие прямо- угольные импульсы продолжительности ге-.
†.уТ. Приведенная функция веса такого звена ТТЬ иг (О) = — е т, Дискретная передаточная функция И' (г) = 2 (1е, (г)) = — , гга е (15.155) которая по своему физическому смыслу аналогична частотной передаточной функции непрерывной системы. Как видно из (15.153), для данного импульсного фильтра она зависит только от частоты ОО и является периодической функцией частоты с периодом го, =- 2пТ-'. Лмплитуду и фазу последовательности выходного сигнала (15.152) можно найти обычным приемом по комплексному выражению И'(з).
Отношение амплитуд выходного и входного сигналов равно модулю, а разность их фаз— аргументу этого выражения. В общем случае, когда е ~ О, формула (15.152) может быть представлена в виде г ев.е1 гстоичивссть и к~честно нмпгльсных сне~ем регтлнровання 465 где А=-е — тlте Сделаем подстановку г=ег"т=соааТ+уз(аеоТ. В результате получим Т тй (сов ~Т+1 вш еТ) (15.156) Те совевТ вЂ” д+(вшевТ ' Модуль и аргумент этого выражения ! д'(ест) ~ Т тй 1 е * ~/1 + Зв — 2И сов ееТ ер .= агя ее' (е1"'т)=. евТ вЂ” агс16 вра евТ еов евТ вЂ” о' (15Л57) Аналогичным образом могут быть найдены частотные передаточные функции замкнутых систем Ф (г) и Ф (г) при г = е1"т.
4 15.4. Устойчивость и качество импульсных систем регулирования В импульсных системах автоматического регулирования устойчивость будет иметь место, если все полюсы передаточной функции замкнутой системы, т. е. корни характеристического уравнения, лежат в левой полуплоскости корней. Границей устойчивости является мнимая ось (рис. 15Л6, а). Для Рис. 15.16. 1 + И' (г) = 0 (15Л58) должны быть ограничены по модулю: ~ ге ) с.
1, что совпадает с результатом 1 15.1. Так, например, для характеристического уравнения первого порядка г+А =О (15Л59) очевидное условие устойчивости будет ~ А ! (1. Аналогичным образом можно показать, что для уравнения второго порядка г'+Аг+В = 0 30 В, А. Беееверопвй, Е. П. Попов (15.160) аостроеяня области устойчивости в плоскости комплексной величины г отобразим мнимую ось плоскости величины р на плоскость г. Для этой цели в соответствии с методом Ю-разбиения необходимо сделать подстановку р .= и» и менять затем частоту ев в пределах от — со до +ос. Таким образом, аолучаем г = ерг = еевг.
При изменении частот в указанных аределах на плоскости г получится окружность единичного радиуса, представляющая собой область устойчивости (рис. 15.16, б), Условием устойчивости будет нахождение особых точек (полюсов) передаточной функции замкнутой системы Ф (г) внутри атой окружности. Следователыю, корни характеристического уравнения 1сл, 1Ь импульсные системы путем вычисления его корней получаются три условия устойчивости' 1+А-,В~0, 1 1 — А+В~о,, В<1, ) (15.161) Для уравнений более высокого порядка исследование устойчивости усложняется. Для облегчения аадачи иногда используется так называемое и1 -преобразование, посредством которого окружность единичного радиуса (рис. 15.16, б) отображается на мнимую ось плоскости комплексной величины 1в. Для преобразования используется подстановка 1 -'- ь 3 или, соответственно, с — 1 и1 = с+1 (15.163) Сделав подстановку з = е1ет, получаем из (15.163) е1"т — 1 ' вТ мт 1 ~ 2 (15.164) сеТ где Л=1д — представляет собой так называемую относительную псевдо- 2 частоту.
Иногда вводится в рассмотрение абсолютная псевдвчастота 2 ыТ 2Х Т 2 Т (15.165) ыТ О)Т При малых частотах гд — — и псевдочастота Х ж ю. Поэтому при 2 2 выполнении условия юТ (2 можно заменить в расчетах псевдочастоту действительной частотой, что может быть использовано, в частности. при расчетах установившихся оп1нбок прн гармоническом входном сигнале. Нетрудно видеть, что при изменении частоты в пределах — -'„- ( ю ( — ', псевдочастота пробегает все значения от — со до +со, а комплексная величина ю движется по оси мнимых от — )со до 1'оо.
Областью устойчивости в этом случае оказывается вся левая полуплоскость (рис. 15А6, в). Поэтому для передаточной функции с и-преобразованием могут использоваться обычные критерии устойчивости, справедливые для непрерывных систем. Рассмотрим, например, характеристическое уравнение второго порядка (15А60). Посредством подстановки (15.162) оно преобразуется к виду (1 — А+В)юв+2(1 — В)й+1+А+В=-О. (15.166) На основании алгебраического критерия (см. 1 6,2) условие устойчивости для уравнения второго порядка сводится к требованию положительности всех коэффициентов. Отсюда получасотся условия (15.161).
Заметим также, что прнмоненио 1в-преобразования н псевдочастоты Х приводит передаточную функцию разомкнутой системы к виду, удобному для использования метода логарифмических частотных характеристик. Для определения устойчивости замкнутой импульсной системы возможно использование критерия Найквиста. Для этой цели можно применять передаточную функцию разомкнутой системы, получепнусо как на основе г-преобразования, так и па основе и:-преобразования. И в том и в другом случае амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы не дол1кна охватывать точку ( — 1, 10). При использовании передаточной функции РУ (з) г ы.и кстоичивость и качвство импульсных систвм эвгклиэовхния 467 амплитудно-фазовая характеристика становится периодической функцией с периодом 2пТ '.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
