Бесекерский В.А. Теория систем автоматического регулирования (1972) (1151987), страница 103
Текст из файла (страница 103)
Пусть, например, дискретная передаточная функция разомкнутой системы имеет вид И'(з) =- (15.167) Получим частотную передаточную функцию подстановкой х = еээт: И'(с"'г) — ., = -- — — у — с1д — = и+ уи. (15.168) КТ КТ, КТ мТ соэ мТ вЂ” Г+у яа мТ 2 2 2 В координатах и = Ве И'и и = [ш И' амплитудно-фазовая характеристика будет представлять собой вертикальную прямую линию, отстоящую влево от начала координат на величину 0,5 КТ. Граница устойчивости будет при прохождении этой прямой через точку ( — 1, у0). Отсюда можно получить условие устойчивости КТ 2.
Получим теперь частотную передаточную функцию на основе илпреобрааовання. Для этого в формуле (15.167) применим подстановку (15Л62), В результате получим передаточную функцию разомкнутой системы как функцию комплексной величины и: (15 Л69) Частотная передаточная функция разомкнутой системы при подста- . Т павке и~ =-у — , 2 Т ( У 2 ) Т ~ 2 (15.170) х [и[ = ссд [п) — - с,К [и[+ =" К[п)+..., (15.171) где коэффициенты ошибок сю со сз и т. д.
представляют собой коэффи- циенты разложения передаточной функции по ошибке Ф„(з) в ряд Маклорена пу~ Нетрудно видеть, что частотная передаточная функция (15Л70) в зависимости от псевдочастоты имеет более простой вид по сравнению с (15Л69). По выражению (15.170) может быть, в частности, просто построена асимптотическая л. а. х. Подобным же образом могут быть получены дискретные передаточные функции Ф (ю) и Ф„".
(и), а также частотные передаточные функции Ф (у — 2) ,, ~,т,,~ Оценка качества импульсной системы регулирования может делаться построением кривой переходного процесса, что при использовании з-преобразования осуществляется сравнительно легко (1 15.2), а также посредством различных критериев качества. Наиболее простым является использование показателя колебательности, который может характеризовать запас устойчивости системы. Как и в случае непрерывных систем, получение ааданного показателя колебательности сводится к требованию, чтобы амплитудно-фааовая характеристика системы не заходила в запретную зону, окружающую точку ( — 1, у0) в соответствии с рис.
8.27. Установившаяся точность импульсной системы может оцениваться по коэффициентам ошибок. Аналогично непрерывным системам, начиная с некоторого момента времени ошибку импульсной системы регулирования можно представить в виде ряда (еа. 1Ь 466 имптльснык систкмы по степеням р, т. е. (15.172) Величины, обратные мноясителям при производных выраясения (15.171), по аналогии с непрерывными системами могут называться соответствую- щими добротностями.
Например, добротность но скорости 1 К,= —, аг ' (15.173) добротность по ускорению 2 ег (15.174) и т. д. Вычислим, например, два первых коэффициента ошибок для системы с передаточной функцией разомкнутой цепи тКТ (1 — Л) г И'(г) = (г — 1) (г — а) ' где с(=с-т)1ц Эта функция соответствует импульсному фильтру с передаточной функцией непрерывной части Иг )= К а(Р р(1 ТсР) и с приведенной передаточной функцией (15.136) ткт И'.
(р) =И'(р) Р«' (р) =,П(+т,,) Находим передаточную функцию по ошибке: 1 (г — 1) (г — с) 1+ К~ (г) (г — 1) (г — С) + ТКТ (1 — е)) г Подстановка в это выражение р = О или э ==1 дает коэффициент са = О. Для получения коэффициента с, находим первую производную: е)Фх (еат) ТКТг (1 — а) (гз — га) з = ссет е)р «(г — 1) (г — Л)+тат(1 — С) г«г Подстановка з =-1 дает коэффициент 1 с,= —, тК ' а также добротность по скорости К, = — —.= 7К. 1 Периодические режимы. Если на входе замкнутой импульсной системы (рис. 15.11) действует сипусоидальная последовательность Д «и] =- Кгааг э«п (Яп7 '«су) то расчет синусоидальных последовательностей у [и] и з ]в] может быть сделан на основе формул (15.152) и (15.154) при использовании передаточных функций замкнутой системы.
Так, например, амплитуда ошибки (точнее, верхнее граничное значение синусоидальной последовательности для ошибки) Хшаа — ашаг] Фг (сс е З) ] (15.175) 2 2ол! хстойчивость и кхчвство нмптльсных снствм экгтлнгования 469 и сдвиг по фазе агух — агду=агдФ„(е2 г, с). (15.176) В общем случае негармонической периодической последовательности с периодом М (см. 2 15.2) она может быть представлена в виде суммы конечного числа гармоник: 2л 2 — ол У[я[=- 2 Х сье " о=-к М где )2'-целая часть —, а коэффициенты разложения гл ° „2 2мьа со=сде 2= — т; д[т[е =М Ь 1 —.о Для каждой гармоники в установившемся режиме может быть сделан расчет в соответствии с изложенным выше для сннусондальной последовательности.
Поэтому в установившемся режиме для ошибки можно записать и ~гл О х [и, е[ —.— — 'Я Ф„(у — )с, е) со е и о---л где Ф (у — )с, е) — значение частотной передаточной функции, полученное . 2л 2 — 2 2л из Ф (г, е) подстановкой г = е "' Аналогичным образом по передаточной функции Ф (г, е) может быть получена для установившегося режима выходная величина у [и, 2[. Более простой метод заключается в следующем.
Рассмотрим, например, задающее воздействие у [п[, представляющее собой периодическую последовательность, изображение которой (15.113) М-2 6(г)=- „Я д[г[ г а= ~о(г), =о где Со(г) — изображение у[п[ на интервале Π—: М. Пусть рассматриваел2ая последовательность действует на входе системы с передаточной функцией Ф(г). Тогда изображение выходной величины У(г)= ' ) =Ф(г)6(г)=Уо(г)+У'(2) Уо (о) можно представить в виде суммы изображений переходной составляющей У' (г) и установившегося периодического режима У* (г).
Первая составляющая определяется полюсами функции Ф (г) н с течением вреыени затухает, так как система предполагается устойчивой. Периодическая составляющая на выходе может быть представлена в виде м М М„М-2 о „2 аоо +а~о +... +ам 22 М 2 о ' М м где Уо (г) — изображение у [и[ на интервале Π—: М з установившемся режиме, которое и является искомой величиной, коэффициенты ао,..., ам, должны быть определены при разложении на сумму дробно-рациональных функций У<о> (г) и Уо (2).
Для этой цели могут использоваться известные методы, например теорема разлоноения. Так, если степень У, (г) равна 471 случАиные пРОцессы в импульсных снстемАх е ~аз) Найдем периодический режим на выходе. В соответствии с (15Л80), учитывая, что Ф (з) имеет единственный полеос з, = О, имеем ( ' ') )(" ") ' (" ) ) — 1 )-а 1-(1 — а)з '+(1 — а)з-з. 4 15.5.
Случайные процессы в импульсных системах Введем понятие случайной решетчатой функции ~1к[, которую можно обрааовать из непрерывной случайной функции г (1) ее дискретиаацией. В этом случае опа будет определена в дискретные моменты времени е = пТ. Вудем рассматривать стационарные процессы, когда вероятностные характеристики не зависят от вромени. Среднее значение решетчатого случайного стационарного процесса к ~[.1-- 11,„'„Х ~1 1, (15Л81) к аа а=-к яли на основании зргодического свойства 1[п)=М(
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
