Бесекерский В.А. Теория систем автоматического регулирования (1972) (1151987), страница 100
Текст из файла (страница 100)
Наиболее удобным приемом для дробно-рациональных функций является деление числителя на знаменатель. Применяя разложение в ряд Лорана, можно вычислить значения оригинала 1[гг) или [[п„с! в дискретных точках без нахождения полюсов изображения г" (г). 15. Решение разностных уравнений. Пусть имеется разностное уравнение в форме (15.15) а,у [п + т! + а,у [гг + т — 11 +... + а у [п! = ) [п1 с начальными условиями у [т! = у, (т = О.
1,..., т — 1). Найдем г-преобразование от его левой и правой частей. В соответствии с формулой (15.50) для случая упреждения на т тактов 7 (у [и+ то =- г [У(г) — ) у [Ц г-"!. о=о Аналогичные зависимости могут быть записаны для упреждения на (т — 1), (т — 2), ..., 1 тактов. Позтому при переходе в рассматриваемом разностном уравнении к изображениям можно получить (аог +а,г '+... +а„) У (г) =-.
с(г)+(аог — ' а,г '+... +а, г)уо+ +(а г "+аз г+... +а г)У,+... -1 агУм,=с (г) —, :У,(г). (1593) В правой части (15.93), кроме изображения с" (г) решетчатой функции / [и1, находятся члены, определяемые начальными условиями. Сумма их обозначена Уо (г). Из (15.93) можно найти изображение У (г) искомой решетчатой функции У(г) = — о+:, ~ 09 Уо (=) А (г) А (г) ' (15.94) где А(г)=а,г'о+а,г '+... Ьа„. Далее можно использовать изложенные выше приемы перехода к иско- мому оригиналу у 1и[, Для решения рассматриваемого разностного уравнения необходимо, как следует из изложенного, знать начальные условия у [т[ = ут (т = О, 1,..., т — 1).
Последние же зависят от вида действующей в пра- вой части разностного уравнения решетчатой функции. Более удобны для решения разностные уравнения вида (15.19) аоу [и[ + а у 1и — 11 +... + а„,у [и — т[ = ~ 1п! с начальными условиями у 1 — т[ .=- у„(т: — — 1, 2,..., т). Изображение решетчатой функции у 1п — т1, запаздывающей на т так- тов, в соответствии с (15.48) будет Е(у1п — т[) =-г и!У(г)+ 2.
у[ — г[г"!. г=! Подобные зависимости могут быть записаны для запаздывания на гт — 1), (т — 2),..., 1 тактов. При переходе в рассматриваемом развостпом уравнении к изображе- ниям могут быть получены выражения, аналогичные (15.93) и (15.94). Пере- 453 ИСПОЛЪВОВАПИЕ г-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ о |г.г] ход к искомой решетчатой функции у [и! осуществляется в соответствии с изложенными выше приемами.
Особый интерес представляет случай, когда до момента времени л = О искомая решетчатая функция тождественно равна нулю. Это эквивалентно случаю нулевых начальных условий слева (при г =- — О) при решении дифференциальных уравнепий для непрерывных функций. Тогда в выражении для изображения (15.94) пропадает член в правой части, определяемый начальными условиями, и оно приобретает вид У(г)= — „) . (15.95) Рассмотрим разностное уравнение вида (15.19), но записанное в более общем виде: агу [и! + а,у [и — 1! +...
+ а у [и — иг! =- =Ьо/ [и! + Ьп' [и — 1) +... + Ь!1 [и — 1!. (15.96) Если ввести предположение, что решетчатая функция у [и! тождественно равна нулю при и ( О и, кроме того, функция ~ [и! в правой части (15.96) прикладывается в момент времени и = О, то переход кизо- |аП бражениям дает (а + , -' + ... + + а г- ) У (г) =- и) и =(Ьо + Ь,г '+... + Ьгг ') Р(г). (15.97) Изображение искомой решетчатой функции можно представить в виде Ьо+ Ьгг" г -'-... + Ьгг-| я и ао+а|г-|+... +аагг "' ~ Г (г) =- А["- Г (г) =" И~ (г) 'Г (2).
г (15. 98) 1[п] Здесь введена дискретная передаточная функция И" (г), которая, как и в случае не 'рерыв Ф р и ных фупкций, есть отношение двух изображений (выходной и входной величин) при пулевых начальных условикх. ДиРис. 15ЛО. скретяая передагочная функция играет такую же роль в импульсных и цифровых системах, как и обычвая передаточная функция в непрерывных системах. Получение этой функции будет подробно рассмотрено пик|с. 16. Периодические решетчатые функции и их и з о б р а ж е к и я. Введем в рассмотрение периодическую решетчатую функцию ( [и + ЬМ[ .= 1' [и[, (15.99) где й и М вЂ” целые числа, причем М представляет собой относительный период (рис.
15.10, а). 454 Ол. 12 нмпульснык системы Первая гармоника имеет относительную угловую частоту 2л 011 =" ° = М (15.100) Функция (15.99) может быть представлена в виде суммы конечного числа гармоник с частотами, кратными ОО1: 1 [п] = — О+ '5'„(аз соз йю122+ ЬО зш ЙО21п). О=! М Число гармоник равно целой части —. 2' Ряд (15.101) может быть представлен в комплексной форме: (15.101) Ж 7 [и[ = — ~~>~ сд е'О" 1и, (15.102) где (15.103) (15.104) Комплексные амплитуды могут находиться нз формул: при М=2Л'+1 212 с = — ч~~~~ ~ [и) е-1""1" 2Х+ 1 и О (15.105) при М=2У 2%-1 С, = — Я ~ [и) Е-1" 1и.
и=з Для г=Х при М=2Х+1 (15.106) гк с = — ~~ )[я) е-1"""и к 2л1-[-1 и=з (15.107) и при М =- 2Л' гк-1 ск= — ~~~~~ ) [в) е-1аи. 2Л1 (15,108) и:=О Для симметричной периодической функции (рис. 15.10, б), т. е. прн выполнении условий М= 2)О' и 7'[и) = — /[а+)у), формула для комплексной амплитуды принимает внд с„= — ~1„'~ [и[ е-~'"~' [1 — ( — 1)"). (15 109) [ а — АДЬО, сз = сге1ОО = [ ао [ аз+)ЬО, Для М = 212' при й =- Л1 ак, ЛГ'- О, ая, Л'(О.
й -«О, Ь=О, й< 0. 455 ПБРБДАточньгк Функции 16.31 Из последнего выражения следует, что прн четном г будет е„=О, т. е, четные гармоники отсутствуют. Прн г нечетном Я-1 е, = — Я 1 [я[ е-и""', г ( )О'. (15.110) п=О Если Х нечетно, то прн г = Л' Я-1 ся= ~ ~[я) е-1О 1 (15.Ш) Так как здесь присутствуют только нечетные гармоники, то тригонометрический ряд может быть записан в вещественной форме: 1 [я[ = — ~~~~ сье'™т = ~ еь соз (йв,п+ Орд), (15Л12) А=-Х1 где )У,=Х вЂ” 1 для четных Х и Х,=Ж для нечетных )О'. Для нахождения изображения периодической решетчатой функции (15.99) применим теорему сдвига (15.50): М-1 Г (з) = зм [г" (з) — ~ ~ [г[ з "[.
т=е Отсюда следует: (15Л13) Суьша в правой части (15Л13) представляет собой изображение решетчатой функции на интервале Π— М. Для симметричной периодической функции ~[я[= — 1[я+)О'[ аналогичным образом можно получить Я-1 г'(з) = — „" ~' ~ [г[ з ". (15.114) О +1 Найдем, например, изображение симметричной периодической решетчатой функции, показанной на рнс.
15ЛО, в: 1 г" (з) = — ~ з '= — (1+а ') = ОО е ОО О(О+1) От+1 ОО+1 ге+1 О=О й 15.3. Передаточные функцяи х» [и[ .= л (1) [О От = л [я[, (15.115) Блочная схема импульсной системы, содержащая импульсный элемент ХХЭ в канале ошибки, изображена на рнс. 15.11. Импульсный элемент обычно считают идеальным. Понятие идеального импульсного элемента вводится двояким образом.
Можно положить, что идеальный импульсный элемент генерирует решетчатую функцию с периодом Т, образованную из непрерывного значення ошибки системы 456 импульсные системы 1пс ш Здесь принято, что в решетчатой функции смещение е =- О. Зто всегда можно сделать выбором начала отсчета времени. Подобным образом, т. е. в соответствии с (15 115), работают, например, устройства дискретного съема информации с объектов различного вида. Далее решетчатая функция хр [п] поступает на формирующее устройство, или экстраполятор Э, а затем сигнал с выхода экстраполятора поступает на непрерывную часть системы.
Задача формирующего д~г) ,~, устройства (экстраполятора) заключается в формировании реального импульса прямоугольной, трапецеидальной, Р . 1р.16 треугольной и т.п. формы. Совокупность идеального импульсного элемента и экстраполятора образует реальный импульсныи элемент. Можно ввести понятие идеального импульсного элемента и иначе, считая, что он генерирует с периодом Т последовательностьбесконечно коротких импульсов типа б-функции, площадь которых пропорциональна сигналу ошибки х (г) в моменты времени г = пТ, т. е. х* [п] = х (г) 6т (р), (15.116) где бг (г) =- 6 (г — пТ). Представление импульсного элемента согласно (15.116) не соответствует действительности, так как никакой импульсный элемент не может генерировать бесконечные по высоте импульсы.
Однако подобное формальное представление позволяет упростить изображение структурной схемы импульсной системы и поэтому используется. Введем понятие приведенной весовой функции ш„(Г) разомкнутого канала регулирования (рнс. 15.11), понимая под этим термином реакцию непрерывной части системы совместно с зкстраполятором на еднпнчпу1о импульсную решетчатую функцию х* [п] =- бр [и1, которая определена формулой (15.32). При этом используется понятие идеального импульсного элемента в соответствии с (15.115), т.
е. х* [п]:: —. х [п]. Более строго весовую функцию ю„(~) следует определить (см. главу 4) как отношение выходного сигнала у (Г), возникающего при поступлении на вход экстраполятора единственной дискреты хр'в момент и — О, т. е. функции х* [п1 .==- хабр [п1, к значению хр: ил (г) =- хр у (г). (15.117) Коли выходную величину рассматривать только в дискретные моменты времени 1 — -- пТ или 1 = (п + з) Т, то разомкнутый капал регулирования будет представлять собой импульсный фильтр. Он может характеризоваться решетчатой весовой функцией ага[и] или и„[п„е], получеипой из производящей фушсцик ир„(г).
Заметим, что приведенная весовая функция отличается от обычной весовой функции непрерывного фильтра как своим видом, так и размерностью. Приведенная весовая функция содержит дополнительный множитель, имеющий раамерпость времени. Знание решетчатой весовой функции юр [п] или и~р [п, е] позволяет найти реакцию импульсного фильтра на входную величину х [и[ произвольного вида. Очевидно, что реакция имиульсного фильтра на дискрету х [О! будет иа (г) х [01, реакция на дискрету х!11 будет и~а (г — Т) х [1], реакция 457 ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ $15,3] на дискрету х [т) будет и~п (г — гоТ) х )т!. Поэтому и у(1) = ~ х[т) и1 (г — тТ).
Для дискретных моментов времени у[п) ~ х[т)и>,[п — 1п). (15.118) Найдем г-преобразование от левой и правой частей последнего выражения: и 2(у[п))=Е[~ х[ ),[ — т)). м=о На основании формулы свертки (15.74) г (г) =- И' (г) Х (г), (15.120) где дискретная передаточная функция И'(г) есть г-преобразование от приведенной решетчатой весовой функцнио И'(г)=Я(ои,[п))= Х ш,[п)г-". (15.121) и=о Последняя формула, вообще говоря, очевидна. Так как передаточная функции линейной системы не зависит от вида входного сигнала, то можно положить х )п) = бо[п).
Изображение единичной решетчатой импульсной функции равно единице. Поэтому передаточная функция импульсного фильтра оказывается равной в этом случае изображению И'и Ф выходной величины. которая представляет собой решетчатую приведенную весовую функцию ши [п), и формула (15.121) может быть написана сразу. В случае использования понятия идеального импульсного элемента в соответствии с формулой (15,121) приведенная весовая функция может определяться аналогичным образом. Если хо — сигнал на входе импульсного элемента в момент времени г =.
О, то на его выходе бУдет сигнал х* [0) =- хо6 (Г). ПРиведеннаа Решетчатан весоваЯ фУнкциЯ непрерывной части совместно с экстраполятором будет в этом случае равна отношению Реакции ка выходе У [п! к сигналУ на входе хо, т. е. и1„[п) =- =-х,,'у [п), что совпадает с изложенным выше. Однако в этом случае, поскольку изображение Лапласа единичной функции 6 (1) равно единице, можно считать, что изображение Лапласа выходной величины у (1) = и1„(г) при воздействии на входе вида 6 (1) совпадает с нопрорызной передаточной функцией канала регулирования, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
