Бесекерский В.А. Теория систем автоматического регулирования (1972) (1151987), страница 97
Текст из файла (страница 97)
Разиостные уравнения. В качестве аналогов дифференциальных уравнений можно рассматривать ревностные уравнения (уравнения в конечных ровностях). При использовании прямых разностей неоднородные линейные разностные уравнения имеют вид ЬОА™у [п1 + Ь!Аь 'у [и[ +... + Ь у [и) = ~ [и), (15.14) где 1 1и1 — заданная, а у [и[ — искомая решетчатые функции.
При г' [и1 = — О уравнение (15.14) становится однородным разностным уравнением, решением которого будет у 1и1. При использовании (15.8) разностное уравнение (15.14) можно записать в другом виде: аоу [п + т) + а,у [и + т — 11+...+ а у 1п) = ~1и). (15.15) Коэффициенты этого уравнения определяются из зависимости о аз= ~~ ( — 1) Ь„Ст — о~ О=О 437 испольэовлннк «-пгеовклэовання а |52) где биномнальные коэффициенты С":", =- ()« — т)) (ૠ— Ь)| (15.17) При использовании обратных разностей уравнение в конечных разностях будет ЬаЧ у [и[+ Ь!Ч ' у(п)+... + Ь у [и) == ~1п). (15.18) С учетом формулы (15.9) последнее выражение приобретает вид а,у (п! + а,у (п — 11 +...
+ а у [и — т1 =- ~ [п). (15 19) Коэффициенты последнего уравнения определяются выражениями ь аа«-ь= ~ ( — 1) Ь«Ст а=а С„' „= ("-")! (У« — а)) (ૠ— )«)) ' (15.20) (15.21) Разностные уравнения можно рассматривать как рекуррентные соотношения, позволя|ощие вычислять значения у [и + т) при п = О, 1, 2,... для заданных начальных значений у [01, у [11,..., у [т — 1) и уравнения вида (15,15) или значения у (и)при и = О, 1, 2, ... для заданных начальных аначений у [и — т), у [п — т + 1),..., у 1п — 1) и уравнения вида(15.19). Такие вычисления легко машиниэируются, а также не представляют никаких принципиальных трудностей икрн ручном счете (кроме, конечно, затрат времени) даже в случае, когда коэффициенты разностных уравнений а, (| =- О, 1, ..., т) с течением времени изменяются. Это отличает раэностные уравнения от их непрерывных аналогов — дифференциальных уравнений.
Общее решение однородного разностного уравнения при некратных корнях характеристического уравнения может быть записано следующим образом: у1и) =С,г,"+Сгг,"+... +С г", (( =- 1, 2,..., т) — корни характеристического уравнения ааг"' + а|г"' ' +... + а,„= О, (15.22) где г (15.23) а С, — произвольные постоянные. Из (15.22), в частности, вытекает условие того, чтобы свободное движение системы, описываемой разностным уравнением (15 15), было бы затухая~ щим (условие устойчивости): 1 г| 1 ~ 1 (( = 1, 2,..., т). (15.24) Для получения возможности исследования решений разностпых уравне. ний в общем виде широко используются дискретное преобразование Лапласа, г-преобразование, и преобразование, а также частотные методы, которые будут наложены ниже.
$15.2. Использование г-преобразования Для решетчатых функций времени может бьггь введено понятие дискретного преобразования Лапласа, определнемое формулой ра(р) = ~~ 7'(п) е — | г (15.25) а=а 438 ыз. 15 импильснык снсткмы Для смещенных решетчатых функций может быть записано аналогичное выра'кение: г"*(р, е) = ~ ~[и, а[е-~ ". (15.26) «ьз В этих формулах введено новое обозначение г =- е"г. Иэ них следует, что г-преобразование практически совпадает с дискретным преобразованием Лапласа и отличается только обозначением аргумента изображения. Таким образом, решетчатая функция времени (орнгинал) заменяется ее иэображением (г-преобразованием).
Формулы преобразования (15.29) могут быть записаны в символической форме: Р (.):= 2 Ип!), г'(г, е) =-Я«(/ [и, з!), ! (15.30) Формулы преобразования (15.30) могут быть записаны и для непре- рывной производящей функции в виде Р (х) -.= 2 (1(г)), г пт, р( е) — 2,(((г)), г —. (п+е)т, где и===О, 1, 2, ... Ряды (15.29) сходятся, н изображение решетчатой функции существует, если выполняется условие, сформулированное выше для дискретного преоб- разования Лапласа: с ( оо, где с — абсцисса абсолютной сходнмости.
В табл. 15.1 приведены изображения некоторых решетчатых функций, а такн~е производящих функции времени и их изображений Лапласа. В таблице введена ебиничная импульсная решетчатая функция [68!. бв [и! =- ~ Г 1 при г-.-0, (15.32) ~ 0 при гчь0. (15.31) Формулы (15.25) и (15.26) можно представить в символической записи аналогично (7.20): г'«(р) =- 17 (1 [п!), (15.27) Р*(р ь) =В.О[ е!) (15.28) В приведенных формулах, как и в случае непрерывного преобразования Лапласа, комплексная величина р =- с + уы, где с — абсцисса абсолютной сходимости. Если с со, то ряд, определяемый формуламн (15.25) и (15.26), сходится и решетчатой функции соответствует некоторое изображение. Как следует иэ (15.25) и (15.26), изображение решетчатой функции является функцией величины еаг.
Для смещенных решетчатых функций в изображение будет входить, кроне того, параметр е. Для исследования импульсных систем большое распространение получило так называемое г-преобразование, которое связано с дискретным преобразованием Лапласа и вытекает из него. Применительно к г-преобразованию нив'е будут рассмотрены основные свойства и теоремы дискретного преобразования Лапласа. Иод х-преабразаваиием понимаотся изображение несмещенной или смещенной решетчатых функций, определяемое формулами р(г) == ~~~~~ ([и,! г ", «=-.о с (г, е) = ~~ / [и, е! х ".
.--. о б 1оЕ21 оо о' Ф о 66 6 в !! '6 о Ы о о Ю о о а о Ю + о 6 1 и ! Д 6 6 $ 6 о о 6 'о 6 о о 3 о оО ф, оо ао 3~ 6 а о о 3 о Е о о. (а !",,(оа (~ ..+ + а. с с !! !!- Ф Ф а а Ф М 6 о о о о а о !ео .о (61 Ф Ф М 4 х Е 6 $ й 6 й Ф о о Ф"~ о о о о 2$ оо Ео 6 $ о Ж ИСПОЛЬЗОВАНИЕ аПРЕ ОБРАЗОВАНИЯ ф ФЭ 6 а 6 1„ '6 6 [гх. 1"о "о 'о о а ".о 'о + $ ~О. о о о С" 3 6 сч 3 Г а + + х о 3 '8 т 3 о о м + о о Г са. х о о .1 Ю .к Я ~ц о о х а о о х х й хй ох ю х Е а хо х Ф а х х 3 а о 6 <о + ъ, $ и» с'3 яа СР а Б + хо. ~ь о, ~ь х )сч -(с «(ь х о о о Ф х о М й О Р х х о х о а й й х ох ох ха х йо хй х импульсный системы Г хх ю а о + О Л ~а Й и Г сО. 7 + са Е ~а $ а $ 3 Е х ю Н о о а О о а С"3 "М с х со.
о и о б о со. (о. Ю ~а . о 'М о о б о М 1 1Ь.г! ИСПОЛЬЗОВАНИЕ и ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Эта функция играет в дискретных системах такую же важную роль, как 6-функция (функция Дирака) в непрерывных системах. Для всех непрерывных и решетчатых функций, приведенных в табл. 15.1, предполагается, что они тождественно равны нулю при г и., О. В некоторых изображениях табл. 15.1 использованы полиномы Вй (г), которые могут быть представлены в виде определителя [136) 1 1 — г 0 ...
0 2! 1 1 — г ...0 1 1 2! 2! (15.33) 1 ...0 й! (й — 1)! (й — 2) ! Некоторые частные значения етого полинома: ! й,(г) =1, А, (г) = 1, Лг(г) =г+1, В, (г) =- г'+ 4г + 1, Лг (г) = гз+ 11гг+ 11г+ 1. (15.34) Операцию нахождения г-преобразования от решетчатой функции (15.30) или от непрерывной производящей функции (15.31) можно распространить ка изображение Лапласа непрерывной производящей функции )*[пТ[= ~ ~(1) 6(1 — пТ). пАа Найдем преобразование Лапласа введенной функции (15.35) Ь()п [лТ)) === ~~!'„~ ) (г) 6(1 — пТ) е "' Й.
п=-.О О (15.36) Так как интеграл от 6-функции равен единице, то имеем Х, ()и [кТ[) =- ~ ['[пТ[ е-ппт=Р(г), паз (15.37) где г.=еп'. Таким образом, преобразование Лапласа для импульсной функции оказывается равным г-преобразованию исходной непрерывной производящей функции. Пусть решетчатая функция 7 [яТ[ получается из непрерывной функции 1(1) квантованием в моменты времени 1 = иТ.
Введем вспомогательную импульсную функциго, образованную умножением исходной непрерывной функции на последовательность 6-функций 442 1гл. 1О имптльсныг систвмы Обозначив последовательность 6-функций вида 6 (1 — пТ вЂ” еТ), где п = О, 1, 2,..., через Ьт (г), импульсну1о функцию при с чь О, могкно представить следующим образом; ~' ((и + е) Т! = 1 (1) бт (1) Применим к левой и правой части последнего выражения преобразование Лапласа.
В соответствии с приведенным доказательством в левой части будет получено з-преобразование исходной непрерывной функции времени Т (еР1', е) = Е У (Г) бт (1)). (15.39) Используем далее теорему свертки в комплексной области Р(еРт е) =- —. ( ~ тл()~) й(р — )) ео + ) пал(й) Уъ(р — Х)др ~.
(15.40) в Здесь гл(р) —. Ь(1(г)). Кроме того, е е РеТ а (р) — ~ ~ б (1 пТ еТ) О-Фе(г-- '~~~ е — РОУ.Ое)т е-Рет ~~~ е — Упт Ъ вЂ” О п.=О У=О а также — 1Р -11пТ Тогда искомый интеграл можно представить в виде дл(Р) е пе 1 ~,г (Р) УО 12л 'Х 1,-1 -х1т 1ел 'Х О вЂ” 1 (15.41) Для каждого из полюсов в соответствии с теоремой Коши можно записать ,Т:и —,1р(1) =.— ГО1 (р+)т, ) е( 1' ) (15.42) Окончательное выражение для искомого г-преобразования будет при з — ОРТ.
зп О 1' е) т Х йт1 (р+Тг т ) е( 1 ) . (15.43) Эта формула справедлива при любом значении е ) О. Однако прн с .— - 0 она становится неверной, так как начальный момент времени становится моментом квантования. Для этого случая можно показать (136), что з-пре- Интегрирование в (15.40) ведется по прямой р = с + )ы, где с — число, большее абсциссы абсолютной сходимости, и по полуокружиости радиуса Л вЂ” Р оо.
Полуокружпость может быть выбрана как в левой, так и в правой части комплексной плоскости. В последнем случае внутрь контура интегрирования попадают полюсы подынтегрального выражения, определяемые равенством е 1Р— "1т =- 1 или — (р — Х) Т =. )2ят, г == О, ~1, -+-2,... 2я Значение полюса ) „=- р + )т Для вычисления интеграла удобно обозначить е — 1Р— ь1т у — 1 (р )„) Т, )п у 11)„ 1О Та $1$.21 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ х-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ образование долнопо вычисляться в соответствии с выражением Р(егт, О) =- — ~~]~ Рл (р+уг — ) + ~ (15.44) Операцию нахождения г-преобразования по преобразованию Лапласа символически можно записать, аналогично формулам (15.30) и (15.31), в виде Р (г, е) = У, (Р„(р)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
