Бесекерский В.А. Теория систем автоматического регулирования (1972) (1151987), страница 95
Текст из файла (страница 95)
(14.66) Следовательно, в этом случае вместо дифференциального уравнения третьего порядка с запаздываюп(им аргументом (14.59) получается обыкновенное дифференциальное уравнение четвертого порядка. 4 14.3. Исследование устойчивости и качества регулирования В з 14.1 были приведены уравнения линейных систем с запаздыванием, которые для разомкнутой цепи имели вид 9 (р) х = В (р) е 'рх», (14.67) а для замкнутой системы Р ( ) ' = )(( (р) 1 (14.68) где Р (р) = ()(р) + В (р) е 'р, )(» ( )»» (Р)»»1 (Р) О» (Р) (14.69) В $ 14.2 при выводе уравнений для одной линейной системы автоматического регулирования с распределенными параметрами было показано, что они сводятся к тому же самому виду во всех тех случаях, когда распределенное звено системы описывается волновым уравнением в частных производных типа (14.31) или (14.29). Характеристическое уравнение для таких систем с распределенными параметрами и систем с запаздыванием имеет согласно (14.69) трансцендентный вид () (р) + В (р) е-'р = О, (14.70) где () (р) и В (р) — обыкновенные многочлены, причем степень В (р) обычно меныпе или в крайнем случае равна степени () (р).
Уравнение (14.70) записывается иногда и в другом виде, например: () (р) етр + В (р) е-'р =- 0 или »') (р) СЬ тр + В (р) зЬ тр = О. Могут встретиться уравнения и более сложного вида: (7 (р) + В» (р) е '»" + Вз (р) е '»р = 0 (;) (р) езр + В» (р) е 'р + В, (р) = 0 и т. п. Здесь Т, — прежняя постоянная объекта (14,30), а 6 — новый постоянный параметр объекта, в выражении которого значение частной производной определяется для заданного обьектз графически, аналогично рис.
14.8, или же расчетным путем. К этому же уравнению объекта присоединяются прежние уравнения регулятора (14.47) — (14.51), где»)»» заменяется на»Р. Следовательно, в символической операторной форме уравнения данной системы регулирования давления беа учета волновых явлений будут; 428 системы с САпАздывАнием и РАспРеделкннымп пАРА11ГТРА11и [сг. 11 Рассмотрим характеристическое уравнение вида (14.70).
Известно, что решение дифференциально-разностных уравнений (14.68) можно записать в виде некоторых рядов и что для затухания этого решения, т. е. для устойчивости системы, необходимо и достаточно, чтобы все корни трансцендентного характеристического уравнения (14.70) имели отрицательные вещественные части. Но в отличие от обьпгновенного алгебраического уравнения здесь вследствие наличия множителя е-'Р уравнение может иметь бескопечиое количество корней.
К указанным системам применимы критерий устойчивости Михайлова и критерий устойчивости Найквнста в их прежних формулировках (см. главу 6). Однако здесь вследствие а~ наличия множителя е" ™ сущестгг х Р венно изменяется очертание как кривой Михайлова замкнутой системы Л (уа) =- (У (ую) лг )7 (ую) е '™, (14.71) б) так и амплнтудно-фазовой )характеристики разомкнутой цепи, построенной по частотной передаточной функции И'(ую) = У ) е-1ггг, (14.72) 0 Ом) причем размыкание системы проб,) изводится по определенному правилу, которое дается ниже. ~г Из кривой Михайлова не по- Я х у лучается таких простых алгеl + Ф, браических выражений, как в Укг гг 5 6.3.
Как следствие, для устойчивости линейных систем первого и второго порядка с запаздыванием, оказывается. уже недостаРяс. 1гьз. точно только положительности коэффициентов, а для систем третьего и более высокого порядка с запаздыванием неприменимы критерии устойчивости Вышнеградского, Рауса и Гурвица. Ниже будет рассмотрено определение устойчивости только по критерию Найквиста, так как его использование для этой цели оказывается наиболее простым. Построение амплитудно-фазовой характеристики и исследование устойчивости по критерию Найквиста лучше всего производить. если передаточная функция разомкнутой системы представлена в виде (14.72). Для получения этого необходимо произвести соответствующим образом размыкание системы.
Для случая, изображенного на рис. 14.9, а, размыкание можно сделать в любом месте главной цепи, например так, как это показано. Тогда передаточная функция разомкнутой системы будет ьрг (Р) (Р) = И 1(Р) 1 уу ( ) Иг (,) е Игг(Р) что совпадает по форме с (14.72). 1 >з 3) псследОВАнив устОЙчиВОсти и кАчистВА РвгулиРОВАния 429 Для случая, изображенного на рис. 14.9, б, размыкание главной цепи дает выражение передаточной функции разомкнутой системы, неудобное для дальнейших исследований: 1+>У (Р) >Уз(Р)е Р' В этом случае удобнее разомкнуть систему по цепи местной обратной связи.
Тогда передаточная функция разомкнутой системы приобретает вид, совпадающий с (14.72): И'з (Р) (Р) 1 И (,))у (,) >1. (,) >уз(Р)е Наконец, в случае, изображенном на рис. 14.9, е, при размыкании системы в указанном месте получаем выражение, также совпадающее с (14.72): )Уз (Р) > (Р) )~'(Р) =- ~'з (Р) -", . )У, (у>„У, („) ~ (,) .
Заметим, что прн наличии характеристического уравнения, записанного в виде (14.70), передаточная функция разомкнутой системы может бытьзаписана сразу в виде (14.72), без нахождения места размыкания на структурной схеме. Записанное в таком виде выражение может быть использовано далее для исследования устойчивости, Частотную передаточную функцию (14.72) можно представить в виде )Р (у'в) = б'0 (уе>) е-)вз.
(14.73) Кроме того )Уо (уо>) = Ао (в) е>Ими), (14.74) где А, (в) — модуль и фс (е>) — фаза (аргумент) системы без запаздывания. Модуль второго сомножителя (14.73) равен единице, а его аргумент равен Л>(> =" вт. Поэтому, представив выраВ<ение (14.72) в виде И' (ув) =- А (сс) е)тоз), получаем значение модуля результирующей частотной передаточной функции ) И' (ув) ) =- А (в) =- Аз (в) (14 75) и фазы ф (в) = ~>о (в) — вт. (14.76) Таким образом, наличие звена с запаздыванием не меняет модуля и вно- Рис. 14.10. сит только дополнительный фазовый сдвиг.
На рис. 14.10 изобра>кена амплитудно-фазовая характеристика,гьсоответствующая (14.74). Сплошной линией показана исходная характеристика при т =:= О, а пунктиром — характеристика, которая получается при наличии постоянного запаздывания т Ф О. Из этих характеристик видно, что наличие дополнительного фазового сдвига Л>)> = вт «закручивает» годограф, особенно в высокочастотной части, по часовой стрелке. Это, вообще говоря, ухудшает условия устойчивости, так как вся кривая приближается к точке ( — 1, уО).
Иногда в особых случаях, при сложной форме годографа )4'с (ув), введение постоянного запаздывания может улучшить условия устойчивости. 430 системы с зАпАздыВАнием и РАспределенными пАРАметРАми 1еь 1« По имеющемуся годографу И~«()в) можно определить критическое значение времени запаздывания т = т„р, при котором система оказывается на границе колебательной устойчивости.
Для этой цели на годографе 1»'«(у'в) отыскивается точка, для которой модуль равен единице (рис. 14.10). Частоту, соответствующую этой точке, обозначим в„ а фазу — 1р1. При введении постоянного запаздывания т = т„ условие совпадения этой точки с точкой ( — 1, 10) запишется следующим образом: »р1 — 1о»тлр. = откуда критическое значение запаздывания и ' ф1 кр— (14.77) К 14'с ()в) = 1+в»Т (14.78) Приравняем модуль единице: К вЂ” =1.
)/1+в»Т» Отсюда находится частота, соответствующая опасной точке: '~/К« — 1 1 Т Фазовый сдвиг на этой частоте 1~11 = — агс1К в,Т = — агс«К )ГК' — 1. По формуле (14.77) находим критическое аапаздывание: и — агс«К (/К» — 1 и — аг«1И )/К~ — 1 тлр— В1 р'К» — 1 По этому выражению на рис. 14.11 построена область устойчивости в координатах «общий коэффициент усиления — относительное запаздыванием Рассмотрим более сложный случай астатической системы с одной постоянной времени, когда частотная передаточная функция разомкнутой (14.79Т Если подобных «опасных» точек будет несколько, то необходимо сделать расчеты для всех точек и взять наименыпее значение т„р.
Заметим, что частота в1 равна частоте среза л. а. х., в1 = в,р (см., например, рис. 4.10 или 6.25). Поэтому нахо»кдение в, и ф1 удобно делать прн наличии построенных л. а, х. и л. ф. х. и г В этом случае, вообще, расчеты по определению устойчивости могут сов- 48 мешаться с определением качества системы частотными методами. 48 Л. а. х.
системы с запаздыванием совпадает с л. а. х. исходной системы бблсссь (без запаздывания). Дополнительный с»1сй««- фазовый сдвиг, который надо учесть 1(8 бисти при построении л. ф. х. системы с запаздыванием, определяется (14.76). 8 8 4 8 8 Ю 18 Т« К В некоторых случаях могут ис- пользоваться аналитические расчеты. Рис. 14.Ы. Так, например, рассмотрим статиче- сную систему с одной постоянной времени. Частотная передаточная функция разомкнутой системы имеет вид 1 ы.з1 исслвдОВАнив УстоичиВОсти и кАчестВА РВРУлиРОВАния 431 системы имеет вид К 0 (! ) 1ы П+1ИТ) (14.80) Приравняем модуль единице: =1.
а (Я+ эг Отсюда находится частота, соответствующая опасной точке: се, =- = ~/с)/1+ 4К'Т' — 1. Т 'У'2 Фазовый сдвиг на этой частоте ф = — — — агстяа Т= — — — агс1я — )11+-4К'Т' — 1. 2 2 Я Критическое запаздывание на основании формулы (14.77) — к — ъ"Гсмттъ л 1 1Г к+1(Э 2 Я Т (14.81) кэ 1 Ъ ~I1+экзт — 1 'У'2 Если .Т=О, то из последней формулы, сделав предельный переход, находим я 1 ткэ К 2 К (14.82) Пусть К=10 сек ' и Т=0,2 сек.
Тогда критическое запаздывание, при котором система теряет устойчивость, 1,25 а при Т=Π҄Р— — — ' — — 0,157 сек. 1,57 "э=1О= * Оценку качества регулирования в системах с запаздыванием удобнее всего производить при помощи частотных критериев качества (2 8.5 и $8.9). Запас устойчивости можно определять по величине показателя колебательности, а быстродействие — по полосе пропускания.
Как и в случае систем без запаздывания, заданное значение показателя колебательности будет получено, если амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы, построенная по выражению (14.73), не будет заходить в запретную зону, окружающую точку ( — 1, 70), что изображено на рис. 8.27. Для расчета могут применяться логарифмические характеристики (рис. 8.30). Построение переходных характеристик удобнее всего производить при помощи вещественных частотных характеристик (э 7.5).
Для построения переходного процесса могут применяться графические и численно-графические методы, а также вычислительные машины. ГЛАВА 15 ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ в 15Л, Общие сведения Линейной системой импульсного регулирования называется такая система автоматического регулирования, которая кроме звеньев, описываемых обыкновепнымн линейными дифференциальными уравнениями, содержит импульсное звено, преобразующее непрерывное входное воздействие в равноотстоящие друг от друга по времени импульсы. В качестве импульсного авена (элемента) может использоваться падающая дуя»ка гальванометра (рис. 1,28), генерирующая прямоугольные импульсы (рис. 15Л), у которых либо высота (рис. 15.1, а), либо ширина б) Рис.
15Л. (рис. 15.1, б) пропорциональна непрерывной величине, поступающей на зто звено в момент времени, совпадающий с началом импульса. Кроме того, импульсным звеном может служить устройство типа ключа, которое (как и падающая дужка) по какой-то внешней причине производит замыкание цепи короткими импульсами через равные промежутки времени. Отличие импульсного звена типа ключа от импульсного авена типа падающей дужки состоит в том, что оно»вырезает» определенные участки из непрерывно изменяющегося воадействия (рис. 15.1, в). И те и другие импульсные звенья могут быть осуществлены различными электромеханическими или электронными устройствами. Будем называть их соответственно импульсными авеньями типа 1, типа П и типа П1 (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
