Бесекерский В.А. Теория систем автоматического регулирования (1972) (1151987), страница 90

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 90)

(13.62) — Ю о Отыскание параметрической передаточной функции. Использование интегральной связи (13.62) для нахождения параметрической передаточной функции является нерациональным, так как требует знания функции веса, что усложняет задачу. Более удобно находить параметрическую передаточную функцию непосредственно из исходного дифференциального уравнения (13.1). Положим в нем у' («) =- б (« — О). Тогда решение этого уравнения будет соответствовать функции веса )Р=)Р (« — О, О).

Подставим эти значения И (у, «) =-~ю(0, «-О) -'. а, (13.59) о где О =- « — 0 — реверс-смещение, а )Р (О, « — О) — сопряженная функция веса (13.7). Величина, находя)цаяся в правой части (13.57) под знаком интеграла, представляет собой изображение Фурье функции времени х («), Поэтому вместо (13,57) мо)кно записать Х (ую, «) -- И'(Ую, «) Р (уто). (13.60) Таким образом, изображение Фурье выходной величины системы с переменными параметрами можно представить как изображение Фурье входяой величины, умноженное на частотную передаточную функцию. Разница по сравнению с системой, имеющей постоянные параметры, заключается в том, что выражение (13.60) записано для некоторого фиксированного момента времени «:: — совал. В связи с этим в частотную передаточную функцию И' (уо), «) входит параметр «, вследствие чего она называется яарамеллричеекой частотной передаточной функцией. Переходя в формуле (13.57) к преобразованию Лапласа, получим 407 пегедАточные Функции (13.70) (13.71) А (р, «) И'(р, «) = В(р, «)+ Л'(И'(р, «)), Будем искать решение в виде ряда И'(р, «) И'е (Р, «) + И'~ (Р, «) + Первое приближение мол«но получить, положив Х = 0 в (13.70): ' в (р, 0 з (Р1 ) «(р с) (13.72) (13.73) в (13.1): ~а„(«) —,„+...

+а„(«)1 и(« — д, д) =- = ~Ь„(«) — „",„+... + Ь„(«)1 Ь (« — 6). (13.63) Умножим левую и правую части (13.63) на ег~ и проинтегрируем по 6 в пределах от — оо до «: с с ае(«) — ес„( ~ ас(« — 6, 6)егес«61+... +а„(«) ~ ~ се(« — 6, 6)езос]0~ = =- [Ь («) р [-... + Ь («)] ер'. (13.64) На основании (13.62) величины, находящиеся в квадратных скобках, мо,кно представить в следующем виде: ас(« — д, О) егес«6 = И (р, «) ег'. В результате вместо (13.64) можно записать а,(«) — „, [И'(р, «)егс]+ -]-аз(«)!И'(р «)е"]= = [Ьо(«)р + . +Ь («)] езс (13 65) Продифференцнровав леву«о часть и сократив на ер', получим А(р, «)И'(р, «)-с- — „' — „, +...+ —,— „„—,„=В(р, «).

(13.66) аЛ с«Ш 1 аоА Ной' .Здесь введены обозначения: А(р «)=аз («) р" +. +а («) В(р «) = Ь, «) р-+... + Ь„(«). (13.67) Таким образом, параметрическая передаточная функция может быть полу сена в результате решения дифференциального уравнения с переменными коэффициентами (13.66). Заметим, что в системах с постоянными параметрами передаточная функция не зависит от времени и уравнение (13.66) приобретает вид А (Р) И' (Р) =- В (р). (13.68) Передаточная функция в случае постоянства параметров будет (13.69) В случае переменных параметров уравнение (13.66) может быть решено методом последовательных приближений [118]. Для этого представим его в виде 408 СИСТЕМЫ С ПБРЕМЕПНЫМН ПАРАМЕТРАМП [гл.

!3 Это будет передаточная функция системы с «замороженными» коэффициентами. Для вычисления первой поправки [Р! (р, !) подставим полученное из (13.73) первое приближение в правую часть (13.70). Тогда получим для первой поправки л [и',(р, [П ! (Р Формула для к-й поправки будет иметь внд И'„(р, !) --=— д'([Рл ![р О) А(р, !) (13.74) (13.7,!) Х (р, г) — - И'(р, !) Р (р). (13.76> Это дает возможность находить переходные процессы в системе с переиеннылги параметрами посредством использования преобразования Лапласа (или Карсена — Хевисайда). Для этой цели по формуле (13.76) отыскивается изображение выходной величины, а затем делается переход к оригиналу х (!). Для этой цели могут использоваться существу[ощне таолнцы изображений Лапласа функций времени. Так, например, пусть изображение выходной величины равно Х (р, [) = И' (р, !) г" (Р) —.— Полаган в этом выражении время ! фнкснрованнып параметром, по таблице (си., например, табл.

7.2) находим х (!) ==,, (1 — е-!"" "-" ) . а из- «и Ксан изобрангение представляет собой сложную дробно-рациональную функцию, то можно использовать теорему разложения (см. з 7 1). При отсутствии нулевых корней знаменателя изображения Х (р) —. —.—— Х! [Р) Х; (р) аналогично формуле (7.37) получаем (13.77) 'Р - ~~ '["" ) е'А А,.! ~ — Х» (Р, !) 1 При наличии одного нулевого корня знаменателя изображения Х(р, «)-:= рх»(р, 0 (13.78) (13.79) Таким образом, последующий член ряда (13.72) получается посредством дифференцирования предыдущего члена в соответствии с (13.71) и подстановки его в (13.75). Ряд (13.72) сходится теи быстрее, чем медленнее изменяются коэффициенты исходного дифференциального уравнения (13Л).

По найденной функции И'(р, !) может быть получена параметрическая частотная передаточная функция И' (Ую, !) подстановкой р — !ы. Использование параметрических передаточных функций. В соответствии с формулой (13.61) изображение Лапласа выходной величины системы с переменными параметрами можно найти как произведение изображения воздействия на параметрическую передаточную функцию: 400 у 1зл) УСТОЙЧИВОСТЬ И КАЧЕСТВО РЕГУЛИРОВАНИЯ аналогично формуле (7.39) получаем х (г)- —. ~ — ' ' рю ) е~"~ (13.80) '--' г (о) А 1рз[ — х,(р,б[ Б формулах (13.78) и (13.80) корни знаменателя предполагаются некратными. Для построения переходного процесса может также использоваться вещественная частотнан характеристика (см. $ 7.5). Для общего случая воздействия произвольной формы из (13.57), аналогично проделанному в $7.5, можно получить расчетную формулу, являющуюся обобщением формулы (7.52): 2 Г Рч(в, 0ыпвг ав, (13.81) где Рг (в, 1) — вещественная часть частотного изображения искомой функции х (0, полученного подстановкой в преобразование Карсена — Хевнсайда Р =!в.

Б частном случае, когда входное воздействие представляет собой единичную ступенчатую функцию, из (13.57), аналогично проделанному в $7.5 получается расчетная формула, яв- ляющаяся обобщением формулы(7.53) для переходной функции рассматриваемой динамической системы: Р (в, 0 з)в вй (13.82) где р (в, Г) — вещественная часть параметрической частотной переда- 6 ~г ~+ ~ю ~в 4 13.4. Устойчивость и качество регулирования Для систем с переменными параметрами понятие устойчивости имеет некоторую специфику. Если система работает ограниченный интервал времени, то понятие асимптотической устойчивости (см. $ 0.1) практически теряет свой смысл.

Однако длн квазистационарных систем при сравнительно медленном изменении коэффициентов уравнения (13.1) представляется возможным сформулировать понятие устойчивости следующим образом. Будем считать систему с переменными параметрамн устойчивой на заданном интервале времени Т, если ее нормальная функция веса (13.4) или (13.5) точной функции (13.58). Построение переходного процесса проводится, аналогично изложенному в 4 7.5, по й-функциям.

Разница будет заключаться в том, что построение переходного процесса будет справедливым только для того момента времени à —.— сопз1, который вошел в качестве параметра в параметрическую передаточную функцию. Поэтому необходимо построить серию кривых (рис. 13.7) для различных фиксированных моментов времени Гв Гв гз и т. д., а затем через точки, соответствующие этим значениям времени, провести плавную кривую. Указанное обстоятельство значительно увеличивает объем вычислительной работы по сравпекию с построением кривой переходного процесса в системе с постоянными параметрами.

систгмы с неРеменными нАРАметРАмп ьо 13 затухает во времони для всех фиксированных значений О, лежащих внутри этого интервала. Это условие можно записать следующим образом: Т1=- ) /и1(С вЂ” д, д)(о(Г= ~ /и1(т, д)/1(т(оо, О~д с Т. (13.83) е о Если для системы получена нормальная функция веса, то вид ее и опре- деляет устойчивость системы. Однако в пекоторозх случаях имеется сопрнженнан функция веса (13,6) или (13.7), которая связана преобразованием Лапласа с параметрической передаточной функцией (13,62) и преобразованием Фурье с параметрической частотной передаточной функцией (13.58) или (13.59). Поэтому более просто можно исследовать вопрос затухания функции веса вдоль аргументов д (смещение) или 0 (реверс-смещение).

Условие затухания вдоль этих аргу- ментов можно записать следующим образом: ! О Те=- ~ (и1(1 — д, д) !Ю--. ~ )и>(0, 1 — 0)(д0~оо, 0 с о~Т. (13 84) о Однако затухание сопряженной функции васа н выполнение условия (13.84) еще пе означает затухания нормальной функции веса и выполнения условия (13.83). Заметим, что в системах с постоянными параметрами не на- блюдается такой неопределенности, так как для них совпадают оба разреза рельефа функции веса: и (т) =-. 1Р (О), и оба интеграла: 11--- !о, определяемые форму11ами (13.83) и (13.84). Можно показать (118), что для систем, описываемых дифференциальным уравнением вида д"х а,(1) -„;;, +... +а„(1) х---1(1), выполнение условия (13,84) практически обеспечивает вь1полнение условия (13.83).

Характеристики

Список файлов книги