Бесекерский В.А. Теория систем автоматического регулирования (1972) (1151987), страница 93
Текст из файла (страница 93)
Построение амплитудно-фазовых характеристик звеньев с аапаздыванием будет рассмотрено ниже. В целях единства записи уравнений представим второе из соотношений (14.4) для элемента запаздывания в операторном виде. Разложив правую часть его в ряд Тейлора, получим 418 системы с зАпАздыВАнием и РАспРеделенными пАРАметРАми (сс. 14 Так как в начале амплитудно-фазовой характеристики са = О, а в конце юю = со, то начальная точка остается без изменения, а конец характеристики асимптотически навивается на начало координат (если степень операторного многочлена г( меньше, чем многочлена ~1).
Выгяе говорилось о том, что реальные переходные процессы (временные характеристики) вида рис. 14.3, б часто могут быть с одинаковой степенью приближения описаны как уравнением (14.2), так и (14.5). Амплитудно-фазовые характеристики для уравнений (14.2) и (14.5) показаны на рис. 14.4, а и б соответственно. Принципиальное отличие первой состоит в том, что она имеет точку .0 пересечения с осью У. При сравнении обеих характеристик Рис.
14.4. йс (Р) И '(" = Е. (Р) ' йюс (Р) — та И'-(р)= О., е " (14.14) между собой и с экспериментальной амплитудно-фазовой характеристикой реального звена надо принимать во внимание не только форму кривой, но и характер распределения отметок частот а1 вдоль нее. Линейная система с запаздыванием. Пусть одноконтурная или много- контурная автоматическая система в числе своих звеньев имеет одно звено с запаздыванием. Тогда уравнение этого звена имеет вид (14.9). Если таких звеньев несколько, то они могут иметь разные величины запаздывания (т,, тю...). Все выведенные в главе 5 общие формулы для уравнений и передаточных функций систем автоматического регулирования остаются в силе и для любых линейных систем с запаздыванием, если только в эти формулы подставлять значения передаточных функций в виде (14.10).
Например, для разомкнутой цепи из последовательно соединенных звеньев, среди которых имеется два звена с запаздыванием т, и тз соответственно, передаточная функция разомкнутой системы будет иметь вид И~ (р) = Руа(р) е-НРе-сж — И~а(р) е <и+сю>Р (14.12) где И'ю (р) — передаточная функция разомкнутой цепи без учета запаздывания, равная произведению передаточных функций включенных последовательно звеньев. Таким образом, при исследовании динамики разомкнутой цепи из последовательно соединенных звеньев безралично, будет ли все запаздывание сосредоточено в одном каком-нибудь звене нли разнесено по разным звеньям. Для многоконтурных цепей получатся более сложные соотношения.
Если имеется звено с отрицательной обратной связью, обладающей запаздыванием т, то оно будет описываться уравнениями: Ос(Р)х. *=Вс(р)(х* — хас) ) (14.13) (ссс (Р) х„= А(юс (Р) е-'Рх, . ) Предаточные функции авена и цепи обратной связи будут при этом з ыл1 уРАВнения линейных систем с зАНАздыванием 419 Согласно (5.59) результирующая передаточная функция звена вместе с обратной связью будет И1( ) с(Р) с(Р)'ес (Р) (14 15) 1+РР (Р)до (Р) а(Р) 7..(Р)+яе(Р)ц:(Р) -" Этой передаточной функции соответствует дифференциальное уравнение звена в операторной форме П + И' (Р) И'. (Р)) х.
* = Рре (Р) хае (14.16) или, при подстановке (14Л4), Щр) Ч,с (р) + Ве(р)Все(р)е 'Р) х,„= Ве (р) ()ос (р) х,, (14Л7) Пусть, например, интегрирующее звено с замедлением, передаточная функция которого "с И е (Р) = Р (1+ ТР) ~ охватывается отрицательной обратной свяаью с передаточной функцией И'ае (р) = )соса 'и. Тогда результирующая передаточная функция авена с обратной свяаью в соответствии с (14Л5) будет И~(р) = ТР +Р+асаоае Частотная передаточная функция получается подстановкой в последнее выражение р=)ю: И' (уа) Тасс+ еео+ есаасе Рее (сеаае сое еое — Теес)+! (ес ааааа зеи осе) Амплитудно-фазовая характеристика, соответствующая этому выражению, приведена для иллюстрации на рис.
14.5. Рис. 44.В. Рис. 14.5. Пример системы с аапаздываиием. Рассмотрим систему регулирования скорости двигателя (рис. 1Л6). Составим уравнения всех звеньев системы с учетом их инерционностей. Дополнительно к тому учтем еще запаздывание т в воздействии регулирующего органа на объект. Изобразим зто введением в структурную схему данной системы дополнительного элемента запаздывания (рис. 14.6). Пусть объект яе имеет самовыравнивания и сиаб- 27с 420 системы с зАИАзДывАнием и РАспРеДеленными ИАРАметРАми [зз. 1ь жен регулятором с жесткой обратной связью (рис.
10.11). Уравнения такой системы РЛЫ = 111 Лх" — ~ (1), (Т,'Р'+ Т Р+1) Лу=йзЛьь, (Р+ йзУсь)ьь) Лх = — ЫььЛУ, (14.18) Лх* = е-'РЛх. Уравнение замкнутой системы Ах(р)Лез = Ль(р) 1(г), (14Л9) где В (Р) =(ТР'+ Тзр+1) (Р+ Йз)ььЬьь) Р+ йьйзйзйье ". Л (Р) = — (Т;Рь+ Т,Р+1) (Р+ йзйьйь). (14.20) Здесь Леь, Лу, Лх, Лх* — приращения скорости, перемещений золотника и регулирующего органа и управляющего воздействия; й„..., йь — коэффициенты, Тз и Ть †постоянн времени.
5 14.2. Уравнения линейных систем с распределенными параметрами Системой автоматического регулирования с распределенными параметрами называется такая система, среди уравнений которой кроме обыкновенных дифференциальных уравнении имеются уравнения в частных производных.
Физически зто соответствует учету волновых явлений или гидравлического удара в трубопроводах, учету волновых процессов в длинных электрических линиях при передаче по ним воздействий от одного звена системы автоматического регулирования к другому илн же при регулировании процессов в самих трубопроводах или длинных ливиях. Этот вопрос приобретает практическое значение чаще всего в некоторых системах регулирования, включающих в себя водяные, масляные или газовые трубопроводы (либо в об"ьекте, либо в регуляторе), реже — в некоторых системах течерегулирования (телеуправления) и т.
и. Известно, например, что водяной трубопровод гидротурбины описывается без учета потерь уравнениями дз да да аь дз дь дх ' дь д дх ' где и — скорость явив<ения воды, й — напор в произвольной точке, определяемой координатой х вдоль трубопровода, а — скорость звука в воде. Уравнения длинной электрической линии без потерь имеют вид ди дь дь дк дх дз ' дх дь Я 14.1). тде и — напряжение, ь — ток в произвольной точке, определяемой координатой х вдоль линии, 1н с — индуктивность и емкость единицы длины линии. После решения указанных уравнений в частных производных с учетом граничных условий, определяемых смежными звеньями данной системы автоматического регулирования, для системы в целом получаются дифференциально-раююстные уравнения того же типа, как и для систем с запаздыванием 1 11.2] УРАВнения линейных систем с РАспРеделенными ЛАРАметРАми 421 Рассмотрим вывод уравнений системы автоматического регулирования давления газа в трубопроводе, схема которой изображена на рис.
14 7. В данном случае сам регулируемый объект (трубопровод) является звеном с распределенными параметрами. Для простоты будем считать его (о' прямолинейным, а всех потре- сс бителей — сосредоточенными на д конце трубопровода. (у Регулятор состоит из чув- 2 ствительного элемента 2 (мембранный измеритерь давления), 0адочо д усилителей 8 и 4 (струйная трубка и пневматический дви- — — г гатель) с жесткой обратной связью Б и из регулирующего органа 6 (клапан). Возмущающее воздействие ~ (С) на объект выражается в изменении по произволу потребителей некоторого эквивалентного выходного сечения на конце трубопровода.
Уравнение регулируемого объекта. Движение газа в трубопроводе подчиняется уравнению Фс Ркс. 14.7. дм дм 1 др — +ю — = — — —. дс дС р дС (14.21) Учтем такхсе условие постоянства массы — -(-р — +сд — =О др д др дс дС д! и адиабатическое уравнение состояния газа (14.22) (14.23) В этих уравнениях ю, р, р — соответственно скорость, давление и плотность газа в текущем сечении трубопровода с координатой 1 в момент времени С (вся длина трубопровода обозначается через Ь); й — показатель степени в уравнении адиабатического состояния газа; индексы О вверху (р', р') означают, что данные величины относятся к установившемуся состоянию системы. Продифференцировав (14.23), получаем откуда (12.25) где а †скорос звука в газе, определяемая формулой Г дро 1г ~Р ро Обычно не учитывают сопротивления движения газа в трубопроводе, дм др пренебрегая сравнительно малыми членами сд — и ю — .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
