Бесекерский В.А. Теория систем автоматического регулирования (1972) (1151987), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Если В, задано, то (12.15) 344 метОды синтезА систем АвтОМАтическОРО РегулиРОВАння [гл 12 откуда г г А, (12. 27) А, =-- (1 — а (1 — !'„)) аА',. (12.28) Такиы образом, безразмерные коэффициенты А, и Аг явля1отся функциями критерия переходного процесса А-„, зависящего от желаемой степени затухания и коэффициента разложения а, определяющего соотноп1ение постоянных времени затухания отдельных составля1он1их. При и. =, имсем — = — — т. е. С1 =-.—,, и отношение по- 3 ' гт1 а 2 ' ' ' 2 н, гс в, стоянных времени Тс= —, и Т,=.—,, будет —," — —, = С1 ' .
Г„ лп, Следовательно, обе составляющие переходного процесса затухают с одинаковой скоростью. Аналогичным образом можно получить выражения для коэффициентов характеристического уравпевяя четвертой, пятой п более высоких степеней (117). Синтез системы регулирования начинается с того, что для выбранной структурной схемы и введенных корректпру1ощих средств находится характеристическое уравнение. Затем варьпру1отся параметры основного капала регулирования н корректнрукпцпх средств таким образом. чтобы получить требуемые зпачоппя коэффициентов характеристического уравнения (12.1) или (12.20). Этот метод оказывается достаточно эффективным в случае сравнительно невысокой степени характеристического уравнения (и =.
2 —; 4). В более сложных случаях обеспечить требуемые значения коэффициентов характеристического уравнения оказывается затруднительно, так как некоторые параметры системы и корректирующих средств могут влиять сразу на несколько коэффициентов характеристического уравнопия, Недостатком этого метода является также то, что необходимо задаваться видом корректирующих средств. Поэтому получаемое решение будет во многом зависеть от опытности проектанта. $ 12.3. Метод корневых годографов Качество системы регулирования с точки зрения быстродействия и запаса устойчивости может характеризоваться расположением корней числителя и знаыенателя передаточной функции замкнутой систезпг, т.
е. распологкением нулей и полюсов поредаточной функции (1 8гб). Зная эти корни, можно изобразить их располоя1епие па козпллексной плоскости корней. При расчете регулируемой системы целесообразно проследить, ьак меняется общая картина распололзения корней прн изменении отдельных параметров, например общего коэффициента усиления, постоянных вреыени корректирующих цепей и т. п., с целью установления оптимальных значений этих параметров.
При плавном изменении значения какого-либо параметра корни будут переыещаться па плоскости корней, прочерчивая некоторую криву1о, которую будем называть корневым годографим или траеюпорией корней. Построив траектории всех корней, можно выбрать такое значение варьируемого параыетра, которое соответствует наилучп1ему располол'енню корней. Первый способ построения траекторий корней заключается в следующем. Пусть имеется днфферегщиальное уравнение замкнутой системы, записанное 345 | |хз] мвтод корнквых годоггльов для регулируемой величины при наличии задающего воздействия (5.3)| 1'(р) у(Ь) = Л( ) а(Ь) где 0 (р) = с|ар + а|р ' + ... + а„, Л (р) — Ьэр + Ь!р ' + 4 б Это уравнение записано здесь для случая равенства нулю возмущающих воздействий.
Оно может быть записано также для любого возмущающего воздействия. Это не изменит его формы и не отразится на дальнейших рассуждениях. Передаточная функция замкнутой системы Ьэр" гЬ!р~' '4-... +Ь~ аьр» ° . гори-1+ р ад (12,29) И' (Р) = ~Ж (Р). (12.30) Здесь К = ʄ— общий коэффициент усиления разомкнутой системы„имеющий размерность сев ", где г — степень астатнзма; 6, (р) — операторная часть передаточной функции разомкнутой системы. Характеристическое уравнение системы может быть записано в виде 1 ! и (р) ка (р) .|- 1 =- (12.31) Полюсы передаточной функции, т. е. корпи знаменателя, обозначим через р„ра,..., р„, а ее нули (корни числителя) — через р,", р'„..., р' .
Коэффициенты числителя и знаменателя (12.29) определенным обрааом вырая|ены через параметры регулируемого объекта, регулятора и корректирующих устройств. Если нужно выбрать величину какого-либо параметра р (постоннная времени, коэффициент усиления и т. п.), входящего как угодно в коэффициенты (12.29), то необходимо принять некоторые постоянные значения для всех осталы|ых параметров, а для искомого параметра )Ь задавать различные числовые значения р„()з,..., ()ь внутри реально возможных пределов изменения этого параметра в данной системе регулирования. Для каждого из этих вариантов необходимо затем вычислить корни числителя и знаменателя (12.29). Результаты вычислений можно свести в таблицу, на основании которой легко строятся все траектории корней. Если нужно выбрать два или несколько параметров регулируемой системы, то такого рода вычисления нужно проделать несколько раз, меняя ка'кдый раз один из параметров при ааданных значениях всех остальных.
Вычисление корней при этом моя|но производить любым численным методом, возможно более простым, так как ввиду приближенности корневой оценки здесь не требуется большой точности вычислений. В настоящее времн имеются электрические устройства, поаволяющие строить на экране траектории корней непосредственно по заданным коэффициентам уравнения. Из простых численных методов определения корней можно рекомендовать, например, метод последовательных делений ! 981. Другой способ построения траекторий корней, разработанный Ивэнсом и Э. Г. Удерманом [128), в отличие от первого, пригодного для выбора любого параметра системы, специально приспособлен для выбора общего коэффициента усиления передаточной функции разомкнутой системы (5.10), которук| запишем следующим образом: 348 ИГтоды синтгзА снстГм АВтомАтичвскОГО РВГУлиРОВАниЯ 1гл.
12 Обозначкм ш>люсы и нули передаточной функции разомкнутой системы Твенно черео Г7 до ... 172 н 17 до,, ~ Тогда о о о , (1 — Ч1)(1 — Чо) .. (Р— Ч') (Р— щ)(Р— 92)" Ь-чо) (12.32) о о о ~О (~» )' чо) ( оо) ( чоо) Калодый сомножнтель в выражении (12,32) можно изобразить в виде вектора на комплексной плоскости (рис. 12.1), где р — текущая точка. Обозначим длину (модуль) каокдого вектора в знаменателе (12.32) через г„г,„..., г„, а в числителе — через го г,',..., г,'„.
Соответственно угол между вектором н положительным направлением оси вещественных (аргумент) для анамеиателя обозначим оР1, ГР2,..., 1Р„, а для числителя— 2Ро„оРоо,..., ГР,'„. По правилу перемножения комплексных чисел согласно формуле (12.32) найдем, что 6 (р) будет представлять собой вектор с длиной г и аргументом ГР, причем С (р) — — геое, (12 33) где ГГ2...ГГо оо о г .—.- Г1 Г2 Го 1Р '11+ ГР2+ ' ' ' + ГРт (ГР1 Г ГР2+ ' ' ' + ГРо) Подставив (12.33) в выражение (12.31), получим — е-1т = — 1, 1 АКг (12.34) (12.35) (12.36) откуда вытекают два равенства: Лг ' (12.37) 1Р= +" и, (12.38) Траектории корней (рнс. 12.1) строятся таким образом, чтобы они удовлетворяли условию (12.38).
После этого по формуле (12.34) для каждой йг х-,-хо — — -х РГ ~$ Уг Р Рг х- Рис. 12.1. конкретной комбинации корней можно вычислить А и величину г, а затем по формуле (12.37) — общий коэффициент усиления К. Для упрощения построения траекторий корней используются следующие свойства. 1. При К = О корни характеристического уравнения аамкнутой системы совпадают с полюсами передаточной функции разомкнутой системы Йг (р) или 6 (р), так как согласно (12.31) при К = О имеем 6 (р) -~ со.
а 1г.г] метОд когнквых ГодогРАФОВ 2. При К -~ оо корни стремятся к нулям передаточной функции разомкнутой системы, так как при К -ь со из (12.31) получаем 6 (р) -~- О. Но количество нулей равно т, в то время как количество корней п ) и. Поэтому остальные и — лг корней уходят в бесконечность, так как 6 (р) -~. 0 еще при р -~- оо. Для последних и — т корней можно определить направления асимптот на основании (12.31) и (12.32). При больших р (р — оо) нмеем соответственно (12.39) КА 6(р) =- (12.40) ра' (при р -а со) будет я-).2(я числа р (при р -+ со), т. е. нак- откуда аргумент комплексного числа (1=-1, 2, 3,...) и, значит, аргумент лон искомых асимптот, будет (1=1, 2, 3, ...). (12.41) 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
