Бесекерский В.А. Теория систем автоматического регулирования (1972) (1151987), страница 72
Текст из файла (страница 72)
3. Нерегулярная качРис. 11.23. к а. Некоторые объекты, например корабли, самолеты и другие, находясь под действием нерегулярных возмущений (нерегулярное волнение, атмосферные возмущения и т. и.), движутся по случайному закону. Так как сами объекты имеют определенную, им свойственную, частоту колебаний, то они обладают свойством подчеркивать те частоты возмущений, которые близки к их собственной частоте колебаний. Получающееся при этом случайное движение объекта называют нерегулярной качкой в отличие от регулярной качки, представляющей собой периодическое движение.
Типичный график нерегулярной качки изображен на рис. 11.23. Из рассмотрения этого графика видно, что, несмотря на случайный характер, это движение довольно близко к периодическому. В практике корреляционную функцию нерегулярной качки часто аппроксимируют выражением (11.82) В (т) = Ве-и~'! соз рт, где (1 — резонансная частота, (г — параметр затухания,  — дисперсия. Значения Ю, р и р находятся обычно путем обработки экспериментальных данных (натурных испытаний). Корреляционной функции (11.82) соответствует спектральная плотность (см.
табл. 11.3) 8(ю)=Ф~ .. ' + —. „э (а мг) г (а м)з ~' (11.83) Неудобством аппроксимации (11.82) является то, что этой формулой можно описать поведение какой-либо одной величины нерегулярной качки (угла, угловой скорости или углового ускорения). В этом случае величина В будет соответствовать дисперсии угла, скорости или ускорения. Если, например, записать формулу (11.82) для угла, то этому процессу будет соответствовать нерегулярная качка с дисперсией для угловых скоростей, стремящейся к бесконечности, т. е. зто будет физически нереальный процесс.
Зйб слу'1Айные пРОцессы В систвмАЕ РегулиРОВАния Гг.ь 1! Более удобная формула для аппроксимации угла качки ?? (т) = ??зе ж!1 (Сов[)т+ — "з1вр [т[) . (11.84) Соответствуюпзая спектральная плотность 2Р+и р ' ~ Р!+ Гр — м)' + в!+ Гр+«')! .)" Здесь ?7е — дисперсия для угла. При такои аппроксимации дисперсия для угловой скорости получается конечной: ?7а =- (р' + РА!) А)в.
Однако и эта аппроксимация соответствует физически нереальному процессу, так как дисперсия углового ускорения получается стремящейся к бесконечности. Для получения конечной дисперсии углового ускорения требуются еще более сложные формулы аппроксимации, которые здесь не приводятся. (11.85) Ркс.
1!.24. Типичныо кривые для корреляционной функции и спектральной плотности нерегулярной качки приведены на рис. 11.24. й 11.6. Канонические разложения случайнык функций Элементарной случайной функцией называется функция, которая может быть представлона в виде х (?) =- х<Г(?), (11.86) где 1р (?) — некоторая известная неслучайная функция времени (синусоида, экспонента, степенная функция и т.
и.). Если математическое ожидание величины х равно нулю, то и математическое ожидание случайной функция М [х ГГ)) =- О. Корреляционная функция в этом случае ?? (?, ?1) = М !х р (!) хр (?!)[ =- ??Ч (г) р (?1), (11.87) где дисперсия В .= М [х!). 1'ассмотрим случайную функцию х (!), которая может быть представлена а виде суммы математического ожидания х (?) и элементарных случайных функций: х (?)--=х(Ф)+ ~ ~у,х,(?). (11.88) Здесь [г, — случайные взаимно некоррелированные коэффициенты с нулевым математическим ожидапием.
Представление случайной функции в виде суммы ее математического ожидания и взаимно некоррелировакных элементарных случайных функций называется каноническим разложением. Случайные коэффициенты носят название коэффициентов канонического разлох!ения, а функции х, (1)— координатных функций. ч ы.з) кАнонические РАзложения случАЙных Функций 327 При использовании канонического разложения значительно упрощается выполнение различных операций над случайными функциями (дифференцирование, интегрирование, решение линейных дифференциальных уравнений и т. и.).
Так, например, производная от (И.88) будет +'~ ~ух ех (й) ех я Ех~ (М) (И.89) Аналогичным образом интегрирование (И.88) дает ~ х (Ф) ЙЪ = ') х (Е) й + у'„Ъ~„~ хт (() сй. (И.9О) Для нахождения канонического разложения случайных функций существуют различные методы [108], Из (11.88) может быть найдена корреляционная функция В (~, е1) =: М (х (е) х (е1)) =- (х (е))з+ ~ Р х, (() х, (г1). (И.91) Ю )7(т)=- "Я Р,е' "=(х)'+~' 2Р,сова,т, а, — — ~~, (И.92) где у — целые числа.
Этому выражению соответствует каноническое разложение самой случайной функции Ф~ х (1) ==х-)- 2,' У',е'~~'=-х+ 2,' (Х,сова„1+ А,в1па,г), (И.93) х —.0 где Х, и )', — взаимно некоррелированные случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и с одинаковыми дисперсиями О,ЪР,. В разложении (И.92) должны отсутствовать нечетные гармоники.
Тогда ряд (И.93) будет содержать только четные гармоники, что соответствует периоду 2Т (Интервалу — Т ( 1( Т). Если разность между двумя соседними гармониками Ьа = а„а— — а, = 2г устремить к нулю, что соответствует Т -~- оо, то формулу (И.92) можно представить в виде 00 х) (т) = 11п1 ~~)' — е'"т'Аа = — ~ Я (а) е' ' Йо. (И.94) х- —,ю СО Здесь введена спектральная плотность стационарного процесса (см.
$ И.б) Б (а) =- 11ш — „' = )1ш 4ТР„, 2к0„, ах- З Аа т являющаяся изображением Фурье корреляционной функции В (т). .Здесь Р, — - М (Р;) — дисперсии коэффициентов канонического разложения. Таким образом, корреляционная функция может быть выражена через те же координатные функции. Для стационарной случайной функции, заданной в интервале — Т -С Т, разность т = ~, — ~ изменяется в интервале — 2Т ( т ( 2Т и рааложение корреляционной функции может быть задано в виде ряда Фурье: 328 слтчлнныв пгоцкссы в спсткмлх гвгэлнж>влияя Гг.1.
11 з 11 7. Прохождение случайного сигнала через линейную систему Рассмотрим линейную систему (рис. 11.25) с передаточной функцией И'(р) и функцией веса иэ (т). Пусть на входе действует случайный сигнал х, (1) с корреляционной функцией Я, (1, г,). Выходпой сигнал хо (г) на основании формулы свертки (7.44) хо Я = ) и'(т) х, (й — т) гН вЂ”. ~ и (à — -т) х,(т) о(т. Рассматривая в этой формуле математические ожидания, имеем с М [хо (1)) = хз (1) =- ~ и (У вЂ” т) х, (т) дт. о (11.95) Для получения корреляционной функции па выходе запишем исходную формулу для центрнрованныл значений х',(э) =-х,(1) — х, (1) и х',(Р) =-.хэ(э)— — хо(1) для двух моментов времени: х",(1) =- ~ ю(т)) х',(1-8) оц, 1 и ! *, оо = ) о) .,'о, — ч л1.
~ о (11.!Н~) После перемножения получим н хо(т) х'(1,) = ) ) иэ(т)) и~(Х) х~(э — ц) х',(1, — Ц с(т) ИХ. (11.97) о о о и А,'(1, Ю,)=- ~ ю(т)) о(э) ) иэ().) )то,(~ — э), г,— Х) с().. (11,98) 0 о Для определения дисперсии на выходе 1)з(т) в формуле (11.98) следует положить 1 = 1п Тогда Р, (1) =. Ао (1, 1) —.— ~ ю (т() дэ) ~ ю ().) Ло, (г — т(, г — л) о() . (11.99) о О В случае использования канонического разложения случайной функции х,(1) = — х,(т) + Ч 'г',.х,(1) (11.1ОО) ч выходная величина может быть пречставлена в виде х, (1) =- х, (1) + ~' 1;,у,. И), (11.101) Далее, переходя к математнчесьому ожиданию, можно найти корреляционную функцию 1 11Л1 НРОхождение случАйнОГО сн1'нАЛА чеРез систему 329 где хз(7) определяется формулой (11.95), а координатные функции у,(7) — -- ) ю(à — т) х,(т) Ыт.
о (11 102) Корреляционная функция выходного сигнала К,'(6 г1) =',~, Л,У„(Г) У,(71), т (11.108) а дисперсия л (1) = Х л.! у. (Г)) 7. (11.104) Для нахонгдения математического ожидания хз (~) и координатных функций у„(г) в соответствии с выражениями (11.95) и (11.102) могут использоваться различные методы построения переходных процессов (см. главу 7). В случае, когда на входе (рис.
11.25) действует случайный стационарный процесс, корреляционная функция Л1 (ц 11) — "- Л, (т) зависит только от сдвига т = — 11 — й Однако на выходе линейной системы процесс некоторое время после включения будет устанавливаться и не будет стационарным. Корреляционная функция на выходе может быть получена из общего вырал1ения (11. 98): Л; (Ц 77) =- ~ ю (ц) й7 ~ ю ® Л; ( — ц+ Л) 1Л, (11. 105) а дисперсия — из (11 99): 1 1 В, И) --=- ~ (ч) й1 ~ ю () ) Л,' Р. — 7)) в . (11 106) Если рассматриваемая система устойчива, то Л", (6 с1) и Лз (г) стремятся к некоторым пределам, которые определяют стационарный процесс на выходе.
Они могут быть найдены из (11.105) и (11.106), еслиположить г'-+. Оо и 11 — оо. Тогда Ю Л',(т)=- ~ ю(7))й7 ') ю(й)Л;(т — т~+Л)гУ., (11.107) о о Л, —. Л,, '(О) =- ) н7 (70 й7 ') и (А) Л", (Л вЂ” 7)) й . (11.108) о о Пусть, например, на входе интегрирующего звена с передаточной функцией И' (р) —. кlр и функцией веса ю (1) =- й действует белый шум с корреляционной функцией Л, (т) =- Л', (т) =- Х 6 (т).
Тогда в соответствии с (11.106) дисперсия на выходе будет 17з (1) --. ~ й й1 ') (гМ 6 (А — Ц)д) -.=: ~ й й7 к77'-.-. 61МГ, 'о О о т. е. дисперсия растет пропорционально времени. Нетрудно видеть, что 777 (оо) -~. ОО, так как звено не является устойчивым, а оно находится на границе устойчивости (нейтрально-устойчиво).
.ззо С11УЧАЙНЫК ПРОЦЕССЫ В СИСТРМАХ РКГУЛИРОВАНИЯ 52А. !1 Для расчета установившегося стационарного процесса на выходе системы (рнс. 11.25) более удобно исходить из известной спектральной плотности на входе Л1 (ю). Тогда можно легко найти спектральную плотность О'2 (ю) выходного сигнала. Действительно, по определению спектральная плотность на входе связана с изображением Фурье г"1 (5ю) случайной величины х1 (5) соотношением (11.61): Л ( ) =.
11 ,~ ( Л (5 ) (-'. 5 т Это же соотношение имеет место и для выходного сигнала: 82 (е1) =- 1ЦП вЂ” ( г"2 (5е1) 52. 5 т В линейной системе изображения Фурье г1 (5ю) и Р2 (5ю) связаны между собой посредством частотной передаточной функции: '~ 2 (/ю) 11 (5е1) р1 (5ю)' Отсюда можно найти ~2( ) 11п'эг 5~1(5")55И (5че)5' И:1И 8~ (ю) = ( И' (5ю) 5' 8~ (ю). (11.109) Таким образом, спектральная плотность выходной величины может быть получена умножением спектральной плотности входной величины на квадрат модуля частотной передаточной функции линейной системы. Отметим, что приведенное выше доказательство, вообще говоря, не является ст|1огнм, так как существование стационарного случайного процесса на выходе не доказано.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
