Бесекерский В.А. Теория систем автоматического регулирования (1972) (1151987), страница 67
Текст из файла (страница 67)
-~/ 1>— Укажем простейшие свойства среднеквадратичных отклонений. 1. При сложении независимых случайных величин и — -х+ у+3+ дисперсии складываются: Р. =Р„+Р„+Р,+... Поэтому среднеквадратичное отклонение суммы независимых случайных величин с, -= )~'с*, + па+ а', -~-... Эта формула часто применяется в измерительной технике и в автоматике для вычисления среднеквадратичных огпибок. 2. Пусть имеется и случайных величин хы лм хз хм ° ° т хп с одинаковыми средними значениями х и с одинаковыми законами распреде- ления. Тогда их среднее арифметическое Х1 ь х2+ ° ° ° + хп тоже будет случайяой величиной с тем л<е самым средним значением у = з но среднеквадратичное отклонение его будет в 1Ги раз меньше, чем для каждой из составляющих (в случае независимых случайных величин); сх а„= —" ~/и Например, если производится п измерений одной и той же физической величины, то их среднее арифметическое, хотя тоже является случайной величиной, но всегда надежнее (имеет меныпее среднеквадратичное отклонение), 361 зыы ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ чем каждое измерение в отдельности.
Здесь случайные ошибки измереквя в известной мере компенсируются. Но надо помнить, по систематические ошибки приборов при этом остаются в полной мере в составе среднего арифметического и никакой массовостью измерений скомпенсированы быть не могут. 3. Для и случайных величин, независимых и имеющих одно и то же среднее значение х, среднее арифметическое будет при достаточно большом и как угодно мало отличаться от среднего зна- чения х (с вероятностью, как угодно близкой к единице). Замечание в скобках означает, что это практически достоверно, но не абсолютно, потому что среднее арифметическое есть все же случайная величина.
Таким образом, прн большом п и указанных усло- виях х1+ ха '- +ха '''+ —" -а.х при л-а. со а О Этот гоков болыиих чисел, доказанный ф гг П. Л. Чебышевым, имеет первостепенное значение для обработки экспериментальных данных н для учетной статистики. 4" Введем теперь понятие интегрального /7 закона ратрсделения. Интегральным законом l г д Э г д 7 распределения или функцией распределения называется вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее некоторого значения х. Математически эта формулировка записывается в виде Г (х) =- Р ($ ~ х), где $ — текущее значение случайной величины х.
Например, если график закона распределения дискретной случайной величины х имеет вид, показанный на рис. 11.5, а, то график функции распределения г" (х) для нее будет иметь вид, показанный на рис. 11.5, б. Он покааывает, что вероятность того, что величина х получит значение меньше единицы, равна нулю; меньше трех — равна 0,2; ! а~'~'~~~! меньше четырех — равна О 6 и т.
д. Функция распределения г" (х) всегда возрастает с увеличением х, причем г" (х) = 1 р л, ~ г /а и х при наибольшем возможном значении х„„, и остается равной единице при всех анаРаг, Н.б. ЧЕНИЯХ Х ) Ха ах' Например, для закона Пуассона (11.3), когда дискретная случайная величина может принимать значения х =- О, 1, 2, 3,..., функция распределения г (х) — Х Р (х) о (11 10) будет иметь вид бесконечной лестьпщы (рис.
11.6), по не заходящей выше единицы, т. е. г" (х) -а-1 прн х -~ оо. Вероятностные характеристики непрерывных случайных величин. Непрерывная случайная величина может принимать все значения в каком- либо заданном ограниченном интервале (а ~ х Ь) или все аначения от — оо зог сг!учайнын пеоцкссы В снствмьх Рвгулнвовхния (ге !! до +сю. Следовательно, функция распределения (интегральный закон распределения) для непрерывной случайной величины будет изображаться непрерывной кривой. На рнс. 11.7 показаны оба упомянутых вышо варианта. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет определенное числовое значение х, бесконечно мала (например, вероятность попадания центра тяжести снаряда в определенную точку цели). Вероятность же того, что непрерывная случайная нелнчина окажется в некотором промежутке х, < х ( хю будет а иметь конечное значение, а именно: Р (х, ( а ( т!) '-'- К (хз) — Р (х,).
Вероятность того, что непрерывная случайная величина содержится в промежутке между х и х + Ых, будет .се) Р (х ( с ( х + пх) =- пг (х) ==' — Их. сс (с) с'с Величина ( ~ =ю(х) (11.11) Ряс. 11.7. называется плотностью вероятности. Закон распределения для непрерывной случайной величины в отличие от дискретной задается не в виде значений вероятности, а в виде плогппости еероягпносгпи и! (х), называемой также дифференциальным законом распределения. На рис, 11.8 показаны дифференциальные заковы распределения для а) Рнс. 11.8. двух вариантов функции распроделения Р (х), показанных на рис.
11.7. Еслгг бы здесь использовалось то >ке понятие закона распределения, что и для дискретной случайной величины, то получились бы бесконечно малые ордннаты Р (х). Выражение !о (х) с!х означает вероятность того, что случайная величина содержится мел<ду х и х + дх: Р (х ( с ( х+ Их) = ю (х) дх. Вероятность того, что случайная величина содержится между значениями х, и х, определяется формулой ( -=~~ ) ~ () е! что геометрически выражается защтрихованной площадью на рис. И.8.
1 11.13 ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ Кроме того, имеет место зависимость х г" (х) = ) к1(х)ох. (11.18) Вся площадь под кривой и1(х) равна единице: ~ о1(х) 1)х=-1, (11 14) так как Р (оо) = 1. Формула (11,14) соответствует моменту..нулевого порядка. Среднее значение (метематическое ожидание) соОтветствует моменту первого порядка: х = ) хи (х) дх, (11 15) что вытекает из формулы (11.5) как предел суммы. 51оменты высших порядков по аналогии с (11.6) будут х = ~ х и1(х)дх.
(11.16) Такиа1 я1е образом можно вычислить центральный момент т-го порядка М((х — х) ]= ~ (х — х) к1(х)11х. (11.17) Как и в случае дискретных случайных величин, центральный момент первого порядка всегда равен нулю. Рассеяние непрерывной случайной величины можно оценивать одним из следующих значений, словесные формулировки которых остаются прежними. Среднее отклонение (мало удобная для вычислений величина) Л=-- ~ (х — х(и1(х) дх. (11.18) Дисперсия (наиболее удобная для вычислений величина) й --.
') (х — х)зо1 (х) ох=--хз — (х)з. (11.19) Среднеквадратичное отклонение и -.:-. )1 Ъ = $/ хз — (х)з. (11.20) Средневероятным отклонением Л, называется такая величина, при которой отклонения ~ х — х ~ = Ь„и ~ х — х ~ ~ Ь„НА1еют одинаковую вероятность. Рассмотрим простейшие типовые законы распределения непрерывных случайных величин. З04 СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СИСТЕМАХ РЕГУЛИРОВАНИЯ !га. 11 1. Раеномерное распределение случайной величины на определенном участке характеризуется плотностью вероятности ]а (х) и функцией распределения Р (х), показанными на рис.
11.9. При этом на основании свойства (11.14) имеем 1 с =-— Ь вЂ” а Подсчитаем характерные значения. Среднее значение (математическое ожидание) +М ь х = ~ хи](х) с(х= ) хе дх= Среднее значение квадрата случайной величины (момент второго порядка) ь — Г, ав.в аЬА-Ь« х'=- л! хесдх = а Дисперсия — (ь — а)» )7 =х» — (х)'=- 12 Среднеквадратичное отклонение — Ь вЂ” а !/П 2 )/3 Средневероятное отклопение А, = — (Ь вЂ” а) и. 1 в — Ь Рас, 1!АЬ Максимально воз»южное отклонение случайной величины от среднего значения в данном случае будет Ь вЂ” а Аивв = —.
2 2. Нормальньш" закон распределения неп1]ерывных случайных величин (аакоп Гаусса). Этот закон имеет вид !в-х!в и] (х) „е ~~~2 о )/2л (11.21) где и — среднеквадратичное отклонение, а х — математическое ожидание случайной величины. График для этого закона изображен на рис. 11.10. Он имеет типичнук] «колоколообразную» форму. Анализ условий возникновения норРзс. ! !.19.
мального распределения показывает, что оно имеет место во всех тех случаях, когда случайная величина характеризует собой суммарный эффект большого числа независимых причин. Поэтому нормальное распределенно весьма часто встречается на практике. Для этого закона средпевероятное отклонение будет А,= ~г — о=-0.674о. / 2 ЗОЗ ВВОДНЫК ЗАМЕЧАНИЯ $ Н.11 За максимальное отклонение, которое может иметь место, обычно принимают величину Ь „= Зо, так как вероятность того, что отклонение ! х — х ) будет балыке Зо, очень мала, а именно: Р (~ х — х ~ ~ Зп) =- 0,003. Для удобства расчетов составлены таблицы для единичкого нормального закона.
Для получения этого закона положим х == 0 и введем новую относительную переменную у =-- †. Тогда вероятность того, что теку1цве значение относительной переменной находится в интервале от — а до +а или сама переменная находится в интервале от — аа до +ап, определится выражением таа +а „в Ф(а) —: ) е зав Их==- ) е з е)у. -аа -а (11.22) Для функции Ф (а) составлены подробные таблицы. В качестве иллюстрации приводится краткая табл.
11.2. Т и б л в ц а 11.2 Едввмчкый нормальный закон Рассмотрим пример пользования таблицей. Пусть имеется некоторая случайная величина х, для которой математическое ожидание х = 10, а среднеквадратичное отклонение составляет и =- 4. Определим, какова вероятность того, что случайная величина лежит в интервале 9,5 а х 10,5. Это означает, что отклонение от математического ожидания должно лежать в интервале — 0,5 ( Ь ( +0,5. Для относительных величин это соответствует неравенству — О, 125 — (+ 0,125.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
