Бесекерский В.А. Теория систем автоматического регулирования (1972) (1151987), страница 66
Текст из файла (страница 66)
К категории случайных собыгпий можно отнести такие, точное предскааание протекания которых в каждом отдельном случае оказывается невозможным. 296 случАйные НРОцессы В снстемАх РегулиРОВА1гня 1гн. 11 Так, например, если бросать монету, то выпадение герба или цифры будет случайным событием.
Если повторить этот эксперимент Х раз, то можно зафиксировать определенное число выпадений герба т и число выпадений цифры 14' — т, Относительная величина — называется частотой события Х М вЂ” т выпадения герба, а величина — частотой события выпадения цифры. Х Если устремить число экспериментов 4'ель Л1 -~- оо, то частоты событий будут стремиться к некоторому пределу (11.1) 11ш — — - — Р, и Рзс. !1.1 называемому вероятностью данного события. В рассмотренном случае очевидно, что обе вероятности выпадения герба и цифры одинаковы и равны 0,5. Вероятность каждого события лежит в интервале 0 ( Р ( 1.
Если событие является невозможным, вероятность его равна нулю; если событие является достоверным, его вероятность равна единице. В примере с бросанием монеты рассматривалась дискретная случайная величина, которая могла принимать два фиксированных значения — выпадение герба и выпадение цифры.
Существуют случайные величины, которые могут принимать непрерывные значения. Так, например, если рассмотреть стрельбу из орудия (рнс. 11.1), то расстояние Ь от орудия до места падения снаряда будет случайной величиной, которая на определенном отрезке может принимать все возможные значения. В этом случае можно говорить о вероятности нахождения случайной величины Л в некотором интервале от Ь, до Ь2. Т а б л и П а 11.1 Вероятностные характеристики дискретных случайных величин. Чтобы Значение х, 22 22 ... х„ полностью знать дискретную случай- случайную величину, надо иметь следующие данные: а) все возможные значения, которые она может принимать при данных Йеронт- р, р, рб ...
р„ условиях задачи или опыта; ность б) нероятность появления каябдого из этих значопий. Так, например, если дискретная случайная величина может принимать конечное число значений х„ х„ х„ ..., х„ и вероятность каждого значения будет соответственно Р„ Р2, Р„ ..., Р„, то можно представить так называемый закон распределения случайной величины в виде таблицы 11.1.
При этом должно выполняться условие ~~ Р;-:=1. (11.2) 4 —.-1 Пусть, например, производится опыт бросания игральной кости. Очевидно, что при каждом бросании число выпавших очков, котороо представляет собой случайную величину, может принимать одно из следующих значений: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Если кость совершенно симметрична, то вероятность выпадения каждой из этих цифр является одинаковой. Так как число различных значений, которое может приниыать случайная величина, равно шести, то из 111.2) имеем Р1 "Р2 Рб Р4 "Рь Рб 4 " Ь б 1 1ОД1 ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ Графически этот закон распределения изображен на рис.
11.2. Он представляет собой равновероятное распределение в некотором интервале (в рассматриваемом случае от 1 до 6). В некоторых случаях закон распределения случайной величины может задаваться в аналитической форме. Примером аналитического задания закон» распределения дискретной случайной величины является часто используемый закон Пуассона. Он применим к дискретным случайным величинам, которые теоретически могут принимать все положительные значения от 0 до оо. Примерами таких величин могут служить число пассаl жиров вагона трамвая, число вызовов на телефонной станции в течение ка- д 1 у д ~ Х д 7 8 х кого-либо определенного отрезка времени, число электронов, попадающих Рнс.
11.2. на анод электронной лампы за определенный промежуток времени, и т. п. Этот закон записывается следующим образом для целых значений числа х: ~„х Р(х) = — е-х, х! (11.3) где Р (х) — вероятность появления значения х; Х представляет собой среднее значение данной дискретной величины, полученное по результатам большого числа опытов. Графически этот закон имеет вид, изображенный на рис.
11.3, причем место максимума зависит от величины Х. В качестве одного из примеров рассмотрим функцию у (1), которая может принимать одно из значений + и или — а (рис. 11.4). Предположим, что среднее число перемен знака в единицу времени этой функции равно р н что вероятность перемены знака на интервале (1, 1 + йг) Рис. 11.4. Рис. 11.3. не зависит от того, что происходит в остальные моменты времеви. Тогда вероятность перемены знака на интервале М составит р М (< 1. Вероятность того, что на интервале Ь1 не произойдет перемены знака, будет (1 — р М).
Если взять два интервала времени М, то вероятность отсутствия перемены знака на двух интервалах будет равна произведению вероятностей и составит (1 — р М)'. Для трех интервалов М она составит (1 — р йе)О и т. д. Возьмем теперь конечный интервал времени Т, который можно представить в виде Г:= к М. Тогда вероятность отсутствия перемены анака на этом интервале можно найти из выражения Р(0) = 11ш (1 — рЛ1)" = 11ш (1 — рбг)А' =е-эт.
Ю О А1-~О 298 с:!учАйные пРопессы В системАХ РегулпРОВАния [га. 11 Аналогичным образом можно показать, что вероятность одной перемены знака на интервале Т будет Р (1) .= [А Те Рг. вероятность двух перемен (,Т1! знака Р (2) = — „е Рг и т. д. Следовательно, вероятность х перемен знака на интервале времени Т будет определяться выражением (Р')" а- т х[ которое совпадает с формулой (11.3), если положить в ней /> =- [>Т, где [АТ— среднее число перемен знака на интервале времени Т, которое будет наблюдаться при многократном повторении наблюдения. Хотя закон распределения полностью определяет случайную величину, для практики нужны некоторые более простые осредненные характеристики случайной величины, выражающиеся в виде обыкновенных неслучайных чисел.
Одной из таких характеристик является среднее значение, или математическое ожидание, случайной величины. Оно определяется из выражения х =/*'>/ [х[ =- ~~„'х!Р;. (11.5) >=-. 1 Так, например, для случая бросания игральной кости > / ! ! 1 1 - ! 1! == 1>' х; Р; --. (1 ° —; + 2 —, -[- 3 — + 4 — + 5 —, + б — ) = 6 6 6 6 6 6) 1=1 = — (1+ 2+ 3-;- 4+ 5-.'- 6) — — =-3.5.
6 ' ' ' ' ' 6 Вообще для равновероятного закона распределения (11.5) превращается в формулу х -- — ~~~" х;. Для случайной величины, распределенной по закону Пуассона, среднее значение, подсчитанное по формуле (11.5), дает х = А. Основные свойства среднего значения случайной величины следующие. 1.
Для любых случайных величин среднее значение их суммы равно сумме средних значений этих величин: х+ у+э--' ... —.=. х+ у+ з+... 2. Среднее значение произведения случайных величин, независимых /!руг от друга. равно произведению средних значений этих величин: х!/з... =-.хуз... Последняя формула не распространяется на общий случай любых случайных величин. В виде обоощепия понятия среднего значения (11.5) отметим, что выражение х"'-.=/>/" [х ).= ~~ х; Р! (11.6) 1=1 называотся мол/енп!ом и-го порядка случайной величины х. В частности.
момент нулевого порядка выражаот свойство (11.2), и он всегда равен 299 т !!Я1 ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ единице: ~~': хгР; = ~~~~ Р! =- 1. (=! г=! Момент первого порядка есть среднее значение (математическое ожидание) случайной величины (11.5). Момент второго порядка хе=. У, хгР; !=-! есть средний квадрат случайной величины. Часто используется так нааываемое среднеквадратичное значение случайной величины, представляющее собой корень квадратный из среднего квадрата случайной величины: хе а — Г' Иногда рассматривается центрированное значение случайной величины хз =- х — х, где х — среднее аначение. Тогда аналогично формуле (11,6) можно ввести понятие центрального момента т-го порядка М[(х — х) ]=- ~' (х! — х) Р!. !-.! (11.7) Л .:.—. М [ [ х — х [ ) = [ х — х [ = ~~ [ х; — х [ Р;.
!=! (11.8) Заметны, что без знака абсолютного значения было бы х — х =х — х=О. Для рассмотренного выше примера бросания игральной кости Л-= ~'[х; — х[Р;= †[[6 в,5[+[5 †,5[+[4 †,5[+[3 †,5[-[- +[2 †,5[+[1 †,5[[= †,'(2,5+1,5+9,5+О,5+1,5+2,5)=.1,5. Среднее отклонение случайной величины является уже не случайной величиной, а обычным числом. Дисперсией называется средний квадрат отклонения случайной величины от ее среднего значения. Она совпадает с центральным моментом второго порядка Й= М[(х — х)г]=(х — х)з= ~ (х! — х)'Р!. г=-! (11.9) Из формулы (11.7) следует, что центральный момент первого порядка всегда равен нулю.
Обратимся теперь к характеристикам рассеяния дискретной случайной величины. Если х — случайная величина, а х — среднее значение атой величиньг, то величина х — х есть отклонение случайной величины от ее среднего значения. Это отклонение является случайной величиной, как и сама величина х. Средним отклонением Л называется среднее значение (математическое ожидание) абсолютной величины отклонения, т. е. 3ОО слтчлинык пгоцвссы в систкмлх гнгтлиговлнпя ьл, ы Дисперсия может быть легко вычислена на основании свойства среднего значения: Р =. (х--х)з = (х' — 2хх-(- (х)э) =-.
х' — 2хх-(- (х)' = х' — 2 (х)'+ (х)з.— — х~ — (з)', т. е. ока равна разности среднего квадрата и квадрата среднего значения случайной величины. Так как всегда выполняется неравенство л' ) (х), то дисперсия моя,"ет быть только положительным числом: Р ~~ О. Корень квадратный из дисперсии называется среднеквадратичным отклонением случайной величины от среднего значения: и =.)ГР =- (/ х-' — (х)з. Для рассмотренного выше примера бросания игральной кости Р ~~ (х~ з)зР~ ((б 35)з ( (5 35)з ( (4 35)з ( л. (3 — 3,5)'+ (2 — 3,5)' — (1 — 3 5)') = —,' =- 2 —. Среднеквадратичное отклонение — Газ и =- у Р =.= ~: — ', = 1,7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
