Бесекерский В.А. Теория систем автоматического регулирования (1972) (1151987), страница 69
Текст из файла (страница 69)
й 11.3. Стационарные случайные процессы Стаиионарнмм случайным нро1)ессом называется такой процесс, веронтностные характеристики которого не зависят от времени. Все плотности вероятностей и11, и1„..., и1„не меняются при любом сдвиге рассматриваемого участка процесса во времени, т. е. при -г — сохранении постоянной разности. Можно сказать, что стационарный У 1 случайный процесс в какой-то мере аналогичен обычным стационарным или а установившимся процессам в автома- С/ г, тических системах. Например, при рассмотрении обычных установившихся периодических колебаний ничего не изменится, если перенести начало отсчета на какую-нибудь величину.
Прн этом сохраяят свои значения такие характеристики, как частота, амплитуда, среднеквадратичное значение н т. п. В стационарном случайном процессе закон распределения один и тот же для каждого момента времени, т. е. плотность вероятности не зависит от времени: 1с (х, 1) = и1 (х). Отсюда получаем х = сопз1 и и =- сопзь вдоль всего случайного процесса. Следовательно, в стационарном случайном процессе средняя линия, в отличие от обгцего случая (см. рис. 11.12), будет прямая х =- сопз$ (рис.
11 13), подобно постоянному смещению средней линии обычных периодических И 11.21 СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАИНЫЕ ПРОЦЕССЫ колебаний. Рассеяние значений переменной х в стационарном случайном процессе, определяемое а = сопз2, также будет все время одинаковым, подобно постоянному значению среднеквадратичного отклонения обычных установившихся колебаний от средней линии. Аналогичным образом н двумерная плотность вероятности также будет одна и та же для одного и того же промежутка времени т = 12 — 11 меящу любыми 11 н 82 (рис. 11.13), т.
е. (11.44) иР2 (х11 21', х2, 12) = и'2 (х1, х2, т), х= ) хи1(х) 11Х вЂ”.— х=11ш — 1 х(1) 212. т 2Т (11.45) Аналогичным образом могут быть записаны моменты более высоких порядков — дисперсия, среднеквадратичное отклонение и т. и. Эргоднческая гипотеза позволяет сильно упрощать все расчеты и эксперименты. Она позволяет для определения х, В, о и т.
и., вместо параллельного испытания многих однотипных систем в один и тот же момент времени, пользоваться одной кривой х (1), полученной при испытании одной системы в течение длительного времени. Таким образом, важное свойство стационарного случайного процесса состоит в том, что отдельная его реализация на бесконечном промежутке времени полностью определяет собой весь случайный процесс со всеми бесчисленными возможными его реализациями.
Этим свойством не обладает Никакой другой тип случайного процесса. и также для и-мерной плотности вероятности. Задание всех этих функций распределения плотности определяет случайный процесс. Однако более удобно иметь дело с некоторыми осредненнымн н характеристиками процесса. Прежде чем перейти к ннм, отметим два важных для практики свойства. 1.
Ограничиваясь только стационарными случайными процессами, можно будет определить только установившиеся (стационарные) динамические ошибки автоматических систем при случайных воздействиях. Такой прием применялся и ранее прн рассмотрении регулярных воадействий, когда определялись динамические свойства систем регулирования по величине динамических ошибок в установившемся периодическом режиме. 2. Стационарные случайные процессы обладают аамечательным свойством, которое известно под названием эргодической гипотезы. Для стационарного случайного процесса с вероятностью, равной единице (т. е.
практически достоверно), всякое среднее по множеству равно соответствующему среднему по времени, в частности х = х, х' = хэ и т. д. В самом дело, поскольку вероятностные характеристики стационарного случайного процесса с течением времени не меняются (например, х = сопз$), то длительное наблюдение случайного процесса на одном объекте (среднее по времени) дает в среднем такую же картину, как и большое число наблюдений, сделанное в один и тот же момент времени на большом числе одинаковых объектов (среднее по множеству). Для многих случаев существует математическое доказательство этого свойства.
Тогда оно сводится к эргодической теореме. Итак, среднее значение (математическое ожидание) для стационарного х1роцесса будет 312 СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СИСТЕМАХ РЕГУЛНРОВАННЯ (гл 11 $11.4. Корреляционная функции Начальный корреляционный момент двух значений случайной функции х (() и х (11), взятых в моменты времени г н г„носит название корреляционной (автокорреляциояной) функции. Она может быть найдена аналогично (11.31) из выражения Л (д 11) =.
М [х (~) х (~1)] = ) ~ х (~) х (11) из(х, ~; х,. 11) 1[х 1(х„(11.46) где 1РА(х, ц хн 11) — двумерная плотность вероятности. Иногда под корреляционной функцией понимают центральный корреляционный момент х(з) и х(11), т. е. Л~(1, 11) ™ [(х (1) — х (1)) (х (11) — х (11))] =— В Ф [х(() — х(Ф)][х((1) — х(11)] юз (х, ц хо (1) 1]х1[х1. (11.47) — В В этом случае корреляционная функция (11,46) может быть представлена в виде суммы Л (ц 11) =- [х (~)]э+ Л' (1, 11). (11.48) Корреляционная функция является весьма универсальной характеристикой для случайного процесса. Она определяет зависимость случайной величины в последующий момент времени х (~1) от предюествующего значения х (1) в момент времени й.
Это есть мера связи между ними. Рассмотрим основные свойства корреляционных функций. 1. Из определения корреляционной функции (11.46) и (11.47) следует свойство симметрии: Л (Ц З1) =- В ((1, () и Л' (Ц $1) =- Лэ(Г„Х), 2. При ~1 = Г корреляционная функция Л (ц ~1) дает средний квадрат случайной величины, а В' (Ц 11) — дисперсию: Л (д 1) = М [хз (()] = х~ ((), Лэ (ц с) =- М [(х (() — х (с))т] = П (1).
3. Можно показать, что прибавление к случайным величинам произвольных неслучайных величин не меняет их корреляционные моментов и дисперсии. Поэтому корреляционная функция Лэ (Ц 11) не изменится, если к случайной функции добавить произвольную неслучайную функцию. Это свойство не относится к функции Л (Ц ~1), так как добавление неслучайные величин к случайным изменяет начальные моменты.
В этом случае корреляционная функция будет равна сумме корреляционных функций случайной н неслучайной функций. Иногда в рассмотрение вводится нормированная корреляционная функция Р (г (1) = (11.49) ') 0(1)й(1,) Аналогично корреляционной функции можно ввести понятие взаимной корреляционной функции для двух случайные величин х(т) и у(1): Л„„(ц г,)=М[х(г) у(г,)[, Л Р (ц 11) ™ [(х (1) — х (г)) (х(11) — х (11))].[ (11.50) В случае тождественного равенства нулю взаимной корреляционной функции случайные функции х (8) и у (1) называют некоррелированными 313 $ м.ы КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ Если взаимная корреляционная фуикция отлична от нуля, то х ~8) и у (О носят название коррелированных случайных функций.
[3 случае стационарности процесса корреляционные функции Л (ц г,) и Лз (г, ~,) не будут зависеть от текущего значения времени г и будут определяться только временным сдвигом т = Г1 — г. С учетом зргодичности стационарного процесса корреляционной функцией можно назвать среднее по времени от произведевия х (г) и х (~ + т) или х (Π— х и х (8 + т) — х.' г Л(т) =х([) х(~+т) = 1[ш —,', ~ х(8) х(1+т) Й, -г [ (11.51) Л'(т) =-[х(й) — х[[х(ю+т) — х[= [пи —, 11 [х(Π— х[[х(г+т) — х] юй.
3 -т Для стационарного процесса корреляционная функция определяет зависимость случайной величины х в последующий момент времени г + т от предшествующего значения в момент б Приведем основные свойства корреляционной функции стационарного процесса применительно к величиве Л (т), 1. Корреляционная функция является четной функцией, т. е. Л ( — т) = =- Л (т).
Это вытекает из самого определения корреляционной функции. 2. При т = 0 корреляционная функция дает средний квадрат случайной величины: Л(0) =х(г)х(Г) =хз. 3. При т -~- со корреляционная функция дает квадрат среднего значения случайной величины. Докажем зто. На осяовании эргодической гипотезы Л(т)=х([)х(~+т)= ) ) х,х,и,(х„хю т) Нх,ях,. При т-ч со величины х, и хз можно считать независимыми. Отсюда, принимая во вкимание формулу (11.39) для независимых случайных величия, получим +Ш + Л (оо) = — ) хг (х~) Ых~ ) хт~> (хт) Нхт = (х) = (х) 4. Значение корреляционной функции при т =- 0 является ее наибольшим значением, т.
е. имеет место неравенство Л (0) )~ Л (т). Докажем ато. Рассмотрим очевидное неравенство [х (г) — х (8+ т)[з) О. Сделаем преобразование хз (Г) + хз (т + т) ) 2х (Г) х (1 + т). Возьмем теперь среднее по времени от правой и левой частей, В результате получим: х' (О + хз (г + т) =- 2х' == 2Л (0), 2х (г) х (8 + т) = 2Л (т), откуда и вытекает следующее неравепство: Л (0) )~ Л (т). 314 случАйныв пРоцкссы в систкмАх РкгулнРОКАнпя !ас 11 5.
Значение корреляционной функции чаще всего будет тем меньше, чем больше промежутки времени т, так как связь между далеко отстоящими друг от друга значениями х будет обычно слабее. 6. Чем менее инерционен (болев подвижен) объект наблюдения, тем быстрее убывает Л (т) с увеличением т. Например, у самолета, как подвиж- ной цели, связь между по- Я х слодующими и предыдущими положениями (при задана) ном т) будет тем меньше, чем он легче н маневреннее.
Отсюда следует. что, чвм Р и Р быстрее убьгвает корреляционная функция, тем более высокие частоты будут прил х сутствовать в случайном процессе. На рнс. 11.14 в качестве Р) примера приведены две корреляционные функции и две Р Р к соответствующие им реализации процесса при одинаковых среднеквадратичных знаРис. 1!.14. чениях случайной величины. Второй процесс по сравнению с первым имеет болев топкую структуру, т. е. в нем присутствуют более высокие частоты.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
