Главная » Просмотр файлов » Бесекерский В.А. Теория систем автоматического регулирования (1972)

Бесекерский В.А. Теория систем автоматического регулирования (1972) (1151987), страница 71

Файл №1151987 Бесекерский В.А. Теория систем автоматического регулирования (1972) (Бесекерский В.А. Теория систем автоматического регулирования (1972)) 71 страницаБесекерский В.А. Теория систем автоматического регулирования (1972) (1151987) страница 712019-07-28СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 71)

1г функции 6 (т) и 6 (ег). Эти функции, в отличие от импульсных функций, рассматривавшихся в главе 4, являются четными. Это означает, что функция 6 (т) расположена симметрично относительно начала координат и может быть определена следующим образом: 6 (т) = О при т Ф 0 и ~ 6 (т) ггт = о о 6 (т) о1т =- —, для всех з ) О. 1 — Е Аналогичное определение относится к функции 6 (ю). Иногда в рассмотрение вводят нормированную спектральную плотность, являющуюся изображением Фурье нормированной корреляционной функции (11.52): о(оэ) = + (11.69) 1' 2 40 где спектральная плотность яо(ог) соответствует процессу (х — х) и, следовательно, со(„) Д ( х)г Р— Ю (11.70) где Р— дисперсия.

Аналогично введенному понятию взаимной корреляционной функции (11.53) могут рассматриваться взаимные спектральные плотности Я,„ (ог) и Яо„(ог), являющиеся изображения- А ! о/ ми Фурье В„„(т) н Во„(т). Вааимные спектральные плотности также являются мерой связи между двумя г случайными величинами. При отсутр е' ствин связи взаимные спектральные плотности равны нулго. рассмотрим некоторые примеры.

1. Для постоянной величины х (1):-- Ао корреляционная функция равна В (т) = А,'. Эта функция иаображепа па рис. 11.17, а жирной линией. Соответствующее ей изображение Фурье на основании табл. 11.3 будет Я (ог) .--- 2лА,'6 (ег) или, в другом виде Я (2яД =- А',6 (7). Спектр процесса состоит из единственного пика тип» импульсной функции, расположенной в начало координат (рис.

11.17, б). Это означает, что вся мощность рассматриваемого процесса сосредоточена на нулевой частоте, что н следовало ожидать. 2. Для гармонической функции х — — А, з1п (ог~1+ гР) была получена ,гг корреляционная функция Л (т) = — ' соз ю,т. Эта функция изображена 2 на рис. 11.18, а. В соответствии с табл. 11.3 спектральная плотность будет Агг Ь ( ) = 2л 4 (6(ог — огг)+ 6 (ю., ог~)1 или 1 11.Я СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ 321 График спектральной плотности будет иметь два пика типа импульсной функции (рис. 11.18, б), расположенные симметрично относительно начала координат при а =- +а1 к а =- — а,. Следовательно,мощность гармонического сигнала сосредоточена на двух частотах: а, и — а, (нли соответственно ~1 и — г1).

'о)то-аА Рис. !1,18. 'Если рассматривать спектральную плотность только в области положительных частот, то получим, что вся мощность гармонического сигнала будет сосредоточена ка одной фиксированной частоте: +а, или +~1. 3. Для периодической фуякцнн, разлагаемой в ряд Фурье х (1) — А о + ~п АА з(п (асг+ фс), С-.1 спектральпая плотность может быть представлена в виде Авв )+Х 41 ( ~) ( + 1 З=-1 или Ав б (1) (об (1) + ~~~ 4 (б(1 1А) чгб (1+ 6)1.

А=1 Этой снектральной плотности соответствует лиыейчатый спектр (рис. 11,19) с импульсными функциями, располоя1енными на положительных Рио. 11.20. Рис. 11.10. и отрицательных частотах гармоник. На рис. 11.19 импульсные функции условно нарисованы так, что их высоты показаны пропорциональными Авв коэффициентам прн единичной импульсной функции, т. е. величинам 4 и Ав. Если функция времени х (1) кроме периодической части будет содержать непериодическую составляющую, то спектр этой функции будет содержать, наряду с отдельными линиями типа импульсной функции, также и непрерывную часть (рнс. 11.20). Отдельные пики на графике спектральной плотности указывают на присутствие в исследуемой функции скрытых периодичностей.

21 В. А. Бссопврсвва, Е. П. Попов 322 случАйные пРОцессы В системАЕ РегулиРОВАния 1ьс 11 Если функция времени х (1) не содержит периодической части, то она будет иметь непрерывный спектр без ярко выраженных пиков. Рассмотрим некоторые стационарные случайные процессы, имеющие значение при исследовании систем регулирования и следящих систем. Будем рассматривать только центрированные процессы, т. е.

такие процессы, математическое ожидание которых равно нулю: х =- О, а дисперсия 1) Ф О. При этом средний квадрат случайной величины будет равен дисперсии: х' = П =. и» а Л (т) Л«(т) Это ограничение не имеет существенного значения, так как в случае х ~= 0 учет постоянного смещения в системе регулирования является элементарным. 1. Б е л ы й ш у м. Под белым шумом понимается случайный процесс, имеющий «белый» спектр, т.

е. одинаковое значение спектральной плотности при всех частотах от — со до +ос (рис. 11.21, а): Я(ю) =Х. (11.71) Примером такого процесса могут являться тепловые шумы сопротивления, которые дают уровень спектральной плотности хаотического напряясеяия иа этом сопротивлении Л' =-4Л)«7, где Л вЂ” сопротивление, й = 1,37 х «» лл с«л х 10 .

— постоянная Больцма- 1' на, Т' — абсолютная температура. Па основании (11.88) спектральной плотности (11.71) соответствует корреляционная функция ОО Л(т) = — ~ 1«" созе»тйо= ХЬ(т). г л (11.72). Таким образом, корреляционная Я(со)=Л' пРи (о»( с «1« ) Я(се)=0 при )с»1)со„~' (11.73) где 2з я — полоса частот для спектральной плотности. функция представляет импульсную. Рис.

11.21. функцию, расположенную в начале координат (рис. 11.21). Этот процесс является чисто случайным процессом, так как из графика корреляционной функции видно, что при любом т Ф 0 отсутствует корреляция между последующими и предыдущими аначениями случайной величины х. Процесс с подобного рода спектральной плотностью является физически нереальным, так как ему соответствуют бесконечно большие дисперсия и средний квадрат случайной величины: 1) = х» =-. Л (0) -» со, а следовательно, бесконечно больп«ая мощность.

Чтобы получить физически реальный процесс, удобно ввести понятие. белого шума с ограниченной спектральной плотностью (рис. 11.21, б): $ ЗЬ$1 СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ 323 Этому процессу соответствует корреляционная функция 60 и Л (т) = — ) Я (в) соз вт йо = — соз вт йо = — з1п впт. (И.74) г А! г А' о Корреляционная функция такх<е изображена на рис. И.21, б. Для этого процесса н "П Среднеквадратичное значение случайной величины пропорционально корню квадратному нз полосы частот: О=) й =)ГЛг)г Л1.

(И.76) Часто бывает удобнее аппроксимировать зависимость (И.73) плавной кривой. Для этой цели можно, например, испольаовать выражение (И.77) где р = — — коэффициент, определяющий ширину полосы частот. График спектральной плотности, соответствующий этому выражению, построен на рис. И.21, в. Для частот — р ~ в ( р процесс приближается к белому шуму, так как для этих частот я (в) ж Лг. Интегрированна П1.77) по всем частотам дает возможкость определить дисперсию: г л«ь л. 1)=— 2л .) Г -'~- взгз 2Т Поэтому спектральная плотность (И.77) моязет быть записана в другом виде: Ряс.

И.22 21~ т-'взгз з-~-вз ' (И.76) Корреляционная функция для этого процесса +ю л (т) = —, ', е3~ ЙО = Оа-яв! (И.79) 2ч,! !!з-', вз Ф Корреляционная функция также изображена на рис. И.21, в. 2. Типовой входной сигнал следящей системы..9 В качестве типового сигнала для ! следящей системы часто принимают график изменения угловой скорости ! на входе в соответствии с рис.

И.22. г,-!--г -~-г-!-г — ! Скорость сохраняет постоянное зна- л чение в течение некоторых интер! ! валов времени (г„ гв г„ ...). Переход от одного значения к другому совершается мгновенно. Интервалы времени подчиняются закону распределения Пуассона (И.4). В соответствии со сказанным выше будем считать, что математическое ожидание 12 = О, а среднеквадратичное значение скорости равно дисперсии, т. е. Йз =.0О4= О. случАйные НРоцкссы в систвмАх Ркгу:!ИРОВАнпя !ко 11 График такого вида получается, например, в первом приближении при слежении радиолокатором за движущейся целью. Постоянное значение скорости соответствует двилгению цели по прямой. Псремона знака или величины скорости соответствует маневру цели.

Обозначим р среднее число перемен скорости за одну секунду. Тогда Т =- 1 = — будет средним значением интервала времени, в течение которого угло. 1г вая скорость сохраняет постоянное значение. Применитольно к радиолокатору это значение будет средним временем движения цели по прямой. Для определения корреляционной функции необходимо найти среднее значение произведения В (т) = П (1) П (1 + т).

Прн нахождении этого произведения могут быть два случая. 1. Моменты времени 1и1 -1с т относятся к одному интервалу. Тогда среднее значение произведения угловых скоростей будет равно среднему квадрату угловой скорости или дисперсии: В () 11(1)гг(1 .) Пг Р 2. Моменты времени 1 и 1+ т относятся к разным интервалам. Тогда среднее значение произведения скоростей будет равно нулю: Л, (т) = П (1) Й (1 —,' т) = О, так как произведения с положительным и отрицательнылг знаками будут равновероятнымн. Корреляционная функция будет равна В (т) = Р1В1 (т) + РгВг (т) = Р1Л1 (т) где Р, — вероятность нахождения моментов времени 1 и 1 + т в одном интервале, а Р, .= 1 — Р, — вероятность нахождения их в разных интервалах.

Вероятность появления перемены скорости на малом промежутке вреАт мени Лт пропорциональна этому промежутку н равна )г Лт или —. ВероятТ Ат ность отсутствия перемены скорости для этого же промежутка будет 1 — —. Т ' Для интервала времени т вероятность отсутствия перемены скорости, т. е. вероятность нахождения моментов времени 1 и 1+ т в одном интервале постоянной скорости, будет равна произведению вероятностей отсутствий перемены скорости на каждом элементарном промежутке Лт, так как эти события независимые.

В результате для конечного промежутка Лт получаем Р— (1 ) Устремив Лт — + О н переходя к пределу, получим 1 ат 1ьг Р, -:: 1пп ( 1 — —, 1 =- е лг ог 'Г и окончательно П1 1с~ В(т):-- Пае т =-1)ге 1' . (11.ВО) % Н.$1 спектРАльнАя плОтнОсть стАцггОнАРных пРОцессов 325 Знак модуля при т поставлен вследствие того, что выражение (11.80) должно соответствовать четной функции. Выражение для корреляционной функции совпадает с (11.79). Поэтому спектральная плотность рассматриваемого процесса должна совпадать с (11.78): 2ТРО 2рРО 8О('4= 1+ ыт Р +сгз (11.81) Заметим, что в отличие от (11.78) формула спектральной плотности (11.81) записана для угловой скорости процесса (рис.

11.22). Если перейти от угловой скорости к углу, то получится нестационарный случайный процесс с дисперсией, стремящейся к бесконечности. Однако в большинстве случаев следящая система, на входе которой действует этот процесс, обладает астатизмом первого и более высоких порядков. Поэтому первый коэффициент ошибки сз у следящей системы равен нулю и ее ошибка будет определяться только входной скоростью и производными более высоких порядков, У относительно которых процесс стационарен. Это дает возможность использовать спектральную плотность (11.81) при расчете динамической ошибки следящей системы.

Характеристики

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6447
Авторов
на СтудИзбе
305
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее