Бесекерский В.А. Теория систем автоматического регулирования (1972) (1151987), страница 71
Текст из файла (страница 71)
1г функции 6 (т) и 6 (ег). Эти функции, в отличие от импульсных функций, рассматривавшихся в главе 4, являются четными. Это означает, что функция 6 (т) расположена симметрично относительно начала координат и может быть определена следующим образом: 6 (т) = О при т Ф 0 и ~ 6 (т) ггт = о о 6 (т) о1т =- —, для всех з ) О. 1 — Е Аналогичное определение относится к функции 6 (ю). Иногда в рассмотрение вводят нормированную спектральную плотность, являющуюся изображением Фурье нормированной корреляционной функции (11.52): о(оэ) = + (11.69) 1' 2 40 где спектральная плотность яо(ог) соответствует процессу (х — х) и, следовательно, со(„) Д ( х)г Р— Ю (11.70) где Р— дисперсия.
Аналогично введенному понятию взаимной корреляционной функции (11.53) могут рассматриваться взаимные спектральные плотности Я,„ (ог) и Яо„(ог), являющиеся изображения- А ! о/ ми Фурье В„„(т) н Во„(т). Вааимные спектральные плотности также являются мерой связи между двумя г случайными величинами. При отсутр е' ствин связи взаимные спектральные плотности равны нулго. рассмотрим некоторые примеры.
1. Для постоянной величины х (1):-- Ао корреляционная функция равна В (т) = А,'. Эта функция иаображепа па рис. 11.17, а жирной линией. Соответствующее ей изображение Фурье на основании табл. 11.3 будет Я (ог) .--- 2лА,'6 (ег) или, в другом виде Я (2яД =- А',6 (7). Спектр процесса состоит из единственного пика тип» импульсной функции, расположенной в начало координат (рис.
11.17, б). Это означает, что вся мощность рассматриваемого процесса сосредоточена на нулевой частоте, что н следовало ожидать. 2. Для гармонической функции х — — А, з1п (ог~1+ гР) была получена ,гг корреляционная функция Л (т) = — ' соз ю,т. Эта функция изображена 2 на рис. 11.18, а. В соответствии с табл. 11.3 спектральная плотность будет Агг Ь ( ) = 2л 4 (6(ог — огг)+ 6 (ю., ог~)1 или 1 11.Я СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ 321 График спектральной плотности будет иметь два пика типа импульсной функции (рис. 11.18, б), расположенные симметрично относительно начала координат при а =- +а1 к а =- — а,. Следовательно,мощность гармонического сигнала сосредоточена на двух частотах: а, и — а, (нли соответственно ~1 и — г1).
'о)то-аА Рис. !1,18. 'Если рассматривать спектральную плотность только в области положительных частот, то получим, что вся мощность гармонического сигнала будет сосредоточена ка одной фиксированной частоте: +а, или +~1. 3. Для периодической фуякцнн, разлагаемой в ряд Фурье х (1) — А о + ~п АА з(п (асг+ фс), С-.1 спектральпая плотность может быть представлена в виде Авв )+Х 41 ( ~) ( + 1 З=-1 или Ав б (1) (об (1) + ~~~ 4 (б(1 1А) чгб (1+ 6)1.
А=1 Этой снектральной плотности соответствует лиыейчатый спектр (рис. 11,19) с импульсными функциями, располоя1енными на положительных Рио. 11.20. Рис. 11.10. и отрицательных частотах гармоник. На рис. 11.19 импульсные функции условно нарисованы так, что их высоты показаны пропорциональными Авв коэффициентам прн единичной импульсной функции, т. е. величинам 4 и Ав. Если функция времени х (1) кроме периодической части будет содержать непериодическую составляющую, то спектр этой функции будет содержать, наряду с отдельными линиями типа импульсной функции, также и непрерывную часть (рнс. 11.20). Отдельные пики на графике спектральной плотности указывают на присутствие в исследуемой функции скрытых периодичностей.
21 В. А. Бссопврсвва, Е. П. Попов 322 случАйные пРОцессы В системАЕ РегулиРОВАния 1ьс 11 Если функция времени х (1) не содержит периодической части, то она будет иметь непрерывный спектр без ярко выраженных пиков. Рассмотрим некоторые стационарные случайные процессы, имеющие значение при исследовании систем регулирования и следящих систем. Будем рассматривать только центрированные процессы, т. е.
такие процессы, математическое ожидание которых равно нулю: х =- О, а дисперсия 1) Ф О. При этом средний квадрат случайной величины будет равен дисперсии: х' = П =. и» а Л (т) Л«(т) Это ограничение не имеет существенного значения, так как в случае х ~= 0 учет постоянного смещения в системе регулирования является элементарным. 1. Б е л ы й ш у м. Под белым шумом понимается случайный процесс, имеющий «белый» спектр, т.
е. одинаковое значение спектральной плотности при всех частотах от — со до +ос (рис. 11.21, а): Я(ю) =Х. (11.71) Примером такого процесса могут являться тепловые шумы сопротивления, которые дают уровень спектральной плотности хаотического напряясеяия иа этом сопротивлении Л' =-4Л)«7, где Л вЂ” сопротивление, й = 1,37 х «» лл с«л х 10 .
— постоянная Больцма- 1' на, Т' — абсолютная температура. Па основании (11.88) спектральной плотности (11.71) соответствует корреляционная функция ОО Л(т) = — ~ 1«" созе»тйо= ХЬ(т). г л (11.72). Таким образом, корреляционная Я(со)=Л' пРи (о»( с «1« ) Я(се)=0 при )с»1)со„~' (11.73) где 2з я — полоса частот для спектральной плотности. функция представляет импульсную. Рис.
11.21. функцию, расположенную в начале координат (рис. 11.21). Этот процесс является чисто случайным процессом, так как из графика корреляционной функции видно, что при любом т Ф 0 отсутствует корреляция между последующими и предыдущими аначениями случайной величины х. Процесс с подобного рода спектральной плотностью является физически нереальным, так как ему соответствуют бесконечно большие дисперсия и средний квадрат случайной величины: 1) = х» =-. Л (0) -» со, а следовательно, бесконечно больп«ая мощность.
Чтобы получить физически реальный процесс, удобно ввести понятие. белого шума с ограниченной спектральной плотностью (рис. 11.21, б): $ ЗЬ$1 СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ 323 Этому процессу соответствует корреляционная функция 60 и Л (т) = — ) Я (в) соз вт йо = — соз вт йо = — з1п впт. (И.74) г А! г А' о Корреляционная функция такх<е изображена на рис. И.21, б. Для этого процесса н "П Среднеквадратичное значение случайной величины пропорционально корню квадратному нз полосы частот: О=) й =)ГЛг)г Л1.
(И.76) Часто бывает удобнее аппроксимировать зависимость (И.73) плавной кривой. Для этой цели можно, например, испольаовать выражение (И.77) где р = — — коэффициент, определяющий ширину полосы частот. График спектральной плотности, соответствующий этому выражению, построен на рис. И.21, в. Для частот — р ~ в ( р процесс приближается к белому шуму, так как для этих частот я (в) ж Лг. Интегрированна П1.77) по всем частотам дает возможкость определить дисперсию: г л«ь л. 1)=— 2л .) Г -'~- взгз 2Т Поэтому спектральная плотность (И.77) моязет быть записана в другом виде: Ряс.
И.22 21~ т-'взгз з-~-вз ' (И.76) Корреляционная функция для этого процесса +ю л (т) = —, ', е3~ ЙО = Оа-яв! (И.79) 2ч,! !!з-', вз Ф Корреляционная функция также изображена на рис. И.21, в. 2. Типовой входной сигнал следящей системы..9 В качестве типового сигнала для ! следящей системы часто принимают график изменения угловой скорости ! на входе в соответствии с рис.
И.22. г,-!--г -~-г-!-г — ! Скорость сохраняет постоянное зна- л чение в течение некоторых интер! ! валов времени (г„ гв г„ ...). Переход от одного значения к другому совершается мгновенно. Интервалы времени подчиняются закону распределения Пуассона (И.4). В соответствии со сказанным выше будем считать, что математическое ожидание 12 = О, а среднеквадратичное значение скорости равно дисперсии, т. е. Йз =.0О4= О. случАйные НРоцкссы в систвмАх Ркгу:!ИРОВАнпя !ко 11 График такого вида получается, например, в первом приближении при слежении радиолокатором за движущейся целью. Постоянное значение скорости соответствует двилгению цели по прямой. Псремона знака или величины скорости соответствует маневру цели.
Обозначим р среднее число перемен скорости за одну секунду. Тогда Т =- 1 = — будет средним значением интервала времени, в течение которого угло. 1г вая скорость сохраняет постоянное значение. Применитольно к радиолокатору это значение будет средним временем движения цели по прямой. Для определения корреляционной функции необходимо найти среднее значение произведения В (т) = П (1) П (1 + т).
Прн нахождении этого произведения могут быть два случая. 1. Моменты времени 1и1 -1с т относятся к одному интервалу. Тогда среднее значение произведения угловых скоростей будет равно среднему квадрату угловой скорости или дисперсии: В () 11(1)гг(1 .) Пг Р 2. Моменты времени 1 и 1+ т относятся к разным интервалам. Тогда среднее значение произведения скоростей будет равно нулю: Л, (т) = П (1) Й (1 —,' т) = О, так как произведения с положительным и отрицательнылг знаками будут равновероятнымн. Корреляционная функция будет равна В (т) = Р1В1 (т) + РгВг (т) = Р1Л1 (т) где Р, — вероятность нахождения моментов времени 1 и 1 + т в одном интервале, а Р, .= 1 — Р, — вероятность нахождения их в разных интервалах.
Вероятность появления перемены скорости на малом промежутке вреАт мени Лт пропорциональна этому промежутку н равна )г Лт или —. ВероятТ Ат ность отсутствия перемены скорости для этого же промежутка будет 1 — —. Т ' Для интервала времени т вероятность отсутствия перемены скорости, т. е. вероятность нахождения моментов времени 1 и 1+ т в одном интервале постоянной скорости, будет равна произведению вероятностей отсутствий перемены скорости на каждом элементарном промежутке Лт, так как эти события независимые.
В результате для конечного промежутка Лт получаем Р— (1 ) Устремив Лт — + О н переходя к пределу, получим 1 ат 1ьг Р, -:: 1пп ( 1 — —, 1 =- е лг ог 'Г и окончательно П1 1с~ В(т):-- Пае т =-1)ге 1' . (11.ВО) % Н.$1 спектРАльнАя плОтнОсть стАцггОнАРных пРОцессов 325 Знак модуля при т поставлен вследствие того, что выражение (11.80) должно соответствовать четной функции. Выражение для корреляционной функции совпадает с (11.79). Поэтому спектральная плотность рассматриваемого процесса должна совпадать с (11.78): 2ТРО 2рРО 8О('4= 1+ ыт Р +сгз (11.81) Заметим, что в отличие от (11.78) формула спектральной плотности (11.81) записана для угловой скорости процесса (рис.
11.22). Если перейти от угловой скорости к углу, то получится нестационарный случайный процесс с дисперсией, стремящейся к бесконечности. Однако в большинстве случаев следящая система, на входе которой действует этот процесс, обладает астатизмом первого и более высоких порядков. Поэтому первый коэффициент ошибки сз у следящей системы равен нулю и ее ошибка будет определяться только входной скоростью и производными более высоких порядков, У относительно которых процесс стационарен. Это дает возможность использовать спектральную плотность (11.81) при расчете динамической ошибки следящей системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
