Бесекерский В.А. Теория систем автоматического регулирования (1972) (1151987), страница 73
Текст из файла (страница 73)
При известной спектральной плотности О'2 (ю) выходной величины может быть найдена корреляционная функция Л,(т) по преобразовани1о Фурье (11.66) или (11.68). Получим выражение (11 109) более строго. Для этого используем формулу (11 107). Так как в реальяых системах весовая функция тождественно равна нул1о прн 5 - О, то нижние пределы интегрирования можно положить равными — оо. Полагая, что на входе действует центрированный процесс (х, =- 0) и Л, (т) =- Л', (т), имеем Л ( ) =- ~ (25) 112) ) (л) Л1(т+А — 25) в,.
(11.110) Найдем теперь спектральную плотность для выходного сигнала. Она связана с корреляционяой функцией соотношением (11.65): ОЭ 8 (Е1) = ~ Л (т) Е-5вт 15т.. Подставляя в последн1ою формулу значение корреляционной функции из (11.110), получаем ОО 52(1э) —.- ) 15т ~ гй ~ е 5ьяи1(ц) и(Х) Л,(т+1 — 25)1525.= С вЂ”.» Ю вЂ” 15т ~ 25)~ ~ е-1"1' т-ч1е5""'е 5езЛ1(т+1 — 2)) и(А) ю(25) 1525=-.- $11 1) НРОХОждение случАйнОГО сигнАНА чеРез систему ЗЗ1 — ~ и (1)) е уа'ус(т) ) иу(Л) еу'"Ас(Л ~ Лс(т+Л вЂ” 11)е )асс+~ чусут= »» — »» »» +»» = Иу (ув) И'( — усо) ~ Лс(т) е 1»асс(т =. (И'(ув) )181 (в).
»» (11.111) Последнее выражение совпадает с (11.109), что и требовалось доказать. Для нахождения дисперсии, или среднего квадрата выходной величины, необходимо проинтегрировать по всем частотам спектральную плот- ностьс х', == Рт = —, ') 81 (со) йо = ~ Яо(2лу) с(у.
(11.112) Отметим, что закон распределения для случайной величины может, вообще говоря, меняться при прохождении ее через линейную систему. Однако в случае, если на входе линейной системы имеется нормальное распределение случайной величины х, (1), то на выходе для случайной величины х, (1) также будет иметь место нормальное распределение. При вычислении интеграла (11.112) обычно приходится иметь дело с подынтегральным выраженном вида ) В (уа) )о ) А(уа) р ) В (уа) )о 6 (уа) ) 1(усе) р А(усе) А( — уа) где А (ув) = ао (ув)" + а, (ув)о-' +... + а„, С (УВ) = Ь (УВ)са ' + Ьс (УВ)о" ' + + Ь - . Полинам 6 (ув) содержит только четные степени ув.
Полинам А (ув) для устойчивой системы может иметь корни только в верхней полуплоскости. Область устойчивости оказалась в верхней полуплоскости вследствие того, что была использована подстановка р = ув, а множитель у оаначает поворот л комплексного числа на угол — , 2 ' Таким образом, вычисление дисперсии (11.112) можно свести к нахо- ждению интеграла Ча »» б (уа) йо 1 Г с» (усо) суа 2л,) А(уа) А (-уоу) 2л Д ) А(уа) )о ' (11.118) В общем случае при любом и для устойчивой системы интеграл 1„ может быть представлен в виде (38] м„ 2оо где А (ув) и В (ув) представляют собой некоторые полиномы от комплексной переменной ув.
Наивысшую степень знаменателя обозначим 2п. Наивысшая степень числителя в реальной системе может быть не выше 2л — 2. Для удобства интегрирования написанное выше выражение обычно представляют в виде случлйпые пРОцессы в снстемлх РетулиРОВлния О1 11 а, аз а, ... О аэ аэ а, ... О О а, аа ...
О О О О ... а„ (11,1! 5) совпадает со старшим определителем Гурвица, а числитель определяется выра.некием ~ ь, ь, М„-.- О а, О О Ьз ... Ь„1 а, О а, О О .. а„ (11.116) Яз (Се) -= оРЯ1 (в), (11.117) при двойном дифференцировании — на 1»' п т. д. С т а т и с т и ч е с к о е и н т е г р и р о в а н и е. Ври поступлении случайного сигнала на идеальное интегрирующее звено с передаточной функ! цией И'(р) ==. — спектральная плотность выходной величины (интеграла Р от входной величины) может быть получена делением интегральной плотности входной величины на с»-: (11.118) при двойноч интегрировании — па в1 и т. д.
5 11.8. Расчет установившихся ошибок в автоматических системах Замкнутая система автоматического регулирования может находиться под воздействием случайного задатощего сигнала а (1) и случайной помехи ~ (1), приложенной в произвольной точке системы (рис. 11.26). Корреляционные функции и спектральные плотности задающего воздействия и помехи будем считать известными. Конечной целью расчета является нахождение корреляционных функций и спектральных плотностей выходной величины у О) и ошибки х (!). Обычно ограничиваются более узкой задачей и определяют только среднеквадратичную ошибку системы регулирования.
Это может быть сделано посредством интегрирования по всем Интегралы такого вида вычислены до и =- 7 и сведены в таблицы (см. Приложение 2). Заметим, что знаменатель правых частей приведенных в приложении 2 формул представляет собой п„1 — определитель Гурвица. На границе колебательной устойчивости этот определитель обращается в нуль, а дисперсия выходной величины будет стремиться к бесконечности. В заключение рассмотрим два важных случая прохождения случайного сигнала через лияейнук1 систему.
Статистическое дифференцирование. При поступлении случайного сигнала на идеальное днфференцирующее устройство с передаточной функцией )р (р) ==- р спектральная плотность выходной величины (производной от входной величины) может быть получена узшожением спектральной плотности входной величины на еэ1 РАСЧЕТ УСТАНОВИВШИХСЯ ОШИБОК 8 11.8] частотам спектральной плотности ошибки или через корреляционную функцию ошибки х ((). В простейшем случае, когда управляющее воздействие и (г) представляет собой случайный стационарный процесс со спектральной плотностью Ьз (ээ), а помеха отсутствует: Г' (8) = О, расчет ) можно свести к рассмотренной выше схеме (рис.
11.25). Тогда спектральная плотность ошибки будет У Я„ (о)) = / Ф„ (ю) !8 Я (ю). (11„119) Частотная передаточная функция по ошибРис. (1.26. ке Ф„()ю) связана с частотными передаточными функциями разомкнутой И' (Рм) н замкнутой Ф Ца) системы соотношением Фи()ю) =- ( ж( м) — — 1 — Ф (утэ). Такич образом, для спектральной плотности ошибки получаем 8 (и) Я*(")-= ~(+И(,.)~ . (11.120) Интегрирование этого выражения по всем частотам позволяет определить дисперсию и среднеквадратичное значение ошибки: / -~-а и,и.— )' Л .= ~)à — ') я,(о) йо, (11.121) Вычисление дисперсии и среднеквадратичной ошибки через корреляционные функции может производиться на основании формулы (11.107).
В качестве функции веса в рассматриваемом случае должна использоваться функция веса для ошибки ю„(г), связанная с частотной передаточной функцией по ошибке преобразованием Фурье Ф„()ю) = ~ ю„(8)е '"'~И. 'о После нахождения корреляционной функции ошибки В„(т) дисперсия определяется подстановкой т =- О, т. е. Р = 81„(0). Однако нахождение среднеквадратичной ошибки посредством использования спектральных плотностей оказывается обычно более простым и поэтому применяется чаще. В другом простейшем случае, когда задающее воздействие л (г) = О, а помеха представляет собой случайный стационарный процесс со спектральной плотностью Яг (ю), аналогичным образом можно найти спектральную плотность ошибки: Я*(а) ==- (Фг Ою) Р8г(ю) ° (11.122) В этом выражении Фг (Ао) представляет собой частотную передаточную функцию: Ф~() )'= — ~ Х(Р) ) ХОи) г (Р) )8=~и и Ом) связывающую изображения Фурье ошибки х (Г) и помехи 7' (8).
В частном случае, когда помеха )' (8) действует на входе системы в месте прило8кения задающего воздействии, в формуле (11.101) должна исполь- 334 случАЙ11ые ПРОЦГссы В системАХ РЯГулиРОВАния [гл. 11 зоваться частотная передаточная функция замкнутой системы Я,. (в) =-!Ф(ув) /131(в) =-! ) — ~ Яу(е1). (11 123) Рассмотрим теперь общее выражение спектральной плотности ошибки для случая, когда аадающее воздействие у; (у) н помеха у (у) действуют одновременно (рис. 11.26). Обозначим через й, (у) весовую функцию для ошибки по задаюгцему воадействню и через иоу (у) весовую функцию для ошибки по помехе.
Тогда ошибку моионо представить в виде (у) = 1 д(у — у) ~„(л) уу.+ ', у(~ — ).) ~у(л) (у. о о (11.124) где Лгу(т) и Луз (т) — взаимные корреляционные функции. Для нахождения спектральной плотности ошибки левую и правую части (11.125) умножим на е-1 ' и проинтегрируем по т от — оо до +со. В результате выкладок, аналогичных тем, которые были проделаны прн выводе формулы (11.111), получим Я (в) = ~ Ф, (ув) Р Яз (в) + ! Фу ()о1) Р 31 (в) Н + Ф (Уго) Яуз (в) Фу (Ув)+ Ф' (Ув) Я,у (в) Фу (Ув) (11 126) В атом выражении Язу (в) и Яуз (в) представляют собой взаимные снектральные плотности полезного сигнала н помехи, а Ф„(ув) и Фу (ув)— частотные передаточные функции для ошибки по задающему воздействин1 и помехе.
Звездочкой обозначен сопряженный комплекс. При отсутствии корреляции между полезным сигналом и помехой формула (11 126) упрощается: 3. (в) = !Ф. (ув) !' ~в (в) + !Фу (ув) !' ~у (в). Подставим зто выражение для ошибки в формулу корреляционной функции (11.51). В результате получим т СФ уу„(т) =)!ш —, ~ ~ гуу ~ и(у+т — г)) ш (1)) гуо) ') и(8 — Х) ш„(уо) гууо+ -т Ь о т + ~ г(У ~ У' (у+ т — 1)) йу(г)) г(1) ~ У'(У вЂ” У) шу(л) г(У + -т о Ъ г -г1«)гог.— ю .мгг1и -г) (г)гг~ -т о т сю Ог + 1 гуг ) К(у — у) ш (уо) г(А ) у(у+ — Ч) шу(о)) г(Ч1 ° -т о о Отсюда находим ',» +В уу.()=- ~ ).
~ (.(л)уу,(+у — ц) .(ц)+ ~())л~(+у — ц) у(ч) —, + йу (уо) у(уз(т+ 1 — 1)) й„(ц)+й (уг) Хзу(т+)о — гу) шу(Ч)) гуц, (11.125)1 1 11 Ы РАСЧЕТЫ ПО МИНИМУМУ СРЕДНЕКВАДРАТИЧНОЙ ОШИБКИ ЗЗЬ В частном случае, когда помеха действует на входе в месте приложения управляющего воздействия и корреляция между ними отсутствует, формула (11.127) может быть представлена в следующем виде: Я„(ю) = — ( Ф„(1со) !е Яе (ю) + ( Ф ()ю) 1э 81 (ю) = ~ Я (в) — , '/ ' ) ~ 81(ю), (11.128) так как для этого случая частотная передаточная функция Фг Цю) совпадает с частотной передаточной функцией аамкнутой системы Ф Цв), Все приведенные выше формулы для спектральной плотности ошибки х (1) могут быть легко переписаны для спектральной плотности выходной величины у (1), если в ких заменить частотную передаточную функцию для ошибки Ф,, ()ю) па частотную передаточную функцию замкнутой системы Ф ()ю) = — — 1 — Ф„()ю).
5 11.9. Расчеты по минимуму среднеквадратичной ошибки т — 1 хэ = 11ш —,, ~ хэ (1) дг т -т (11.129) практически во всех случаях является наиболее просто вычисляемой величиной, что к определило использование этого критерия. Возможны несколько формулировок задачи. Наиболее просто задача может быть сформулирована так.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
