Бесекерский В.А. Теория систем автоматического регулирования (1972) (1151987), страница 77
Текст из файла (страница 77)
На вещественной оси траектории корней представляют собой отрезки прямой, соединяющие нули и полюсы функции 6 (р), расположенные на этой оси. Началом траекторий на вещественной оси служит нуль, расположенный правое всех остальных. 4. Если траектория отклоняется от вещественной оси, то положение ~очки р = а, в которой траектория отходит от этой оси, можно оценить из того условия, что при малом отклонении ЛХ от вещественной оси приращение угла (12.35), обусловленное влиянием полюсов и нулей функции 6 (р), расположенных па оси влево от искомой точки, должно уничтожаться приращением этого же угла, обусловленным влиянием полюсов и нулей 6 (р), расположенных вправо от этой точки.
Так, например, пусть имеется функция 0,001.2.6 (р1-0,001) (р-г2) (р ';6) При К =- 0 траоктории исходят из точек ( — 0,001), ( — 2) и ( — 6), лежащих на вещественной оси. Отрезки траекторий лежат между точками ( — 0,001) и ( — 2) и между ( — 6) и ( — оз). Применяя правило 4, можем ааписать ЛХ ЛХ ЛХ + — + —,=О. а+0,001 а+2 а+6 Решение этого квадратного уравнения дает а = — 0,904. 5.
Положение точки, в которой траектория пересекает мнимую ось при переходе в правую полуплоскость комплексной переменной р, часто можно оценить, пренебрегая влиянием малого по абсолютной величине полюса функции С (р). Рассмотрим в качестве примера опять функцию (12.42). При значительных по модулю величинах комплексной переменной р эту функцию можно с хорошей точностью аппроксимировать функцией 0,001 2.6 р (р -~-2) (р+ 6) ' Тогда ср, = я ) 2 (рис. 12.2) и, следовательно, условие (12.38) сводится к равенству 'р= и= Ч'г — Чз — 2 348 мктоды синткзл систкм лвтомлтнчвского гкгтлиговлния 1сэ.
гз %э+%э= 2 ° Рассматривая график на рнс. 12.2, можно заметить, что р~+~' 4 + откуда следует, что сс ж (1. Это равенство и представляет собой условие для определения точки пересечения В. 6. Направление касательной к траектории при выходе ее нэ какого-либо полюса или при подходе к какому-либо нулю нетрудно определить путем вычислении угла между этой касательной в данном полюсе или нуле и вещественной осью. При таком вычислении используется зависимость (12.38) Рвс.
42.3. Рвс. 12.2. для аргументов всех нулей и полюсов, расположенных по условию в левой полуплоскости комплексной переменной р. На рис. 12.3 изображены траектории корней передаточной функции 6 (р), имеющей два нуля и два полюса.на вещественной оси и одну пару комплексных сопряженных полюсов.
При достаточно малом удалении точки р от полюса эс углы сэ'„~э'„~р,, ~эг и сэ„соответствующие остальным нулям и полюсам, останутся неизменными. Таким образом, в силу (12.38) угол ~р, найдется из уравнения (% + тг) (% + Чг + Ч'г + %4) = я. Перечисленные правила определяют основные свойства траекторий корней. Траектории вне нулей и полюсов функции 6 (р) находятсн с помощью построения по точкам, после чего можно определить характер изменения К вдоль построенной такилг образом кривой. После того как'выбрано желаемое расположение корней характеристического уравнения, находится соответствующее значение К.
Ьолее подробно см. И28). 5 12А, Метод стандартных переходных характеристик Для получения необходимых значений коэффициентов передаточной функции разомкнутой системы можно воспользоваться стандартными переходными характеристиками. Длн большей общности эти характеристики строятся в нормированном виде. В этом случае по оси времени откладывается относительное время т =- Йсг', где 11с — среднегеометрический корень характеристического уравнения, определяющий быстродействие системы. МЕТОД СТАНДАРТНЫХ ПЕРЕХОДНЫХ ХАРАКТЕРИСТИН 349 При построении стандартных переходных характеристик необходимо задаться определенным распределением корней характеристического уравнения.
Ниже приводятся стандартные характеристики и соответствующие передаточные функции [611. Для систем с астатизмом первого порядка корни приняты веществеипыми, причем оки составляют арифметическую прогрессию. В табл. 12.1 Табл вца 12.1 Стандартные передаточные функцнв разомкнутой сметены е аетатвамом первого порядка прв в==2 — 4 приведены передаточные функции разомкнутой системы для различных порядков характеристического уравнения и =- 2 —; 4, получающиеся при этом зиачения перерегулироваиия о% и добротности по скорости К,.
Нормированные переходные характеристики для каждого случая приведены на рис. 12.4, а. Для систем с астатизмом второго порядка корпи также приняты вещественными, причем оип составляют геометрическую прогрессию. Соответ- Таблица 12.2 Стандартные передаточные функции рааомквутой енетемы е аетатнамом второго порядка прв в= 2 с й ствующие передаточные фуикции приведены в табл.
12.2, а переходные характеристики — иа рис. 12.4, б. В табл. 12.2 для различных порядков характеристического уравнения и = 2 —: 6 приведены передаточные функции разомкнутой системы, перерегулироваиие Фо и добротность по ускореиию К,. 350 методы синтезА систем АвтОмАтнческого РегУДНРОЕАИНЯ 1ьь 1з Использование метода стандартных переходных характеристик для синтеза заключается в том, по для принятой структурной схемы выбирается приемлемый вид переходного процесса. Это позволяет установить необходимое значение среднегеометрического корня аю Далее оказываются известными все коаффициенты желаемой передаточной функции системы. Введением различных корректирующих средств необходимо добиться того, чтобы аг а! А7г! 70 аб йв 47 бб дб 4Г й! 4'7) /б фу бб 4Ф Яаб д ! б б З Х б 7 8 У В 7)араб г) Рис.
12.4. (12.43! козффициенты реальной передаточной функции были возможно ближе к козффициептам желаемой передаточной функции. Этот метод может применяться и в том случае, когда важно обеспечить требуемую точность работы системы, которая может быть задана, например, при помощи коэффициентов ошибок. Тогда при заданных значениях коэффициентов ошибок можно определить требуемое значение К„или К„а по ним найти величину аю Далее расчет ведется так, как описано выше. Недостатком рассмотренного метода является то, что при построении стандартных переходных процессов приняты вещественные корни. Это во многих случаях не приводит к оптимальному решению.
Однако стакдартные переходные характеристики можно сравнительно просто построить для любого другого расположения корней, в том числе и для комплексных корней. Предлагается, например, такое решение !611. Пусть характеристическое уравнение записано в виде р- -, А,а,р-- 1- А,а,*р-- + ... + а," = О, где а, — среднегеометрический корень. Если принять все корни равными н вещественными, то зто характеристическое уравнение приобретает вид ~р + а,1.
= о. о ыл! МЕТОД СТАНДАРТНЫХ ПЕРЕХОДНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК 851 В этом случае безразмерные коэффициенты А„.. „А„о являются коэффициентами бинома Ньютона. Однако переходный процесс затухает быстрее, если характеристическое уравнение при четном п имеет вид (ро+2~1оор+Иоо) о =0 (12.44) и при нечетном и а-$ (р+ 12о) (рэ+ 2 Мор + Жд ' = О, (12.45) причем безразмерный параметр аатухания ~ = 0,7 —: 0,8. В табл.
12.3 для случая ~ = 0,75 приведены значения безразмерных коэффициентов А„..., А„„причем Ао = 1 и А„= 1, для степени характеристического уравнения от 2 до 6. Таблица 42.3 Коэффициенты характеристического ураанення длк кратных корней На рнс. 12.4, о приведены нормированные переходные характеристики, соответствующие характеристическому уравнению (12.45), если в него ввести правую часть в виде аобу (у).
Переходный процесс затухает еще быстрее, если принять некратное распределение комплексных корней [61). В этом случае все корни имеют одинаковую вещественную часть т). Мнимые части корней образуют арифметическую прогрессию с разностью у и первым членом также у. Для каяодой степени характеристического уравнения существует некоторое оптимальное отношение 7/ц, которому соответствует наибольшее быстродействие в безразморном времени. Безраамерные коэффициенты характеристического уравнения для этого случая приведены в табл. 12.4„а переходные характеристики изображены на рис.
12.4, г. Таблица $2А Коэффициенты характеристического ураэнекин (онтянальный случай) 332 МКТОДЫ Ш1НТНЗА СПСТКМ ЛВТОМАТНЧГСКОГО РВГУЛИРОВАННН >г1. 12 Прк наличии нулей у передаточной функции принятые в табл. 12.3 и 12,4 распредленин корней окааываются неудачными вследствие понвлекия большого перерегулнрования. В этом случае оказывается более выгодным использование расположения корней на вещественной осн по арифметической прогрессии (см. табл. 12.1 и 12.2).
$ 12.б. Метод логарифмических амплитудных характеристик (12 16) (12.12) И и (Р) ~~ Р (Р) И зз (Р)' откуда >У;«(з) Ипз(Р) = Для л. а. х. Мо>кпо записать ь„„ (>а) .=- 1 ,< (>е) Лз> (а>). (12. 13) Таким образом, при использовании л. а. х. весьма легко осущоствляется синтез последовательных корректирующих средств, так как л. а, х. корректирующих средств получается простым вычитанием ординат располагаемой л. а. х. из ординат желаемой. 4. Техническая реализация корректиру>ощнх с р е д с т в. По виду л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
