Бесекерский В.А. Теория систем автоматического регулирования (1972) (1151987), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Коли имеется какая-то система автоматического регулирования заданной структуры, то необходимо так выбрать параметры этой системы, чтобы получить минимум среднеквадратичной ошибки при заданных статистических характеристиках полезного сигнала и помехи. Эта задача решается следующим образом. По спектральной плотности ошибки путем ее интегрирования находится дисперсия. Дисперсия получается зависящей от вероятностных характеристик полезного сигнала, помехи и параметров системы.
Затем вщутся условия, которые должны быть Коли на автоматическую систему действуют одновременно полезный сигнал и помеха, то возникает задача оптимального расчета системы с тем, чтобы получить наименьшую результирующую ошибку. С точки зрения наилучшего воспроизведения полезного сигнала система доляена иметь возможно большую полосу пропускания, а с точки зрения наилучшего подавления помехи система, наоборот, доля~на иметь возная<но меньшую полосу пропускания. Критерием получения оптимального решения здесь будет - минимальное значение результирующей ошибки системы, определяемой полезным сигналом и помехой. Для случайных величин наиболее просто определить среднеквадратичную ошибку, поэтому ее и используют для оценки точности автоматической системы.
Рассмотрим расчет системы по критерию минимума среднеквадратичной оиеибки при одновременном действии полезного сигнала и помехи. Согласно атому критерию нежелательность ошибки пропорциональна квадрату ее величины. Такая постановка является часто логичной, но она не может, конечно, претендовать на полную универсальность. В некоторых случаях, например при стрельбе по какой-либо цели, все ошибки, ббльшие некоторого значения, являются одинаково нежелательными. Однако средний квадрат ошибки системы регулирования 336 СЛУЧАЙПЫР ПРОЦВССЫ В СИСГКМАХ РЕГУЛИРОВАНИЯ 1вь 1' 1.
(й (с)1 -- Н (р) Ь (л (1)), где Н (р) — преобразующий оператор. 1 Так, например, прн Н (р) .-= — получится задача интегрирования входного сигнала, при Н (р) = р — задача дифференцирования, при Н (р) =-1— задача простого воспроизведения со сглаживанием помехи (обычная следящая система прн наличии помех), при Н (р) = е'Р— статистическое упреждение (предсказание) и т. и, На основании изложенного опгибку системы можно представить в виде * (1) = й (1) — у (1). (11 130) Выходная величина системы регулирования у(1)= ) гр(1 — т)и1(х) от, (11.131) где 1р(1) ==у(1)+1(1), а и~(1) — весовая функция аамкнутой системы. Подставляя (11.130) н (11.131) в формулу (11.129), получаем 1 г г г ~з хз.--.
11ш —,— ) ~ й (1) — ) ср (Р— т) и1 (т) дх ! Ж. т (11.132) Задача заключается в том, чтобы найти частотную передаточную функцнк1 замкнутой системы, связанную с весовой функцией преобразованием Фурье 111(11О) = ~ Ш(1) Е-Рл1 а1 а таким образом, чтобы минимизировать значение хз. наложены на параметры системы, чтобы получить минимум дисперсии. Прн достаточно простом выражении длн дисперсии зто может быть определено непосредственным дифференцированием и приравниванием нулю частных производных.
В более сложных случаях приходится искать минимум дисперсии путем числового задания интересующих параметров и построения соответствующих графиков. Другая постановка задачи при расчете по критерию минимума среднеквадратичной ошибки заключается в том, что ставится вопрос о нахождении оптимальной структуры и значений параметров автоматической системы, прн которых обеспечивается получение теоретического минимума среднеквадратичной ошибки прн заданных вероятностных характеристиках полезного сигнала и помехи. Эта задача будет решена, если найти, например, передаточную функцию замкнутой системы Ф ((е), при которой обеспечивается получение теоретического минимума среднеквадратичной ошибки. Задача относится к категории варнацноппых задач.
Приведем здесь некоторые результаты ее решения (120! для случая, когда полезный сигнал д (1) и помеха / (1) представля1от собой центрнрованные стационарные случайные процессы, приложенные яа входе системы. Перед системой ставится аадача преобразовывать входной сигнал д (1) так, чтобы на ее выходе воспроизводилась величина Ь (1), связанная с д (1) некоторой формулой преобразования РАсчеты по минимуму срыднвкВАдрлтичнои ОшиБки 337 О 11АП Раскроем в вь1ражении (11.132) скобки и изменим порядок интегрирования: т т тв . В1Ш,ЛЧ ~ ЬвЯе)1 — 2 1 в(Л) с1Л 11ш.ет р) й(1) р(2' Л) 11+ --г — т г ~ в(Л) НЛ ~ в(т) е(т 1пп ~„~ ер(Š— Л) ер(1 — и) й. (11.134) Введеле коррс,1ационные функции: т 2т ~ (+ (11.
135) -г Т Лт(т) =-11П1 —,, ~ ер(1+т) ср(е) ей=Во(т)+Ле(т)+Лое(т)+Лгз(т), (11.136) 1 -т Леер(т) =-111П вт ~ й(1+т) 1р(1) Ю вЂ” --Ллз(т)+Ллг(т) (11 137) Этим корреляционным функциям соответствуют спектральные плотПОСтн 8А (В), О, (В), Яо (В), Я1 (В), 8З1 (О1), Яер (В), ЛАЗ (В) И ЬАГ(В). Кроме того, 1пл —, ~ Ьв (1) о11 = Лл (0) . 1 т,„гт В розультате выражение (11И34) можно преобразовать к виду ео хе:- Лл (0) — 2 ~ и (Л) Лис (Л) е(Л+ ~ и1 (Л) ОЛ ) 1Р (т) Ле (Л вЂ” т) е(т. (11.138) Так кзк в реальных системах 1Р(1) ==-0 при 1~0, то нижние пределы нптогрирования в (11.138) надо положить равными нулю. В результате получим хе::=.
Лл(0) — 2 ~ и1(Л) Ле„(Л) е(Л+ ~ и:(Л) егЛ ) в(т) Лт(Л вЂ” т) сот. е о (11.139) Лрпр(т) — ~ Л„(т — Л) 1Р(Л) е(Л="О,, (11340) о Оптимальная передаточная функция (11.133), соответствующая оптимальной весовой функции, являеощейся решением уравнения (11.140), может быть представлена в виде оьр (в) о т>0 22 в. А. Гесеперсвеа, е, и. попов Из последнего выражения видно, что оптимальная весовая функция, соответствующая минимуму среднего квадрата ошибки, определяется только видом корреляционных функций полезного сигнала и помехи. Можно показать (120), что яеобходимое и достаточное условие минимизации выражения (11.139), которое должно быть наловлено на весовую функцию, заключается в том, чтобы она была решением интегрального уравнения Винера — Хопфа 338 (га.
11 СЛУЧАИИЫВ ПРОЦРССЫ В СИСТЕМАХ РЕГУЛИРОВАНИЯ где Ч' Пв) Ч" (ув) =- ( Ч' (ув) 11 =- Я„(в). (11.142у В частном случае, когда преобразующий оператор Н (р) =- 1, т. е. в так называемом случае оптимального сглаживания, имеем л (у) =.. (у ((), 3 ( )=-3 (в)+3 (ь)+3 (ь)+3у (в), 3А,(ь) =За.(ь) =- Уа(ь)+3ау(в). В атом случае решение (11.141) может быть представлено в более простом виде: Ф(ув) = (11.143) (11.145) или, в другом виде, ха?!а= —,, ~ (~а(ь) — Ау!(ув)!') ?(о?. (11.147) Рассмотрим иллюстративный пример. Предположим, что полезному сигналу и помехе на входе системы регулирования соответствуют спектраль- НЫР ПЛОТНОСТИ: 2ИУ? Яу (в) .= Л~, причем корреляция между ними отсутствует и Яау(ь) =Я!а(ь) =().
Найдем спектральную плотность, соответствующун? (11Л36): 2??У? -!- У? ??1 -?-:?ь? или, в другом виде, (1+ уаь) (( — ?ав) (?! —, у!о) ()?-?ь) Я (ь) — —. А где у?',у А = 2цу) + Ут'(?1, аа =- 2!?У?.'. У!)?а А Числитель этого выражения определяется следующим образом. Рассмотрим следующее выражение: Я а а (11Л44) х= — 1 ™ 1=-1 1-...1 Здесь Ч? — полюсы Яза (в), расположенные в верхней полуплоскости, ( — а!)— полюсы Яа (ь), Расположенные в нижней полУплоскостн, пРичем колюсь? предполагаются простыми, а у! — нули Ч'*(ув). Тогда В(уо?) = ~~ — ' ! -1 При реализации в системе оптимальной передаточной функции получится теоретический минимум среднего квадрата ошибки.
Этот минимум определяется выражением + х';„= — ~ (Я. (о?) — !Ф(ув) /13, (ь)) ?Уь (11Л46) Ю 339 1 11.9) РАсчетьг по минимуму сРеднекВАдРАГИЧНОЙ ОшиБки Отсюда знаменатель искомой передаточной функции (11 143) Ч' (усу) = ) у А Р+УАУ Кроме того, получаем а аа (ы) а а (99) 2рУУ 1 (1 — Уа91) (Р+ УАУ) 2р(У ( а 1 1 1 )уУЛ 1 1+Ра 1 — УАУА+ 1+Ра Р+УАУ) ' 'Уа (У9У) т*(У19) ),У,( Отбросив первый член в скобках, соответствующий полюсу в нижней полуплоскости, находим числитель искомой передаточной функции (11.143): В(ую) ==— 2рВ 1 1 ),уЛ 1+ра р+ууа ' Окончательно получаем 'тт' (ууа) А (1+ ра) 1+ уаау 2ро 1 А(1+ра) 1+ар Нахождение оптимальной передаточной функции еще не означает, что реальная автоматическая система может быть выполнена оптимальной, так как реализация ее молует быть сопряжена с большими трудностями.
Оптимальную передаточную функцию, за исключением простейших случаев, следует считать идеальной функцией, к которой по возможности надо стремиться при выполнении реальной автоматической системы. Теория оптимальных систем излагается в работах [26, 108, 120, 121). ГЛАВА 12 МЕТОДЫ СИНТЕЗА СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ $12.1. Общие соображения Под синтезом системы автоматического регулирования понимается направленный расчет, имеющий конечной целью отыскание рациональной структуры системы и установление оптимальных величин параметров ее отдельных звеньев. По отношению к основе синтеза в настоящее время имеются разные точки зрения. Синтез можно трактовать ьак пример вариапиопной задачи и рассматривать такое построение системы автоматического регулирования, при котором для данных условий работы (управляющие и возмущающие воздействия, помехи, ограничения по времени работы и т. п.) обеспечивается теоретический минимум ошибки.