Бесекерский В.А. Теория систем автоматического регулирования (1972) (1151987), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Таким образом, прн иавестной корреляционной функции легко опреде,ляются следующие вероятностные характеристики: а) среднее значение (момент первого порядка) х =- х .—. у' Л (со); б) среднеквадратичное значение (момвнт второго порядка) хз == хз =- Л (О); в) дисперсия Аз -.=- Л (О) — Л (оо); г) среднеквадратичное отклонение о-: )' Л(0) — Л(оо). Корреляционную функцию можно найти на основании экспериментально снятой кривой случайного процесса при !а' ''р" " -а=юг (рис. 11.15). Обработка имеющейся осцил- ~ ~"„41, К=„РР ~~ лограммы производится следующим образом.
Весь интервал записи осциллограммы Т делится на 1У равных частей, дли- Р г тельность которых составляет т Дг = —.. Л' Рис. 11.15. Затем для различных значений т= вз 1А1 находятся средние значения произведений ординат: к — т 1 Л(т) =- У х„х„„ с=1 315 В 11,М КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ По этим значениям строится график корреляционной функции в зависимости от интервала т или времеки т == т Ьг. Корреляционную функцию можно найти по результатам эксперимента также при помощи специальных приборов — корреляторов, которые автоматически вычисляют среднее произведение двух ординат осциллограммы, отстоящих друг от друга на расстояние т.
Если найденная корреляционная функция В (т) содержит постоянную составляющую х = )~ В (1ю), то, выделив ее, можно перейти к корреляционной функции В«(т) в соответствии с (11.48), т. е. В«(т) =- В (т) — (х)'. Можно также ввести в рассмотрение нормированную корреляционную функцию В«(т) К (т) — Д («) р() В д(0) л( ) (11.52) которая удобна тем, что всегда р (0) = 1. Корреляционная функция В«(т) для неслучайных (регулярных) функций времени тождественно равна нулю.
Однако корреляционная функция В (т) может вычисляться и для неслучайных функций времени. рассмотрим несколько примеров. 1. Для постоянной величины х (г) = А«(например, дляпостоянного тока) корреляционная функция +т В(т)= 1нп — ( А«А«еЫ:-=- 4; 2Г, о «1 -т 2. Для гармонической функции х(1) =.А,в1п(«11~+ 1Р1) +т В(т) =-Пш — ~ А, в1Н(«11Г+ф1) А, вш(«11С+ ФП+1)11) 111=- — 1совю1т.
-.т Появление в корреляционной функции члена вида — ' сов Ф1т указы- 2 пает на наличие в случайном процессе скрытой периодичности, которая может не обнаруживаться при первом взгляде на отдельные записи реализации случайного процесса. 3. Периодическая кривая, разлагаемая в ряд Фурье: *(Е) =А«+ Х Аьв1п(ю«Г+$«) «=1 имеет на основании изложенного выше корреляционную фуницию вида Ае В (т) = Ао+,.~ 2" сов ю«т. 1=1 Типичная корреляционная функция для стационарных случайных процессов при х =- О, а следовательно В (т) = В«(т), и при отсутствии скрытых периодичностей имеет вид В (т) = В (О) е '" ! '! = Ре '!1 Е Иногда встречается корреляционная функция вида В (т) = В (0) Е « ~ т ~ СОВ рт = РЕ ' ! т1 СОВ рт.
Эти выражения часто используются для аппроксимации корреляционных функций, полученных в результате обработки экспериментальных данных. 616 СЛУЧАЙНЫК ПРОЦЕССЫ В СИСТЕМАХ РЕГУЛИРОВАНИЯ 1КР Ц Для стациопаряых случайных процессов используется такя~е понятие взаимной корреляциопной функции, вводимой при рассмотрении каких-либо двух процессов х (г) и р (г): г )цп 'т ~ х(Г) р(г+т) й (11.53) -Т Для взаимной корреляционной функции существует следующео соотногпение: .Охг (т) =- )7гх ( — т). Проме того, можно показать, что (лхл(т) ) <1/"л„(0) р"~~„(о).
Взаимная корреляционная функция характеризует взаимную связь двух случайных процессов меягду собой в разные моменты времени, отстоя- ЩИЕ ДРУГ От ДРУГа На ПРОМЕжУтОК ВРЕМЕНИ т. ЗпаЧЕНИЕ Вхз (О) ХаРаКтЕРИЗУЕт эту связь в один и тот же момент времени. Примером такйх двух взаимосвязанных случайных процессов могут служить две координаты пространственного положения подвижной цели. Для не связанных друг с другом случайных процессов для всех т справедливо равенство )тха (т) — -- О. В связи с этим говорят, что процессы коррелированы или не коррелированы.
Это означает наличие или отсутствие между ними статистической связи. Аналогично предыдущему можно таин<э ввести понятие нормированной взаимной корреляционной фупкции. 3 11.5. Спектральная плотность стационарных процессов Р' (рв) —: ~ х (г) е-э"" ИС (11.54) т.
(Г) = — ~ Р (рп) еям йе, т 2я х Возьмем квадрат модуля изобрах<ения Фурье (Р(7ю) ~' и проинтегрируем по всем частотам от — оо до + оо с делением результата на йл: -~- о 2я э ~ (7 )~ 2я Г 1 Г (11.56) (11.55) В последнем выраягении квадрат модуля заменен произведением сопряженных комплексов Р" (7ю) и Р( — 7в). Изображение Фурье Р(ую) заменим выражением (11.54): Рассмотрим так называемую энергетическую форму интеграла Фурье В главе 7 были приведены формулы (7.15) и (7.16), дающие переход от функции времени к изображени|о Фурье и обратно. Если рассматривается некоторая случайная функция времеви х (г), то для нее эти формулы могут быть записаны в виде 1 11М СПБКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦВССОВ 317 (И.59) Правая часть (И.60) представляет собой средний квадрат рассматриваемой величины х(1).
Вводя Обозначение — )~'=~( ) можно переписать формулу (И.60) в виде +во 1 à — Я (а) йо -"= х' (И.61) (И.62) или в виде Я (2п1) 1(У = хз. Ф (И.63) В последней формуле изменим порядок интегрирования: + Ф +Ф +СΠ— „~ ~г'(71о)~*с11е= ~ х(1)М( — ~ Г( — ую)е-1"'1Ь(. (И 57) — В Ю Величина, находящаяся в квадратных скобках (И.57), как нетрудно видеть, является исходной функцией времени (И.55).
Поэтому в результате получается так называемая формула Релея, которая и соответствует энергетической форме интеграла Фурье: + .~-СО 2 (И.58) В Подставляя 1е-- 2П1', получим + -1- в ~ ~)Р(72П/) Р 11~=- ~ [х(г)!'м. 0О Правая часть (И.58) и (И.59) представляет собой величину, пропорциональную энергии рассматриваемого процесса. Так, например, если рассматривается ток, протекающий по некоторому сопротивлению В, то энергия, выделившаяся в этом сопротивлении за время ц будет А.=. ~ В111(Г.
о Из (И.58) и (И.59) вытекает, что для нахождения энергии рассматриваемого процесса за бесконечный интервал наблюдения с равным основанием можно интегрировать квадрат функции времени по всему времени от — оо до +со или интегрировать квадрат модуля изображения Фурье по всем частотам от — оо до +ос. Формулы (И.58) и (И.59) и выражают энергетическую форму интеграла Фурье. Однако эти формулы неудобны тем, что для большинства процессов энергия за бесконечный интервал времени стремится также к бесконечности. Поэтому удобнее иметь дело не с энергией, а со средней мощностью процесса, которая будет получена, если энергию поделить на интервал наблюдения.
Тогда формулу (И.58) можно представить в виде + - г Г, 1 Г 11ш зг 2 ) ~ г (1о1)1 г(1з Вш 2г ) (х(1)) П1. (И.60) Ф -т 318 случайные пгоцессы В скоте»1лх РегулиРОВАния багз. ы Величина Я (в) или Я (2я)) носит название спектральной плотноспш. Важным свойством спектральной плотности является то, что интегрирование ее по всем частотам от — оо до + со дает средний квадрат исходной функции времени х (1). По своему физическому смыслу спектральная плотность есть величина, которая пропорциональна средней мощности процесса в интервале частот от в до в+йо. В некоторых случаях спектральную плотность рассматривают только для положительных частот, удваивая ее при атом, что можно сделать, таь как спектральная плотность является четной функцией частоты. Тогда, например, формула (11.62) должна быть записана в виде г ) ~»(в)'(в 2 1 Я(в) в=-х', о (11.64) (11.66) где Я» (в) = 28 (в) — спектральная плотность для положительных частот.
Однако в дальнейшем иалоя енин будет рассматриваться спектральная плотность, соответствующая всему диапазону частот от — сю до +со, так как при атом формулы получают более симметричный характер. Весьма важным обстоятельством является то, что спектральная плотность и корреляционная функция случайных процессов представляют собой взаим- ные преобразования Фурье, т.
е. они связаны интегральными зависимостями типа (11.54) и (11.55). Это свойство приводится без доказательств (108, 120). Таким образом, могут быть записаны следующие формулы: 8 (в) = ~ )г (т) е-~е' от, (11.65). Л (т) —" — Я (в) е!"" Ив 1 Г Так как спектральная плотность и корреляционная функция представ- ляют собой четные вещественные функпни, то иногда формулы (11.65) и (11.66) представляют в более простом виде: Я(в) =-2 ~ Л(т) созвтИт, (11.67) о В(т):=.— ~ Я (в) созвт дв. (11.68). Это вытекает нз того, что имеют место равенства: ен'» = —. соз ел — , ') з1п вт, е ~"' = соз ел — ! з1п вт, и мнимые части могут быть отброшены после подстановки в (11.65) и (11.66), так как слева стоят вещественные функции.
Связь между спектральной плотностью Я (в) и видом функции времени х (1) заключается в том, что чем куже» график спектральной плотности (рис. 11.16, а), т, е. чем меньшие частоты представлены в спектральной плот- ности, тем медленнее изменяется величина х во времени. Наоборот, чем «шире» график спектральной плотности (рис. 11.16, б), т.
е. чем большие час- тоты представлены в спектральной плотности, тем тоныне структура функции х (г) н тем быстрее происходят изменения х во времени. Как видно из етого рассмотрения, связь между видом спектральной плотности и видом функции времени получается обратной по сравнению со з ы.»1 СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ З19 связью между корреляционной функцией и самим процессом (рис. И.14). Отсюда вытекает, что более «широкому» графику спектральной плотности должен соответствовать более «узкий» график корреляционной функции и наоборот.
Вычисление спектральной плотности неудобно делать по соотношению (И .61), так как это связано с трудностью предельного перехода. Обычно спектральная плотность вычисляется по известной корреляционной функции Рнс. И.16. при по»ющи формул (И.65) или (11,67). Эти формулы соответствуют так называемому двустороннему преобразованию Фурье четной функции времени Ат (т). В табл. И.З даны некоторые функции Л (т) и их изображении Фурье О (ю) в соответствии с (И.65) н (И.67). В таблице используются импульсные Т а б л и ц а 11. 3 Даустороннее ваображенне Фурье четных фуннцвй 320 слгчакнык пгоцкссы в систвмах гвгхлигования 1ю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
