Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике (1990) (1151962), страница 7
Текст из файла (страница 7)
(Очевидно, если математические ожидания и Х, и У равны О, то оба предыдущих отношения равны 1). Если все-таки рассматривать эту проблему как парадокс, то ее скорее следует назвать парадоксом математического ожидания, а не «арифметическим парадоксом». д) Литература В следующнх книгах рассказано о математике бриджа: Веге! Е., Снегов А. Тйеоме тау!Фтиидие Ни Ьггеуе, Ови!Ыег-Ч!!!згз, Рзг!з, 1946.
5всоЬу О. Воы го Р!лиге йе ОННзу Ооиыееау, Нем тогй, 1947. Автор следующих статьи н книги заработал мнллноны нрн игре в очко н заставил изменить правила этой игры. ТЬогр Е. О. "А !зуоигзше з1гз1еку !ог Ьвеп1у-опе", Ргос. геи!. АсаН. Вс!., 47, 110 — 112, (1961). ТЬогр Е. О. Вел! йв Веи!ег: А Вчлл!лу Я!га!еуц о( йе Вате Ттел!уоле, В!з!збе11, Нэм тогу, 1962. Для любнтввей покера: Р1нб!ег М. Ч. "Согпригэг ройег", Явь Атег., 239, 112 — 119, (зи!у, 1978). Работы но истории карточных нгр: Ввз! О.
Р!«цту сигея илН Тле!г В!огу, ьолбоп, 1976. зснге)Ьвг 1Ч. 1.. О!е зиев1еп Бр1в1йзггеп, 81н119аг1, 1937. 6. Парадокс раздачи подарков; травмы, причиненные лошадьми; телефонные вызовы; опечатки а) История парадокса Классическая теория вероятностей занимается в основном комбинаторными задачами (связанными с азартными играми). В этих задачах случайные события обычно состоят из конечного числа возможных элементарных исходов и все элементарные исходы равновероятны.
В таком простом случае вероятность события (А) равна отношению числа «благоприятных» исходов к «общему числу исходов». В первой подробной монографии по теории вероятностей также рассматривались такие вероятности. Это была книга Ремона де Монмора, опубликованная в Париже в 1708 г. «Парадокс раздачи подарко⻠— это вариант задачи, обсуждаемой в книге Монмора на примере карточных игр. б) Парадокс Несколько человек решили сделать друг другу подарки следующим образом.
Каждый приносит подарок. Подарки склады- ваются вместе, перемешиваются и случайно распределяются среди участников. Этот справедливый способ раздачи подарков применяется часто, так как считают, что для больших групп людей вероятность совпадения, т. е. получения кем-то собственного подарка, очень мала. Парадоксально, но вероятность по крайней мере одного совпадения намного больше вероятности того, что совпадений нет (кроме случая, когда группа состоит из двух человек, тогда вероятность отсутствия совпадений равна 50 % ). е) Объяснение парадокса Рассмотрим компанию из и человек, тогда число подарков также равно и. Подарки могут быть распределены и! различными способами. (Это общее число исходов.) Число исходов, в которых никто не получит свой собственный подарок, равно ( ) и! — ( )(и — 1)1+ ( )(л — 2)!— ~'и'ь — )(л — 3)! + ...
( — 1)" 01, ~3) так что отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов вычисляется по формуле р„= 1/2! — 1/31+ ... + ( — 1)"/и! и р„действительно меньше !/2 при и ) 2. Когда собирается, к примеру, по крайней мере 6 человек (и ) 6), имеем р„ж 1/е ж 0.3679 с точностью до 4 знаков после запятой. Вероятность определенного совпадения, т. е. вероятность того, что конкретный человек получит свой собственный подарок, очевидно, равна 1/и, и 1/и стремится к 0 при увеличении и. Этот парадокс показывает «по капельке — море, по былинке в стог»: несмотря на малость вероятностей (!/л) определенных совпадений, вероятность того, что произойдет по крайней мере одно совпадение, приблизительно равна 2/3.
г) Замечания (!) Вероятность р„ сходится к е-' с ростом л. Если и ие меньше 6, то р„ = е-' с точностью до четырех знаков после запятой. В более общем случае вероятность, ровно и совпадений равна е — '/я! (в указанном выше смысле). (В) Исследуем другую проблему, связанную с парадоксом раздачи подарков. Опять рассмотрим совокупность из л человек и л подарков. Теперь подарки распределяются таким образом„ что каждый человек может получить любой подарок с одинаковой вероятностью независимо от распределения других подар- ков. Следовательно, может так случиться, что кто-то получит более одного подарка, а другие не получат подарков совсем. Тогда подарки могут быть распределены и" различными способами (и" — общее число исходов).
Пусть событие А заключается в том, что определенный человек не получит подарка. Тогда все и подарков распределяются среди остальных (и — 1) человек, и это можно сделать (и — 1)" разными способами. Таким образом, вероятность события А равна 0„= (и — 1)"/и" = (1 — 1/и)". Последовательность д„так же, как и р„, стремится к е-'.
Обобщая наш результат, получим: вероятность того, что определенный человек получит ровно (г подарков, сходится к е †'/я! при 44 48 02 0А аз 0,2 00 гзелаталгггазатай Рпс. 2. Распрадалаппе Пувссопа с параметрвмп Х = 2 и Л = 5. Говорят, что случайная величина, принимающая лишь неотрицательные целочисленные значения, имеет распределение Пуассаиа, если она принимает значение й с вероятностью гм Выше мы видели, что случайное число подарков, которые получит определенный человек, приблизительно подчиняется распределению Пуассона с параметром Л, если среднее число (математическое и-~-сс. Рассмотрим теперь случай, когда число людей (и) не обязательно совпадает с числом подарков (т).
В этом случае искомая вероятность равна д =(! — 1/и)". Если отношение т/и стремится к параметру Л (т. е. если среднее число подарков, приходящееся на одного человека, равно Л или стремится к Л), то д„сходится к е " (где Л может быть любым положительным числом). Наконец, вероятность того, что определенный человек получит ровно я подарков, сходится к га = Лае-а/й!. ожидание числа) подарков, приходящихся на одного человека, равно Х. Возвращаясь к «парадоксу раздачи подарков», получаем, что число людей, которым достанутся их собственные подарки, также подчиняется распределению Пуассона с параметром Х = 1. Это достаточно естественно, так как в среднем существует только один человек, получивший свой собственный подарок. (Вероятность того, что определенный человек получит свой собственный подарок, равна 1/и, и для и человек сумма таких вероятностей даст 1, каково бы ни было п.) (гй) Понятие распределения Пуассона впервые появилось в книге французского ученого Симеона Дениса Пуассона (1781— 1840 гг.).(В работе «Исследования о вероятности судебных приговоров по уголовным и гражданским делам» ("Кеспегсиез зпг !а РгоЬаЬ|11(е без,)цяешеп!з еп Майеге Сг!ш(пе11е е! еп Майеге С(ч!1е, Ргссебеез без Сея!ез бепега1ез сп Са!сп! без РгоЬай!!1- 1ез"), опубликованной в 1837 г., равд.
81 посвящен приложениям теории вероятностей к судебной практике.) Пуассон обсуждает следующую проблему. Рассмотрим эксперимент, в котором один и тот же феномен наблюдается повторно. Предполагается, что испытания в этом эксперименте независимы, для каждого испытания есть только два возможных исхода и их вероятности остаются неизменными для всех испытаний. (Эксперимент такого типа называется последовательностью испытаний Бернулли.) Как правило, исход, происходящий с вероятностью р, называют «успехом», а другой исход — «неудачей». Пример испытаний Бернулли дают последовательные бросания несбалансированной монеты. Пусть Ь» — вероятность того, что при п испытаниях Бернулли будет й успехов (например, вероятность того, что выпадет ровно й гербов при и бросаниях несимметричной монеты).
Тогда Ь» — — р~(1 — р) ", й =О, 1, ..., п. 'чл/ Таким образом, число успехов 5«в и испытаниях Бернулли есть случайная величина, которая принимает значение А с вероятностью Ь». Говорят, что случайная величина с возможными значениями О, 1, 2, ..., в имел биномиальиос распределение, если она принимает значение Ь с вероятностью Ь». Прилагательное «бииомиальное» указывает на тот факт, что Ь» как раз является Ь-м членом в разложении бинома (р+ (! — р))", поскольку по биномиальной формуле (р+ (1 — р))" = Ьо+ Ь~+ Ьз+ -+ Ь .
Пуассон обнаружил, что если делать р все меньше и меньше и в то же время увеличивать и так, что произведение пр = Х остается постоянным, то Ь» стремится к гь Следовательно, распределение Пуассона является приближением для биномиальио- го распределения. Возможность широкого применения и большая важность пуассоновского распределения не были поняты в середине прошлого века; более того, о нем почти полностью забыли. Однако после 1894 г. это распределение использовали при изучении странного феномена. За 20 лет между 1876 и 1894 годами в 14 различных кавалерийских корпусах германской армии была собрана статистика трагических случаев, когда солдат был убит ударом копыта. Согласно 280 наблюдениям '), 196 солдат погибли таким образом, т. е.
в среднем за год )с = 0,7. Если бы число трагических исходов подчинялось распределению Пуассона с параметром 1 =0.7, то можно было бы ожидать, что при 280 наблюдениях в 139 случаях смертей нет, в 97 случаях — 1 смерть, в 34 случаях — 2 смерти и т. д. А что показала статистика) В действительности данные были соответственно 140, 91, 32 и т. д.; практика и теория оказались в столь хорошем согласии, что вряд ли можно было ожидать большего.
Это сравнение появилось в 1898 г. в знаменитой монографии Л. Борткевича. Название его книги «Закон малых чисел» отражает тот факт, что при пуассоновской аппроксимации р стремится к 0 при увеличении а. (Название достаточно двусмысленно, так как оно наводит на ошибочную мысль о том, что пуассоновское приближение в каком-то смысле противоположно закону больших чисел, который обсуждается ниже.) Пуассоновское распределение стало широко применяться лишь в ХХ веке. Например, пуассоновским распределением приближенно описывается количество определенного вида товаров, проданное в течение конкретного дня, число молекул гемоглобина, видимое под микроскопом, число забастовок и войн в году, число опечаток в тексте или число телефонных соединений с определенным номером в течение фиксированного дня.
Если среднее число молекул гемоглобина или опечаток, или телефонных соединений равно )., то их число имеет распределение Пуассона с параметром Х. Если У в число телефонных линий, доступных для телефонного обмена, то число занятых линий приблизительно имеет распределение Пуассона. Проблемы такого вида изучались датским математиком А. К. Эрлангом (1878 †19 гг.).
В 1906 г. он установил, что лучшее приближение можно получить, если использовать следующее усеченное пуассоновское распределение: за=ела/й), где 9=0, 1, ..., й( ') 280 наблюдений = 20 лет Х 14 корпусов. — Прнм. перев. С тех пор это распределение называется распределением Эрланга. д) Литература Не!КЫ Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
