Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике (1990) (1151962), страница 8
Текст из файла (страница 8)
А. Нааг(эоои о) (ле Роаяоа ()Ыггьииоа, %!!еу, Незя тог1г, 1967. Моо1оюг1 Р. ((. Еяяау гтаоа(уяе яиг (ез )еих ае Ьахагг(, Рвпв, 1708. Зьеугни О. Н. "5. О. Ро(в»оп'в ззогх (п ргоЬвЬНИу 2 Агсысе )ог Ме Н!я!осу о( Ехас! Ес(еасез, 18, 245 — 300, (!978). 5051ег 5. М. "Ро(взоп оп Пхе Ро!ввоп 0!в1г!Ьо(!ов", 3(аиянся ааа РгоуаЬшиу сеиегз, 1, ЗЗ вЂ” 35, (1982). Тя1гвв Ь.
"Тье ргоЫегв о1 со(ос!0епсе", Агсате )ог Ме Н(з(огу о( Ехас( Ес!засея, 21, 229 — 245, (!980). 7. Санкт-петербургский парадокс а) История парадокса Теория вероятностей, которая начиналась с исследования результатов азартных игр, развилась в универсальную теорию, нашедшую применения яо многих областях жизни. Поэтомусовсем неудивительно, что почти все крупные научные журналы последовали примеру английского журнала «Труды по философии» и регулярно публиковали статьи по теории вероятностей. Все больше и больше ученых считали, что теория вероятностей— это не что иное, как путеводитель по жизни, здравый смысл, выраженный в числах.
Однако в начале ХНП века Академия наук в Санкт-Петербурге опубликовала статью, математические вычисления в которой казалось противоречили здравому смыслу. Статью написал Даниил Бернулли, и благодаря ему петербургский парадокс стал известен. Однако впервые проблему поднял его двоюродный брат Николай Бернулли и упомянул о парадоксе в письме к Монмору в сентябре 1713 г. (Бернулли — знаменитая семья математиков, несколько членов которой занимались теорией вероятностей, особенно Якоб Бернулли, о котором еще пойдет речь ниже в связи с законами больших чисел.) б) Парадокс Единичное испьпание в петербургской игре состоит в бросании правильной монеты до тех пор, пока не выпадет решка; если это произойдет при г-м бросании, игрок получает 2г долларов из банка.
Таким образом, с каждым бросанием выигрыш удваивается. Вопрос в следующем: сколько следует заплатить игроку за участие в игре, чтобы игра стала безобидной? Безобидность петербургской игры рассматривается в классическом смысле; среднее значение '(вли математическое ожидание) чистого выигрыша должно быть равно О. Однако, как ни удивительно, это естественное требование невыполнимо, какую бы (конечную) сумму денег игрок ни заплатил. в) Объяснение парадокса Потери банка имеют бесконечное математическое ожидание, так как вероятность окончания игры при я-м бросании равна 1/2', и в этом случае игрок получает 2Я долларов.
Тогда банк в среднем должен заплатить — 2+ — 4+ — 8+ ... =1+1+!+ ... ! ! 1 2 4 з долларов, что составляет бесконечно большую сумму денег, так что игра стала бы безобидной при бесконечном взносе. Хотя все математические вычисления корректны, результат неприемлем, поэтому некоторые математики предположили реализуемые модификации. (1) Бюффон, Крамер и другие предложили исходить из естественного предположения об ограниченности ресурсов (т. е.
банк имеет лишь ограниченное количество денег). Пусть в банке есть миллион долларов. Тогда математическое ожидание выигрыша для игрока равно — 2+ 4 4+.''+ 2~ю 2 +(Я30+ Я2 + ...) ° 1О =19+ 1.90... - "21 (мы учли, что 2" ) 10'). Следовательно, при вступительном взносе игрока, равном 21 доллару, игра станет в некоторой степени выгодной для банка.
(й) В, Феллер отметил, что можно так определить вступительный взнос, что петербургская игра станет безобидной. Обозначим через и число игр, в которых участвовал игрок. Игру можно считать безобидной, если отношение суммарного выигрыша !у„к суммарному вступительному взносу Р„сходится к 1 при и, стремящемся к бесконечности, точнее, если для любого е)0 Р((М„~„— ! ((в)-+1 при п- оо. (*) Феллер доказал, что петербургская игра становится безобидной, если положить Я, = п!одра.
Как следует из парадокса, игра не может быть безобидной для Р„=си„где с — произвольная конечная постоянная. Однако, если вступительный взнос можетзависеть от числа игр, в которых участвовал игрок, то (согласио теореме Феллера) петербургский парадокс разрешается. г) Замечания (1) Соотношение (») выражает свойство устойчивости величины 1У„. Аналогичные свойства наблюдаются и при РР„= сп в «Парадоксе Бернулли для закона больших чисел». (й) По результатам 2084 игр Бюффон обнаружил, что игра становится безобидной при вступительном взносе, приближенно равном 1О долларам. (и) Следующий парадокс близок санкт-петербургскому парадоксу.
(Я услышал о нем от Сэма Гутмана после моего выступления на семинаре Дадли в Массачусетском технологическом институте в 1983 г.) Предположим, что вам предоставлена возможность выиграть ( — 2)" долларов с вероятностью 2-", п = 1, 2, 3, .... Это вас радует или огорчаетР Ответ; вы и обрадованы, и огорчены. Вы обрадованы потому, что такая лотерея эквивалентна двухступенчатой лотерее, в которой на первом шаге определяется, в какой из лотерей, каждая из которых для вас выгодна (математическое ожидание выигрыша положительно), вы участвуете на втором шаге. Точнее, с вероятностью (2 — '+2 — '+2-') вы участвуете в лотерее, в которой выигрываете ( — 2)г долларов с вероятностью 2 Ч(2 +2 +2 ) (1=! 2 4) или с вероятностью (2-'+ 2 — '+ 2 — ') вы участвуете в лотерее, в которой выигрываете ( — 2)» долларов с вероятностью 2 /(2 +2 +2 ) (Й=З, 6, 8), и т. д.
В каждой из лотерей на втором шаге возможны три выигрыша, и математическое ожидание выигрыша положительно. Так что вы рады. Однако исходную лотерею можно переделать и в лотереи с тремя выигрышами, в каждой из которых математическое ожидание отрицательно. Выигрышами в первой лотерее являются ( — 2)', ( — 2)», ( — 2)', во второй — ( — 2)4, ( — 2)«, ( — 2)' и т, д.
Так что вы одновременно огорчены. [Для тех, кто знаком с понятием условного математического ожидания, переформулирусм парадокс иначе. Представим себе, что условное математическое ожидание Е(Х1У) определено не как обычно, а как ~ хР(г(х~ У), где Р(г(х)У) определено обычным образом. Тогда существуют случайные величины Х, У и 2, такие, что Е(Х~ У) ) О ) Е(Х)Х) с вероятностью 1! Действительно, пусть Х вЂ” конечный выигрыш в лотерее, т. е. Х= ( — 2)" с вероятностью 2 — '.
Положим У = 1, если нам досталась первая «положительная» лотерея (т. е. Х= ( — 2), ( — 2)' или ( — 2)'), положим У =2, если нам досталась вторая лотерея (т. е, Х= ( — 2)', ( — 2)' или ( — 2)') и т. д, Пусть Я = 1, если нам досталась первая «отрицательная» лотерея (т. е. Х =( — 2), ( — 2)', ( — 8)'), и 3=2, если нам досталась вторая лотерея (т. е. Х= ( — 2)', ( — 2)', ( — 2)') ит д) д) Литература Рсйсг Цг. Ап !пиовис!!оп !о Ргойин!иу Таво«у ипл Пз Аррнсииолз, Нам Уогй, Лоьп ЦГ!!су, 1969. (Имаатся перевод: Фаллвр В.
'Введение в теорию вероятностей н ав приложения. — Мл Мнр, 1984.) Н(пап А. за. "Яи ипа 1еяяс йа! ягапж пшпсм явпвганхаа(а", й!огп. Рз!. Пи!. Ц Аииогг, 7, 366 — 377, (1936). Магнп-1.о1 А. "А !ппк 1Ьеогеш мунсь с)аг!Яев В«в 'Рс1егаьпгя рагаг)ох'", А Арр!. РгоЬ., 22, 634 — 643, (1985), 8. Парадокс смертности населения.
Безвозрастный мир атомов и слов а) История парадокса Математические исследования по смертности населения и продолжительности жизни начались на раннем этапе развития капитализма благодаря потребностям страховых компаний. Вслед за результатами, полученными Джоном Граунтом (1662 г.), ван Худденом и Джоном де Уитгом (1671 г.), Эдмунд Галлей (открывший комету, названную его именем) опубликовал в 1693 г.
статью о таблицах смертности, которая положила начало математической теории страхования жизни. Следующий парадокс (замеченный Даламбером) показывает одну из «зубодробильных» проблем новой теории. б) Парадокс По таблице Галлея средняя продолжительность жизни равна 26 годам и вместе с тем с равными шансами можно умереть до 8 лет и прожить больше 8 лет. в) Объяснение парадокса Действительно, согласно таблице Галлея, с равными шансами можно прожить больше 8 лет и умереть в возрасте до 8 лет, но если человек дожил до 8 лет, то он может прожить еще несколько десятилетий. Следовательно, неудивительно, что средняя продолжительность жизни намного больше 8 лет.
Предположим, что среди тысячи человек лишь один достигает возраста Мафусаила '1, Тогда средний возраст значительно ') Мафусаил — в всгхозаввгвых преданиях один нз праогиов человечества, пРославившийся своим долголетием («мафусанлов вснэ), он орожнл 969 лог. — Прим, перев. увеличится, но их вероятная продолжительность жизни (возраст, до которого они доживают с вероятностью 50 ага) существенно не изменится, г) Замечания (1) Пусть г" (х) обозначает вероятностЬ того, что продолжительность жизни человека, случайно выбранного из некоторой группы населения, меньше, чем х единиц времени.
(Р(х)— функция распределения продолжительности жизни.) Предположим, что Р(х) имеет плотность )(х). Средняя продолжительность жизни вычисляется по формуле М = ~ х) (х) Нх. С другой о стороны, вероятная продолжительность жизни гл определяется из уравнения Е(т) = 1/2. Другими словами, за период времени гл вымирает половина населения. Из этих формул ясно, что, вообще говоря, М и т принимают совершенно разные значения. М есть математическое ожидание продолжительности жизни, а лт называется медианой этой продолжительности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
