Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике (1990) (1151962), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Слово «карта» происходит от греческого слова Харт«!~ в бумага, однако карточные игры были известны еще до появления бумаги. Хотя неизвестно, где возникли карточные игры, в Европу они, видимо, попали через Венецию во время крестовых походов в ХП1 веке, а в Венецию— через Китай — Персию — Сирию — Палестину.
Факты состоят в следующем. Согласно китайской энциклопедии Хтг)! века игры, похожие на карточные, были известны в Китае уже в 1120 г. до нашей эры. Остатки арабской карты ХП! века можно увидеть во дворце музее Топкапы в Стамбуле. Флорентийский указ 1376 г. запрещал карточную игру «наиби». Согласно рукописи Г377 г., хранящейся в Британском музее, приблизительно в это время карточные игры стали популярны в Швейцарии. В Национальной библиотеке в Париже находятся 17 карт Таро, изготовленных в !392 г. для Карла И. Иоганн Гутенберг отпечатал карты Таро в том же году, что и свою знаменитую Библию'1. Современная колода возникла из карт Таро Гутенберга.
В колоде Таро было 78 карт; 22 главные карты, известные под названием "а1оп15" (т. е. «главнее всех»; позднее эти "а1оп1з" назвали козырями). Спустя несколько десятилетий французы убрали 22 карты "а1оп(з" и 4 рыцарей ("Кп1КЬ(з"). Оставшиеся 52 карты и образуют современную колоду. С того времени число популярных карточных игр достигло нескольких сотен, но возросло также и число шулеров. Этот факт отражает знаменитая картина Караваджо «Карточные шулеры», написанная в 1593 г. Чтобы ограничить влияние шулеров, в 1765 г. лейтенант французской полиции Габриель де Сартин ввел рулетку. Она стала самой увлекательной и самой старой игрой в казино и существует до сих пор.
С ХЧП века игры типа лотерей, организуемые государством, становятся все более популярными. Первая публичная лотерея с денежными призами, (.о11о г(е Е1гепзе, состоялась во Флоренции в !530 г. Другой вариант лотереи появился в 1620 г., когда в Совет Женевы потребовалось выбрать пять новых членов для заполнения вакантных мест. Эти члены выбирались среди 90 граждан, записки с фамилиями которых были положены в урну и затем вытаскивалось пять записок.
Жителям Женевы разрешалось ставить на '1 42-строчния «Бивлия» печаталась примерно и 1450 — !455 гг. — Прим. перев. пять счастливчиков. Даже сегодня карточные игры, рулетка, лотереи и другие азартные игры очень популярны. Иногда некоторые стратегии, приводящие к выигрышу, объявляются «абсолютно надежными», но в действительности также утверждения оказываются научно необоснованными. С другой стороны, точные научные теории известны лишь крайне небольшому числу математиков. Эти теории обычно подтверждают правила, используемые на практике. Однако математические теоремы могут противоречить здравому смыслу и становиться источником парадоксов.
Здесь мы рассмотрим лишь два из них. в) Парадоксы (1) Парадокс бриджа Предположим, что в коалиции двух игроков на руках 26 карт, среди которых 6 козырей. Тогда наиболее вероятное распределение козырей следующее: 4 — на одной руке и 2 — на другой. Вероятность такого распределения в точности равна 78/161, что немного меньше 1/2, а вероятность распределения 3 — 3 несколько больше 1/3, ее точное значение равно 286/805. Теперь предположим, что дважды ходили с козырей и оба игрока в коалиции дважды положили козырные карты.
В этом случае у коалиции осталось лишь 2 козыря, причем либо обе карты на одной руке, либо у каждого игрока по одному козырю. Если между двумя игроками распределяются 2 козыря и 20 других карт, то шансы того, что у одного из игроков окажутся оба козыря, равны 10/21, вероятность второго варианта равна 11/2!. Итак, второй вариант более вероятен, т. е, более вероятное распределение 1 — 1 получается из менее вероятного распределения 3 — 3.
Нет ли здесь противоречия? (й) Парадокс лотереи Большинство участников лотерей обычно не ставят на «слишком симметричные» комбинации, хотя все комбинации равно- возможны. Причина этого очень проста. Игроки по опыту знают, что, как правило, выигрывают несимметричные комбинации. В действительности выгоднее ставить на наиболее симметричные комбинации именно потому, что большинство игра. ков их избегает. в) Обълсненое парадоксов (1) Шансы получить распределение козырей 3 — 3 равны Аналогично для распределений 2 — 4 и 4 — 2 имеем поэтому второе распределение более вероятно.
Для двух козырей и 20 других карт распределение козырей 1 — 1 имеет шансы Вероятность противоположного события, очевидно, равна 10/21, что и утверждалось выше. Но тогда где же ошибка? Прежде всего покажем, где ее быть не может. Естественно считать, что после захода с козырей дважды (и после того, как оба игрока положили по 2 козыря) в силу полученной в результате этого информации вероятности изменились.
Действительно, условные вероятности (при условии, что оба игрока имеют по меньшей мере по 2 козыря) отличаются от безусловных вероятностей, но получаются из них путем умножения на одно и то же число. Следовательно, их отношение не изменится, так что таким путем парадокс не разрешить.
(286/805 + 78/!05 = 676/805, и поэтому условные вероятности в 805/676 раз больше соответствующих безусловных.) Истинная причина ошибки в следующем. Если исходное распределение козырей было 3 — 3, то каждый игрок мог сбросить свои козыри 3 2 = 6 различными способами, что всего дает 6 6 = 36 возможных вариантов. Если распределение было 4 — 2 или 2 — 4, то они могли сбросить свои козыри лишь 4.3.2 1=24 способами. Теперь мы видим, что очень важно знать, каким было исходное распределение козырей перед заходом с козырей. Учитывая начальную ситуацию, получим отношение, составляющее лишь 24/36 = 2/3 отношения, вычисленного выше.
Действительно, 286/805: 78/161 = 11/!5 составляет 2/3 от отношения 11/21: 10/21= 11/10. Теперь парадокс полностью разрешен. (5) Совсем неудивительно, что симметричные или регулярные комбинации выигрывают крайне редко. Если ставят на 5 чисел из 90, то общее число возможных комбинаций приблизительно составляет 44 миллиона (и в точности равно 43929268), среди которых регулярных пятерок всего лишь несколько тысяч.
В случае выигрыша регулярной пятерки, на которую очень редко ставят другие игроки (хотя шансы выигрыша остаются теми же самыми), величина приза действительно возрастает. Если игрок будет участвовать в лотерее многократно, то спустя некоторое время он в этом убедится. г) Замечания (1) Пятерки чисел, на которые ставят редко, обнаружить просто, так как в газетах всегда сообщается, сколько участников лотереи угадали 2, 3, 4 или 5 чисел и сколько составил выигрыш. (Для пятерок чисел, на которые ставят чаше, выигрыш меньше.) В случае прогноза результатов футбольных матчей математический анализ немного сложнее, потому что здесь нет фиксированных комбинаций. Вычисления могут основываться на прогнозах, публикуемых в некоторых газетах, и на числе людей, принимающих во внимание эти прогнозы.
(й) Публикации по азартным играм (от рулетки, где результаты неизбежно случайны, до бриджа, где влияние случайности сведено до минимума) могли бы заполнить несколько библиотек. В ХХ веке, во многом благодаря трудам Джона фон Неймана, была разработана общая теория игр. Мы вернемся к ней позднее.
(ш) Следующий парадокс появился в 1693 г.(1) в «Философских трудах Королевского общества» (Рй(1озорп(са1 ТгапзаеНоп о1" Нге Коуа1 Бос(е(у, 17,677 — 681) в работе «Арифметический парадокс, касающийся шансов выигрыша в лотереях» члена Королевского общества, почтенного Фрэнсиса Робертса, эсквайра. «В то время как некоторые истины (подобно аксиомам в геометрии или метафизике) самоочевидны с первого взгляда, другие, не менее справедливые в своих основах, обладают совершенно другими чертами и без строгого и тщательного анализа кажутся неверными.
Примеры подобных истин можно найти в большинстве наук.. Я предложу еще один пример из арифметики, который, видимо, покажется столь же великим парадоксом, как и любой из известных ранее. В каждой из двух лотерей игрок платит шиллинг за право тянуть жребий или сделать бросок. Верные исчисления показывают, что шансы на выигрыш у игрока в первой лотерее равны 1 к 3 во второй лотерее — 1 к 2, тем не менее игроку одинаково невыгодно (и не больше) участвовать ни в первой лотерее, ни во второй».
Пример, приводимый после этой проблемы, состоит в следующем (будем использовать современную терминологию). Пусть Х обозначает наш выигрыш в игре; зависящей от случая. (При проигрыше величина Х отрицательна.) Пусть Х«=Х, если Х положительна, и О в противном случае; Х- = Х, если Х отрицательна, и О в противном случае, Обозначим через У, У», У ' те же случайные величины для другой игры. Как показывает пример, хотя математические ожидания величин Х и У совпадают, отношения математических ожиданий величин Х+ и Х вЂ” могут отличаться от соответствующего отношения для У" и У-. Это означает, что из равенства Е(Х)=Е(У) не следует равенство Е(Х+) (Е(Х-) = Е ( У+) (Е ( У вЂ” ) . Вряд ли кого- нибудь удивит этот результат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
