Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике (1990) (1151962), страница 9
Текст из файла (страница 9)
(В) Понятие смертности нетрудно расширить. Если рассматривать амортизацию промышленных изделий или распад атомов как смерть, то получаем широко применимую математическую теорию, возникающую из исследований смертности населения. Однако в этой более широкой области также могут наблюдаться достаточно парадоксальные явления. В то время как человек не бессмертен, не вечно молод, в природе и обществе можно найти так называемые безвозрастные объекты.
Определим понятие безвозрастности. Считаем объект безвозрастным, если вероятность существования объекта в течение определенного интервала времени не зависит от времени, которое объект уже существовал. Очевидно, человек таким свойством не обладает, так как, чем он старше, тем с большей вероятностью он умрет в течение заданного промежутка времени. Интересно, что не все объекты подобны нам. Например, радиоактивные атомы безвозрастны. Если средняя продолжительность существования безвозрастного объекта равна Т, то вероятность того, что он не прекратит своего существования за следующий период времени х, равна е-"Гг, где х — положительное число.
Свойство безвозрастности радиоактивных частиц вытекает из того факта, что их скорость распада пропорциональна числу нераспавшихся частиц. Коэффициент пропорциональности называется постоянной распада и обозначается Л. Если в момент времени 1 = 0 было Ма нераспавшихся частиц, то (так как скорость распада равна постоянной, получаемой путем интегрирования) в момент времени х число нераспавшихся частиц составляет У„ = пас†'". Это означает, что вероятность выживания до момента х равна е-ьх.
Следовательно, радиоактивные частицы действительно безвозрастны, и их средняя продолжительность существования равна Т = 1/Л. Другими словами, продолжительность существования радиоактивных частиц описывается показательным распределением с параметром Л, т. е. имеет плотность вероятности Ле — ах '). Период полураспада безвозрастных объектов (период, в течение которого половина объектов прекращает существование) есть корень следующего уравнения: е ' 1/2, т. е.
х=!п2/Л. (ш) Понятие периода полураспада безвозрастных объектов стало фундаментальным в некоторых областях науки. Радиоуглеродный метод, разработанный американским химиком Уиллардом Фрэнком Дибби, до сих пор является самым распространенным методом датирования в области археологической хронологии. (В 1960 г. за это открытие ему была присуждена Нобелевская премия.) В 1950 г., следуя идеям Либби, М. Свадеш применил его метод в лингвистике, предполагая, что не только радиоактивные атомы, но и атомы речи, т.
е. слова, можно считать безвозрастными. Предполагается, что период полураспада древнего базового словаря языков составляет 2000 лет. Используя эту идею, можно определить дату, когда два родственных языка (например, латинский язык и санскрит) разделились. Для нахождения даты разделения двух языков нужно только знать, какая часть базового словаря до сих пор существует в обоих языках. А.
Раун и Е. Кангсмаа-Минн сравнили венгерский и финский языки. Они обнаружили, что идентичные элементы в этих языках составляют соответственно 21 '/о и 27 %. (Вычисления проводились разными методами.) Отсюда был сделан вывод, что венгерский и финский языки разделились приблизительно 4 — 5 тысяч лет назад. Метод Свадеша, разработанный 30 лет назад, применяется очень часто и известен как лексико- статистика или глоттохронология. (Оригинальная статья Свадеша опубликована в «Международном журнале американской лингвистики».) (1о) Предположим, что Л вЂ” постоянная распада.
Тогда вероятность распада ровно й частиц за время 1 равна (И) е ат/й(. Это означает, что число распавшихся частиц есть случайная величина, имеющая распределение Пуассона, которое нам уже из- ') Плотность вероятности показательного распределения с параметром Л равна Ле ~, если х ) О, и О в противном случае. — Прим, перев. вестно из парадокса раздачи подарков. Математическое ожидание этого распределения равно )ь1, что довольно естественно. (и) Мы увидели, что существуют безвозрастные объекты.
Что еще более удивительно, существуют объекты, которые со временем становятся «моложе», например, механизмы, у которых в период их функционирования есть интервал, когда вероятность безотказной работы в течение определенного промежутка со временем растет. Легко видеть, что математически в обозначениях пункта (1) это означает убывание !(х)/(1 — Р(х)) (интенсивности выхода из строя) как функции от х. Изучение этой интенсивности очень важно в теории надежности и проблемах хранения. (и!) Наконец, остановимся на одном любопытном вопросе, связанном со смертностью населения.
Можно ли с помощью вероятностных методов оценить общее число людей, когда-либо живших на Земле? Обоснование следующего удивительного утверждения дано в книге Голдберга (см. ссылку ниже): «9 процентов когда-либо живших на Земле людей живут сейчас». Это утверждение было вынесено в заголовок статьи в «Нью-йорк Таймс» (6 октября 1981 г., с. Б1). д) Литература Ваг!отт Е. И., Ргозсьап и. 81о1аисо! Тйеогу о( Репомщу опгг Ь!(е !езапу, Нетч Уогй, Ноп, И!пеьаг! апб Цг!пз)оп, 1пс., 1975. Беляев Ю. К., Гнеденко Б.
В, Соловьев А Д. Математические методы в теории надежности. †Моск: Наука, !965, СоМЬегк В Ргоаамщу !и бос!о! Яс)елее, В!гйьацзег, Воз!оп — Вазе!— 5)цниаг!, 1983. Напеу Е. "Ап езнша1е о1 йе беигеез о1 гпог1а1Иу о1 шапмпй Вгатчп !гоги спг!опз 1ашез о1 йе Ьггйз апб 1ппега!з а1 йе спу о1 Вгелац; т«гй ап апегпр1 1о азсег1а!п йе рг!се о1 апппИ!ез прон !!чез", Рйт!озорйнса! Тгапзоспопз о) йе Роу. Бос., 17, 596 — 6!О, 654 — 656, (!963).
(Интересно, что Галлей, будучи англичанином, тем не менее использовал данные по Бреслау (сейчас Вроцлав), который был тогда столицей Силезии, а не по Лондону или Дублину. Галлей использовал ежемесячные сведения о числе рождений и смертей в атом месте за период 1687 †16 гг., потому что считал, что влияние миграции населения, искажаюшее результаты, в Бреслау намного меньше.) 9. Парадокс закона больших чисел Бернулли а) История парадокса В математике найдется немного законов, которые столь же часто понимались превратно, как законы больших чисел.
(Не слишком широко известно даже то, что существует несколько законов больших чисел.) Первый закон больших чисел был доказан Якобом Бернулли (1664 — !706 гг.) в его книге, названной «Агз соп)ес1апг)1» («Искусство предположений»), которая была опубликована только после смерти автора в !713 г. Сам Бернулли не использовал понятия «закон больших чисел»; это название ввел Пуассон лишь в 1837 г. По закону Бернулли, если правильную монету бросают и раз и при этом /ч раз выпадает герб, то прн увеличении числа бросаний (и) отношение /ч/п (относительная частота выпадения герба) стремится к 1/2. Точнее, для произвольных положительных чисел г и 6 и достаточно большого п (зависящего от а и 6) величина !й/и — 1/2( меньше г с вероятностью, превосходящей 1 — 6.
Эта теорема вовсе не столь сложна, как можно было бы ожидать из-за большого числа ее неправильных трактовок и парадоксов, к которым она привела. Наиболее типичный парадокс приведен ниже. б) Парадокс Игроки часто уверены, что если правильная монета много раз падает гербом, то, согласно закону больших чисел, вероятность выпадения решки с необходимостью возрастает.
(В противном случае нарушалось бы то, что при очень большом числе бросаний выпадения герба и решки происходят приблизительно одинаково часто.) С другой стороны, у монет, очевидно, нет памяти, поэтому они не знают, сколько раз они уже выпадали гербом или решкой. По этой причине шансы выпадения герба при каждом бросании равны 1/2, даже если монета уже выпала гербом тысячу раз подряд. Не противоречит ли это закону Бернулли? в) Объяснение парадокса По закону Бернулли при очень большом числе бросаний герб выпадает приблизительно столько же раз, сколько и решка, но вся суть в том, что означает «приблизительно».
Игрок, который полагает, что разность между числом выпадений герба и числом появлений решки должна быть очень мала, ошибается, так как закон Бернулли утверждает лишь, что отношение числа выпадений герба к общему числу бросаний приближенно равно 1/2 (с вероятностью, близкой к 1) или, что то же самое, отношение числа выпадений герба к числу появлений решки приблизительно равно 1. Другими словами, разность логарифмов этих чисел стремится к 0 (при увеличении числа бросаний). Если бы разность самих чисел была мала, то это противоречило бы отсутствию памяти у монет.
г) Замечания (!) Теперь ясно, что, как бы долго мы ни наблюдали последовательное выпадение гербов, вероятность появления решки при следующем бросании все же не становится больше. Но возникает следуюший вопрос. Предположим, что монету бросают и раз. Какой максимальной длины серию из гербов мы можем ожидать? При п бросаниях, если и =100, можно ожидать серию в 6 — 7 гербов подряд, если и = 1000, можно ожидать 9— 10 гербов подряд, и 19 — 20 для я=10'.' Следующую теорему доказали Паул Эрдеш и Альфред Репьи. При бросании монеты п раз серия из гербов длины !оязп наблюдается с вероятностью, стремящейся к 1 при и-»оо.
Этот факт очень полезен, когда нужно решить, описывает ли последовательность, составленная из двух символов, результаты бросания монеты или кто-то ее придумал, «тщательно» избегая включения длинных серий. Из-за широко распространенного неправильного понимания закона больших чисел Бернулли многие люди не будут повторять один и тот же знак 7 или более раз подряд в последовательности из 100 знаков. (й) В силу предыдушего замечания чистые серии (состоящие только из гербов или решек) могут быть достаточно длинными. С другой стороны, легко посчитать, что ожидаемая длина 1-й, 2-й, 3-й и т. д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
