Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике (1990) (1151962), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Л. Чебышевым (1821 — 1894 гг.), в особенности А. М. Ляпунов (1867 — 1918 гг.) и А. А. Марков (1866 — 1922 гг.), получили всеобщее признание за свои работы по обобщению теоремы Муавра — Лапласа. Пусть Хг, Хз, ...— взаимно независимые случайные величины с одним и тем же распределением (т. е. с общей функцией распределения). Предположим, что у случайных величин существуют конечные математические ожидания и стандартные отклонения. Пусть М обозначает общее математическое ожидание и П— стандартное отклонение случайных величин Хг, Хг, ..., и пусть Я, = Х! + Хг+... + Х . Тогда !пп Р(Я„< пМ +хП~Уп) =Ф(х), л-в Это — центральная предельная теорема, наиболее важная из всех предельных теорем (из-за своей значимости она и была названа «центральной», так ее впервые назвал Джордж Пойа). В предельных теоремах, как правило, рассматриваются асимптотические распределения различных функций (например, суммы, произведения, максимума и т.
д.) от случайных аргументов. Центральная предельная теорема и ее обобщения объясняют, почему в природе нормальное распределение встречается так часто, особенно, в связи с величинами, которые составлены из многих («почти») одинаково распределенных («почти») независимых случайных компонент. Следует подчеркнуть, что в природе такие «композиции» из случайных величин не всегда образованы их суммой, поэтому изучение поведения других функций очень важно.
Пуанкаре как-то заметил с сарказмом, что все верят в универсальность нормального распределения: физики верят потому, что думают, что математики доказали его логическую необходимость, а математики верят, так как считают, что физики проверили это лабораторными экспериментами. д) Литература Гнеденко Б. В., Колмогоров А. Н. Предельные распределения для сумм независимых случайных величин. — М.-Л.; Гос. изй техн.-теоретич. литературы, 1949. Оз1гоимм Е. "Оп йе гепза)пбег 1егю о1 йе Ее Мог«ге — 1.ар!асс 1оппн)а (То йе 70!Ь Ыг!Ьбау о1 Еггяепе !.ггйасз) Ь Ледин. Мо)Ь., 20, 283 — 277, (!980) Петров В. В Суммы независимых случаипых величин.
— М: Наука, 1972. бгейе1у О. Л "А Пгп11 йеогет 1ог е1егпеп1агу зуюгпе16с ро1упоппа1» о1 йберепбеп! гапйип запаыез", 7. Ргайгзсье(пнсьйе!з!Ьеог(е оегге. оеа., 39, Збб †3, (1982). 11. Парадокс Бертрана а) История парадокса Жорж Бюффон (1707 — 1788 гг.), знаменитый французский ученый, в работе, написанной в 1733 г. (но опубликованной в 1777 г.), положил начало новому направлению в теории вероятностей. Решение знаменитой «задачи об игле», обсуждаемое в этой статье, потребовало использования скорее геометрического (а не комбинаторного) метода.
В задачах такого типа предполагается, что случайные точки равномерно распределены в некоторой области. (Например, попадания пуль в мишень.) Вероятность попадания в произвольную часть данной области пропорциональна ее площади (длине или объему). Таким образом, для вычисления вероятности нам лишь нужно найти отношение «благоприятной» площади ко «всей» площади (длине или объему). Вероятности такого типа приводят к ряду парадоксов.
Например, шанс поразить центр (или любую другую заданную точку) мишени равен, очевидно, О. С другой стороны, попасть в эту точку можно и, следовательно, мы должны различать события. происходящие с вероятностью О, и невозможные события (вероятность невозможного события равна О, но обратное неверно). Довольно странно выглядит также следующий факт: события «поразить по крайней мере одну точку из конечного множества точек» и «поразить лишь одну точку» имеют одинаковые вероятности. (Обе вероятности равны О. См. парадокс о нулевой вероятности.) Другая странность: взаимно однозначное преобразование может совершенно изменить шансы.
Например, если мы случайным образом выбираем точку на интервале (О, 1), то шансы выбрать число, которое меньше 1/2, равны 50 %. Однако если все числа из (О, 1) возвести в квадрат и равномерно выбирать из этих квадратов, то шансы увеличатся до 65,6 тю Конечно, первый ответ, т. е. 50%, более естественнен. Однако в других задачах выбор между естественным и неестественным ответами может оказаться более сложным. Выше уже отмечалось (в последнем замечании к первому парадоксу), что такой выбор не всегда возможен на основе лишь логических рассуждений без учета данных практики. Именно в этом суть следующего парадокса, опубликованного в книге «Исчисление вероятностей» ("Са!сп! без ргоЬаЫ11(ез") (1889 г.) Жозефа Луи Бертрана. б) Парадокс Для некоторой окружности случайным образом.
выбирается хорда. Найти вероятность того, что эта хорда длиннее стороны правильного треугольника, вписанного в данную окружность. Парадокс утверждает, что эта вероятность определяется неоднозначно, т. е. различные методы приводят к разным результатам. Первый метод: Случайным образом (равномерно) в данном круге выбирается точка. Эта случайная точка определяет единственную хорду, серединой которой она является. Эта хорда длиннее стороны нашего правильного треугольника тогда и только тогда, когда ее середина лежит внутри круга, вписанного в треугольник. Радиус этого круга равен половине радиуса исходного круга, следовательно площадь вписанного круга составляет 1/4 площади исходного. Таким образом, вероятность того, что случайно выбранная точка лежит внутри вписанного круга, равна 1/4.
Так что этот метод дает ответ 1/4. Второй метод: Исходя из соображений симметрии, можем считать, что одним концом хорды является произвольная фиксированная точка иа окружности. Пусть этой точкой является вершина вписанного Рис. 5. Три способа выбора спучаяиои хорды. треугольника. Выберем другой конец случайно с равномерным распределением. Вершины треугольника делят окружность на три равные дуги, и случайная хорда длиннее стороны правильного треугольника, если она пересекает этот треугольник. Так что искомая вероятность теперь равна 1/3. Третий метод: Выберем точку случайным образом равномерно на радиусе окружности и возьмем хорду, которая перпендикулярна этому радиусу и проходит через выбранную точку.
Тогда случайная хорда длиннее стороны вписанного правильного треугольника, если случайная точка лежит на той половине радиуса, которая ближе к центру. Исходя из соображений симметрии, неважно какой радиус был выбран для построения, поэтому искомая вероятность равна 1/2. е) Объяснение парадокса Получение разных результатов кажется парадоксальным, так как было убеждение„что слова «равномерный случайный выбор» однозначно определяют искомую вероятность. Парадокс показывает, что возможны различные способы выбора равномерным образом, причем каждый способ выглядит по-своему «естественным». Каждый из трех указанных выше методов использует равномерное распределение (в круге, на окружности и радиусе круга). По мнению Пуанкаре («Исчисление вероятностей» («Са!сц! без ргоЬаЬ1!1!ез»).
Париж, 1912 г.), если у нас нет никакой дополнительной информации, то следует воспользоваться третьим методом (где ответ был !/2), так как в этом случае имеем: если два множества хорд геометрически конгруэнтны, то с равными вероятностями случайно выбранная хорда будет принадлежать любому из этих множеств. Изучение инвариантности такого типа привело к очень интересному разделу математики, который называется интегральной геометрией. (Этот термин был введен Вильеельмом Бляшке в 1934 г.) Следующие требования инвариантности также приводят к вероятности !/2 (см.
Запев Е. Т. «ТЬе !Че!1-розеб ргоЫегп», гоинЛаболз о1 Рйуз1сз, 3, 477 — 493, (!973) ). Пусть 1? — радиус круга. Положение хорды определяется заданием полярных координат (г, 8) ее центра. Найдем ответ на более сложный, чем у Бертрана, вопрос: какова должна быть плотность вероятности )(г, 8)с(А =1'(г, 8) гбгО внутри круга? Поскольку распределение длины хорды зависит только от радиальной компоненты, 1(г, 8) =!'(г). Итак, проблема сведена к нахождению функции 1(г), нормированной согласно равенству ~ ~ !'(г)гЛгЛО= 1, т.
е. 2я ~1(г)гбг= !. о о а Инеариангность масштаба (т. е. инвариантность при изменении масштаба) приводит к уравнению ая а'1(аг)=2яг(г) ~ 1(и)иби, 0<а((1, 0((г(~)?. о Дифференцируя по а, полагая а = 1, и решая полученное дифференциальное уравнение, находим, что общее решение (удовлетворяющее перечисленным выше условиям нормировки) записывается в виде 1(г) = ог« -'/(2я)?~) где д — произвольная постоянная, которая не определяется точно условием инвариантности масштаба. Наконец, если мы сдвинем круг на расстояние Ь, то преобразование (г, 8) =>- (г', 0') задается соотношениями г'= !г — Ьсозб) и если г ) Ьс 0' = 0+ н, если г < Ь сов 8.
Инвариантность относительно сдвигов дает в = 1. Таким образом, в соответствии с третьим методом мы получаем )(г, 8)=(2пЛг), 0<с<Я, 0<0«'2н. Поскольку хорда, координаты середины которой (г, 8), имеет длину В =2()7' — г')и', функция плотности вероятности величины Х = 7./(2Я) равна х/(1 — х') па, 0 < х < 1, что согласуется с догадкой Бореля («Е!ешеп!з де 1а !Ьеог!е дез ргоЬаЬ!!!!ез», Париж, 1909 г.). г) Замечания (!) При обсуждении парадокса Бертрана мы рассмотрели три метода выбора случайной хорды, однако существует множество других столь же естественных методов. Например, если мы случайно выберем точку в заданном круге, затем проведем через зту точку хорду в произвольном направлении (угол, определяющий направление, равномерно распределен во всей области изменений угла и не зависит от выбора точки), то искомая вероятность равна 1/3+ С/3/(2н) = 0.609...
Неудивительно, что полученный результат больше 1/2, так как такой способ выбора чаще дает хорды большей длины. Еще большую вероятность (0.7449) мы получим, если случайная хорда получается соединением двух случайных точек на окружности.
Другой, менее естественный, метод выбора заключается в следующем. Проведем окружность (радиуса г) с тем же центром, что и исходная окружность (радиуса !т), и выберем случайную точку (равномерно распределенную) в круге радиуса г. Проведем прямую через эту точку в направлении, равномерно распределенном во всей области и не зависящем от выбранной точки, Вопрос заключается в следующем. Если прямая пересекает круг радиуса Р, то чему равна вероятность того, что хорда, образованная при пересечении прямой с кругом радиуса 1«, длиннее уже не раз упоминавшейся стороны правильного вписанного треугольника? Ответ получается просто. Если г возра- стает от г =]4/2 до г = оо, то нскомая вероятность убывает от 1 до 1/2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
