Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике (1990) (1151962), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

конец этого парадокса). Если кость неправильная (т. е. разные грани выпадают с разными вероятностями), то среднее число бросаний до появления одной и той же грани дважды или трижды будет меньше. Будем говорить, что кость 1 регулярней кости 11, если для появления одной и той же грани дважды (трижды) кость 1 нужно бросить большее число раз, чем кость П. Может оказаться, что для получения одной и той же грани два раза подряд потребуется в среднем больше бросаний кости 1, чем кости 11, однако для выпадения одной и той же грани трижды нужно большее число раз бросать кость П.

Следующий простой пример придуман Т. Мори. (См. также статью Шомоди А. «Об одном парадоксе, связанном с бросанием костей», Сб. Труды конференции молодых ученых Будапештского и Московского университетов. Будапешт, с. 76 — 83, !982.) Предположим, что грани кости 1 выпадают с вероятностями 0.03; 0.03; 0.19; 0.19; 0.28; 0.28 и соответствующие вероятности для кости П равны 0.04; 0.04; 0,17; 0.17; 0.29; 0.29.

Тогда кость 1 нужно бросить в среднем 5.41 раз и кость 11 — 5.47 раз для выпадения одной и той же грани два раза подряд. В то же время, если мы хотим получить одну и ту же грань три раза подряд, то кость 1 нужно в среднем бросать 22.54 раза, а кость П вЂ” 22.35, Этот парадокс показывает, что плохо определять «регулярность» кости так, как это сделали мы. (В общем случае можно доказать, что если некоторая грань появляется с положительной вероятностью р, то среднее число необходимых бросаний для получения этой грани и раз подряд равно т, = р — '+ +р-'+ ...

+р — ". Рассмотрим кость, грани которой появляются с вероятностями рь рь ., и пусть М» обозначает среднее число бросаний, необходимых для получения одной и той же грани й раз подряд Тогда М» ' = тир, + т»,'+ ... Если мы положим р~ = р» = ... = 1/6, то М» — — 7 и М»=43, как мы ужеотмечали,) з) Парадокс дня рождения Если собираются вместе не более, чем 365 человек, то возможно, что все они имеют различные днн рождения.

Однако среди 366 человек наверняка (100 " ) найдутся по крайней мере два таких, у которых днн рождения приходятся на один н тот же день в году. (Предположим, что мы здесь не рассматриваем високосные года.) Однако, если мы зададимся целью найти, сколько должно быть людей, чтобы с надежностью 99е два нз ннх имели один и тот же день рождения, то с удивлением обнаружим, что достаточно 55(!) человек. В то же время среди 68 человек с вероятностью 99.9 е по крайней мере два имеют одинаковый день рождения. Почти неправдоподобно, что такая малая разница между вероятностями 99 ~ н 100 7е может привести к столь большим различиям в числе людей.

Этот парадоксальный случай иллюстрирует одну нз главных причин, почему теория вероятностей применяется так широко. (Подобный феномен был рассмотрен в замечании (И) к!. 10). Обозначим через л число дней в году, и пусть х (< л)— число людей в группе. Тогда вероятность того, что никакие два человека в этой группе не имеют одинаковых дней рождения, равна п(л — 1) (и — 2) ... (л — х+ 1У(п". Следовательно, если л(п — 1)(л — 2) ... (л — х+1)/п"=1 — р, то р — вероятность того, что среди х людей найдутся имеющие один н тот же день рождения. Приближенное решение этого уравнения (при условии, что 0 < р < 1) равно х 'у'2п!п(1 — р) .

Следовательно, порядок величины х есть ~/л для любого значения р из открытого интервала (О, !). В то же время, если р = 1, то х = л+ 1. Обобщение проблемы дня рождения состоит в следующем. Вычислить нижнюю границу х так, что с вероятностью р в группе из х человек по крайней мере у и днн рождения приходятся на один и тот же день в году.

Ответом здесь является х = спм — шь, где с — постоянная, зависящая лишь от р н я (точнее с = (я! !п(1 — р) ')и'). и) Парадокс гербов и решек Предположим, что играя в гербы н решки, мы подбросили правильную монету 100 раз. Тогда, к нашему удивлению, вероятность события А = (выпало ровно 50 гербов) больше вероятности события В = (выпало по крайней мере 60 гербов). (Как мы отмечали в 1.

10, Р(А) — 8 е , а по теореме Муавра — Лапласа Р(В) =1 — Ф(2) ж 3 е . Вероятность выпадения по крайней мере 55 гербов возрастает до 16 в/в (приблизительио), что вдвое больше Р(А).] к) Ребро монегьг Обычно событие, состоящее в том, что монета встанет иа ребро, ие рассматривается, так как оио почти никогда ие происходит.

Найдем теперь размеры монеты, при которых с равными вероятностями (1/3) монета падает иа ребро, герб или решку. Для простоты рассмотрим монету в виде прямого цилиндра, у которого основания соответствуют гербу и решке, а боковая поверхиость — ребру монеты.

Если монета вращается вокруг оси, проходящей через центр моиеты и параллельной основаиию, то достаточно рассматривать сечение монеты, проходящее через центр и перпеидикуляриое обоим основаниям. Этим сечением является прямоугольиик. Проведем окружность вокруг этою прямоугольника и точку приземления выРис. 7. Котла монета встанет вв берем случайным образом иа ребро? этой окружности. Естественно считать, что монета упадет иа ребро с вероятностью, равной вероятности того, что радиус, соединяющий центр и случайную точку иа окружности, пересечет сторону прямоугольника, соответствующую боковой поверхности монеты.

В этой модели монета становится иа ребро с вероятностью 1/3, если отношение ее толщины к диаметру равно 1я 30' ж 0.577. Однако проблема ие сводится к задаче иа плоскости, если монета может вращаться свободно, точнее, если иа поверхности сферы, описанной вокруг монеты, случайно выбирается точка и мы предполагаем, что монета становится иа ребро, когда радиус, соединяющий эту случайную точку с цеитром, пересекает боковую поверхность монеты.

В этой модели выпадения герба, решки или вставание иа ребро равновероятны, если отношение толщины монеты к ее диаметру равно 0.354.... Безусловно, существуют и более реалистические модели. Самой поразительной из иих является та, где отношение, о котором говорилось выше, наименьшее (т. е. когда монета наиболее плоская). л) Парадокс Бореля Пусть случайная точка равномерно выбирается иа поверхиости шара (иапример, иа Земле, предполагая, что оиа — шар).

Вообще говоря, положение точки задается ее широтой и долготой. При данной широте долгота равномерно распределена, но при фиксированной долготе распределение широты не является равномерным. (Плотность этого распределения пропорциональна косинусу долготы.) Следовательно, плотность случайной точки не одинакова, когда она находится на гринвичском меридиане или на экваторе, хотя и грннвичский меридиан, и экватор являются большими окружностями на сфере, и поэтому их роль представляется одинаковой.

Следующая проблема представляет собой аналогичный парадокс. Пусть Х и У вЂ” две независимые случайные величины с Рис. 8. Хотя и экватор, и меридиан являются самыми длинными окружностями на глобусе, при вычислении условных вероятностей необходимо учитывать, что экватор онружен сферическими вонами, а меридиан — двухуголь- ными. нормальным распределением. Вектор (Х, У) можно рассматривать как случайную точку на плоскости. Пусть гх и ~р — ее полярные координаты. Предполагая, что Х = У, получим, что распределение гхх =2Хх совпадает с распределением квадрата стандартной случайной величины, умноженного на 2. В то же время, при условии, что !р = и/4 илн гр = бп/4, распределение случайной величины )Р = Х'+ Ух то же, что и суммы квадратов двух независимых стандартных нормальных случайных величин (так как гг и гр независимы).

Следовательно, для гг' мы получили совершенно различные распределения, когда Х = У и когда гр = =и/4 или гр = ба/4, что кажется парадоксальным потому, что оба условия означают одно и то же, только в первом случае условие сформулировано в обычных координатах, а во втором случае — в полярных. (Литл Вгшпяа1еу Р.

Ргобам!!!у апл Меохпге, У!111еу, Ыем Уогй — Си!- сьев!ег — Впяьапе — Тогоп1о, 1979.) м) Парадокс условных распределений Пусть Х и У вЂ” случайные величины и !(х, у) — функция двух переменных такая, что прн любом фиксированном у величина /(Х, у) не зависит от У, Справедливо ли, что в этом случае ЦХ, У) также не зависит от УР Следующий простой пример показывает, что ответ отрицательный. Пусть Х= У и Х равномерно распределена на интервале (О, 1). Предположим, что 7(х, у) = = у, если х = у и 7(х, у) = 0 в противном случае.

Тогда 7"(Х, у) тождественно равна 0 (с вероятностью 1), следовательно она не зависит от У, однако 1(Х, У) = У, очевидно, от У зависит. (Лнтг Рог!шво (Ч. О., %(сьнгв М. Я. ЧА оо!е оо воЬвщнноп 1и соой!!опв! йз!г!Ьн!!он", Аала1з о( $!а!М(., 3, !!75 — 1179, (1975).) и) Как играть а проигрышную игру Предположим, что в некоторой игре число испытаний (и) всегда четно. Первый игрок А выигрывает очко с вероятностью р = 0.45; для В эта вероятность р = 0.55. Чтобы выиграть игру, игрок должен набрать больше половины всех очков.

Характеристики

Список файлов книги