Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике (1990) (1151962), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Если у А есть возможность выбирать число и, то, как ни странно, и = 2 не является лучшим выбором. (Это будет лучшим выбором, когда р очень мало, точнее, когда р меньше 1/3). Если р =0.45 и л = 2, то вероятность выигрыша для А равна всего лишь 0.45з= =0.2025. Если же испытаний будет больше, то А окажется в лучшей ситуации. Легко доказать, что оптимальным является выбор а=10. Такой результат на первый взгляд противоречит общему «принципу»: чем раньше мы прекратим проигрышную игру, тем лучше. Предположим, например, что нам нужно 20 долларов, а у нас есть только 1О. Мы собираемся получить недостающую сумму, сыграв в рулетку.
Поскольку рулетка— это проигрышная игра, рекомендуется сделать наименьшее возможное число попыток, т. е. мы должны поставить сразу все наши деньги, например, на «красное». В этом случае шансы выиграть равны 18/38 (в американской рулетке есть два нуля: 0 и 00). С другой стороны, если мы каждый раз будем ставить лишь по одному доллару, то достигнем своей цели с вероятностью 0.11, Более подробную информацию можно найти в книге )лпЫпз 1..
Е., Бачаие 1.. Я. Нотч 1о батЫе Н уоп Миз1, (ь(етч 'хог(с, Мсбгаьч-Н(И, 1965. (Лнт: Моз1енсг Г. Рб!д Сl~ацеоягая. Ргоыетз (л РгоЬаьи(!у шил Яо!миллз, йсайоя, Абб(зон-%ез1су, 1955. (Имеется перевод: Мостсллер Ф. Пятьдесят звннмвтсльных вероятностных задач с решениями. — Мл Наука, 1955.)) о) Парадокс страхования Клиент, который владеет собственностью У, хочет застраховать часть ЬУ(0 (6 < 1) своей собственности от возможного неблагоприятного события, которое происходит ежегодно с вероятностью р. Ежегодный страховой взнос составляет гУ(0 < < с < 1) .
Страхование выгодно страховой компании лишь тогда, когда ожидаемая прибыль положительна, т. е. когда с больше рЬ. Почему все же клиенты страхуют имущество, если они знают, что страхование выгодно для компании, л не для них? Предположим, что клиент застраховал имущество и платил деньги в течение и лет, но страховой компании ни разу не пришлось выплачивать страховку. Тогда начальная собственность клиента (У) уменьшится до величины У(1 — с)". А что было бы, если клиент не застраховался? Пусть Х» обозначает случайную величину, которая равна 1, если клиент понес убытки в й-м году, и Х» = 0 в противном случае.
Тогда величина собственности в (й + 1)-м году равна У»ы = У»(1 — ЬХ,м)), следовательно, спустя л лет, имеем » т» У„= У Ц (1 — ЬХ») = У ехр ~ ~ 1п (1 — ЬХ»)~. » ! »! Поскольку ожидаемое значение величины !п(1 — ЬХ») равно р!и(! — Ь), с большой вероятностью получаем У „= У ехр (нр! п (1 — Ь)) = У (1 — Ь)" ». Таким образом, страхование выгодно для клиента, когда У(1— — Ь)»» меньше, чем У(1 — с)", т. е. (используя разложение в степенной ряд), когда с меньше, чем Ь+ л(! л! Ь»+ л(! Р)(2 'л! ьз 2 б Это означает, что страхование выгодно, как для клиента, так и для компаний, если с больше рЬ, но меньше, чем указанная выше сумма, Легко видеть, что, чем меньше Ь (т. е.
чем меньшая часть собственности страхуется), тем меньше свободы в выборе величины с, т. е. возможность компромисса уменьшается. (В некотором смысле участие в лотерее также представляет собой вид страхования. Предположим, что некто всегда ставил на одни и те же числа, а спустя некоторое время перестал участвовать в лотерее и в этот раз «его» числа выиграли.
Тогда этот некто возможно скончается от удара. С такой точки зрения цена лотерейного билета представляется недорогой. Совершенно другая ситуация в футбольных пулах, так как в них редко кто всегда ставит на одну и ту же комбинацию и поэтому неясно, что теряет такой человек, не участвуя в игре.). н) Абсурдные результаты Льюис Кзррол Закончим серию парадоксов абсурдными результатами и софизмами. Приведем эти результаты совместно с их ошибочными выводами, однако для того, чтобы найти ошибки потребуется поломать голову. Знаменитый писатель Льюис Кэррол был большим любителем нелепостей и в математике, и в литературе.
(В работе «Абсурдная литература» («Тпе АЬзпгд 1.!!ега(пге») Никола Балоте рассматривает Кэррола как главного предвестника современного абсурда.) В последние 10 лет жизни Кэррола привлекали абсурдные математические выводы (см. собрание «Спшоза Ма(петипа!!са» 1888 г. или статью о Разуме, опубликованную в апреле 1895 г,). В работе Кэррола «Проблемы на подушке» («Р!!!от« Ггоо!ешз», 1894 г.) можно найти следуюший абсурдный результат. В мешке находятся два шара, которые могут быть либо красными, либо белыми.
Попробуем отгадать их цвет, не заглядывая в мешок. Согласно Кэрролу единственно правильный ответ заключается в том, что один из них красный, а другой белый. Он объясняет это следуюшим образом. Когда в мешке находятся 2 красных (1«) шара и 1 белый ((»'), вероятность вытащить красный шар равна 2/3. С другой стороны, если в мешке было 3 шара и вероятность вынуть красный шар равнялась 2/3, то в мешке находились 2 шара Я н 1ЯГ. Теперь положим шар !2 в мешок, который первоначально содержал только два шара.
В этом случае существуют четыре равновозможных (1/4) комбинации шаров: )?)?)?, )?Ф)г, И)?Ф' и )?ФВ'. Если на самом деле имеет место первая комбинация, то вероятность вынуть шар )? равна 1, для второй и третьей комбинаций эта вероятность равна 2/3 и для последней комбинации равна 1/4. Следовательно, вероятность вынуть шар !? равна 1 !/4+2/3 1/4+2/3 1/4+!/3 1/4=2/3. Таким образом, в мешке должны быть 2 шара !? и 1 шар яУ, следовательно, перед тем, как мы положили в мешок шар )?, в нем должен быть ! шар )? и 1 шар ЯУ.
Этот результат, очевидно, абсурден, так что его вывод должен быть ошибочным. Но в чем ошибка? Следующие рассуждения также приводят к абсурдным результатам. Двое из трех заключенных, обозначаемых А, В и С, будут казнены. Они это знают, но не могут догадаться, кому же из них повезет.
А рассуждает: «Вероятность, что меня не казнят, равна 1/3. Если я попрошу охранника назвать имя (отличное от моего) одного нз двух заключенных, которых казнят, то тогда останется только две возможности. Либо другой, кого казнят, это я, либо нет, и поэтому шансы, что я выживу, увеличатся до 1/2». Однако также справедливо, что уже перед тем, как А спросит охранника, он знает, что одного из его компаньонов наверняка казнят, так что охранник не сообщит А никакой новой информации относительно его судьбы.
Почему тогда вероятность казни изменилась? (Ответ очень прост: вероятность совсем не изменилась, она осталась равной 1/3. Заключенный упустил из виду, что охранник называет, например, В с вероятностью 1/2, если собираются казнить В н С, но эта вероятность равна 1, когда жертвами являются А и В. Следовательно, на самом деле шансы для А избежать казни равны отношению вероятности в последнем случае к сумме вероятностей в обоих случаях: 1/б(!/б + 1/3) = = 1/3.) ГЛАВА и ПАРАДОКСЫ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ Сгвтвсгякв — это фязккв чисел. П. Два«алис Все самое ввжвое раньше сказал тот, кто этого яе понял.
А. Н. Уайглед Если кто-то способен предсказать, чем закончатся его всследовеквя, го вгв проблема ке очень глубока в, можно сказать, практически не существует. А. Шильд Первоначально статистика была «государственной арифметикой». (Слово «статистика» происходит от латинского слова з1аГиэ — государство.) С древнейших времен статистику использовали для того, чтобы информировать правителей стран о величине налога, который можно собрать с их подданных, или о числе солдат, на которое можно рассчитывать в военное время.
В Китае учет населения проводился более четырех тысяч лет назад. Согласно Библии, Моисей также подсчитывал всех мужчин своего народа старше 20 лет. Их оказалось 603 550 человек. Четвертая книга Моисея (Числа) содержит множество других результатов подсчета людей, однако они кажутся преувеличенными, так же как и данные Афинея о числе рабов в греческих полисах во времена Римской империи. Весьма сомнительно, чтобы в Афинах было 400000 рабов, а в Коринфе — 460000. Неясно, как получены эти данные, но точно известно, что согласно результатам учета населения Рим был первым городом с населением более миллиона жителей. Первый английский статистический документ «Книга судного дня», написанный в Х! веке, также возник в связи с потребностями армии и налогообложения.
По этой причине при переписи населения женщины не учитывались вплоть до недавнего времени. Статистика стала наукой лишь в ХчГП веке. Ее основоположниками являются Джон Граунт (1620 — 1674 гг.) и сэр Уильям Петти (1623 — 1687 гг.). В книге Граунта «Естественные и политические наблюдения, сделанные над бюллетенями смертности» (1662 г.) исследовались вопросы народонаселения. В 1669 г. Гюйгенс на основе данных Граунта опубликовал таблицы смертности. В книгах Петти «Трактат о налогах» (1662 г.) и «Наблюдения над дублинскими записями смертности» (1681 г.) также использовались результаты и идеи Грауита. В работе Петти «Политическая арифметика», опубликованной в 1689 г. после смерти автора, Англия, Голландия и Франция сравниваются по их населению, торговле и судоходству.
Термин «политическая арифметика» можно считать предвестником слова «статистика». С развитием капитализма статистическими данными стали интересоваться не только государственные деятели, но и капиталисты. Для обработки данных использовались все более сложные математические методы, при этом увеличивалась и' выгода от их применения, например, в страховом деле. Компания Ллойда, одна из крупнейших страховых компаний в мире, была основана в ХЧ11 веке н занимала в то время лишь кофейню на Тауэр-стрит в Лондоне.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
