Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике (1990) (1151962), страница 18
Текст из файла (страница 18)
«Объективная вероятность» является всего лишь попыткой выделить и материализовать наши вероятностные представления. По мнению Финетти любое событие (например, завтра пойдет дождь) либо произойдет, либо не произойдет (это объективно), и, опираясь на доступную информацию, мы можем посчитать «субъективную» вероятность события.
Индивидуальная или субъективная вероятность отражает степень нашей уверенности в том, что событие произойдет. Мы можем говорить о субъективной вероятности, даже если «случайность» не объективна. Однако необходимо подчеркнуть, что значительно ббльшая часть ученых утверждает, что объективная случайность и объективная вероятность существуют.
Они убеждены в том, что объективные вероятности будущих событий заложены в современном состоянии мира. Так понимал объективное существование вероятности лауреат Нобелевской премии Макс Борн, который известен тем, что ввел объективную вероятность в квантовую физикуа) д) Литература Вауез Т, "Ап етау 1о»чагбз ьо!ч!па а ргоыещ )п йе бос1ппе о1 сьапсеь", 1763, дерг!п1: Вютеынеа, 45, 293 — 315, (1958). Вегкзоп Л. "Му епсоип1ег члй пео-Вауеь!ап!юп", гл!егла!. 5!апя!. )7ео., 45, 1 — 9, (1977). Вогй М. Вагита! Рлпояорлу о) Санге ала Сьалсе, Вючег, Нет Уогх, 1964. йачЫ А.
Р., 5!опе М., 2!бек Л Н. "Мага!панханоп рагабохез !п Вауеюап апб Мгис1ига! !п(егепсе", I. )7оу. В!она!. Яос., Бег. В., 35, !89 — 233, (!973). Регяизоп Т, 5, Магнетансо! Я!апяпся, А йес!ягол Тьеогег!с Арргоасл., Асабепнс Ргеьь, Ыем Уогх — Ьопбоп, 1967 бе Нпеш В. Тьеог!е йеНе РгоааЫИ!а, Е(паибй Тапио, !970. бе Р!пеш В. "Вауеь!ап(ьт", ул!егла!. 5!а!М! )(ео., 42, ! 17 — 130, (1974). Ргеейпап В. Р. "Оп йе аьутр1онс ЬеЬач!ог о1 Вауеь' езнгпа1ез )п йе бвсгее1е саье", Алла!ь о! Май. В!пня!., 34, !386 — !403, (1963). Нонапб !. )).
"ТЬе гечегепб Тьогпаь Вауез Р. Р. 5. (! 762 — ! 761)", А )7оу. В!она!. Вос. (А), 125, 451 — 461, (!962). !Апб!еу В. Н. "ТЬе изе о1 ргюг ргоьаь!1!!у бинг!Ьинопь 1п ь1апьцса) )п(егепсе апб бес)яоп", Ргос. 4М Вегас!еу Вутр, ол Май. 5!а!М!М!. ат! Ргоб., 1, 453 — 468, (1968). ') грлогистон, по представлению химиков конца ХН1! — начала ХНИ! века, — гипотетическая составная часть веществ, которую они якобы теряют прн горении и обжиге.
Гипотеза флогистона опровергнута трудами А. Лавуазье. (Советскиа энциклопедический словарь). — Прим. перев. ь) См. также статью А. Н. Колмогорова «Вероятность» в «Математическом энциклопедическолг словаре» (Мл Сов. энциклопедия, 1988).— Прим. перев. Ь)п6!еу О. У. «ТЬе !о1пге о1 в1в1еййв — в Ввуев)вп 21й сеп1огу", Айса«сев гл Арр!. Ргоь., 106 †1, (1975). Ып61еу О.
Ч. «А ргоыев !п (огепяс вс!епсе", Вгояв1пда, 64, 207 — 2!3, (1977). )нп61еу О. У. "ТЬе Ввуев(еп вррговсЬ", Всалй. А 51айвг., 5, 1 — 26, (1978), (згс$ ро!п1: Мвгшпв1йв(йп рвгв6охев.) Ревгвоп Е. 5. (ед.) Тйе Н(в!осу о( 51айвйсв (л Ме 17М алй !8йл Сел- 1«пев Ауа!«в1 Ме Сап«углу Вас«угоила о) 1л!енес!иа1, 5пе«!Ц!с алй лвйуюив ТИоикй1, Ьес!осев Ьу К. Реегвоп 6!чеп в1 Оп!евгену Со)!еке Ьопбоп Ппг!пя йе всапегп)с вевяопв 1921 — 1933. Опк!п, Ьоп6оп, (1978).
Рппк О. Пес!пол Тйвогейс Рагааохвв (л Оесагол Мааглу илйег (7«свг!апау (ей Н. УУ. 5Ьонх). Еыенег, 375 — 383, (1983). 5ечеке 1.. !. Тйе (оилйайолв о) 8!айвйсв, Оочеб Ыетч Уогх, (!972). 51опе М., 5рг!пкег В. О. Г. "А рвгвдох !пчо!ч!пк Човв! Рпог 6(в!г!ЬпПопв", Вшгле!паа, 52, 623 — 627, (1965). 5)чв1сг Сг. "о(пп)еу'в рвгваох", 1. Аглвг. 5!пав!.
Алсос., 77, 325 — 334, (1982). 2. Парадокс оценок математического ожидания а) История парадокса Уравнивание противоположных значений и отклонений в «среднем», т. е, суммирование наблюдений в одно значение имеет давние традиции. Эсхил писал в трагедии «Эвмениды»; «Богу всегда середина любезна, и меру чтит божество», '! а последователи китайского философа Конфуция говорят, что «в неподвижности среднего (и Чжун Июн) есть величайшее совершенство». Математически понятие «среднего» можно интерпретировать различными способами (арифметическое среднее, геометрическое среднее, медиана и т. д.).
Однако в статистических применениях в течение долгого времени крайне важную роль играло арифметическое среднее. Уже в первых выдающихся результатах в теории вероятностей и математической статистике изучалось арифметическое среднее статистической выборки и росло понимание важности его использования. Рассмотрим множество (Ре), В вц (), вероятностных распределений с конечным математическим ожиданием, где параметр В как раз и является математическим ожиданием распределения св Мы хотим оценить значение независимого параметра В, опираясь на наблюденные значения (т. е. выборку) Х!, Хь ..., Х„ (предполагается, что элементы выборки Х, являются независимыми случайными величинами с распределением ре. Лрифметичсскос среднее Х Х~ + Хв + ...
+ Х« л ') Эсхил, Трагедии. Пер. с древнегреческого С. Апта. — Мс Искусство, ! 978 — Поим, перев. как оценка параметра О, обладает многими достоинствами, например, она всегда несмещена, т. е. Е(0)= 0 при всех Вен 9 (другими словами оценка колеблется около истинного значения). Законы больших чисел утверждают, что оценка 0 = Х состоятельна, т. е. для любого е ) О 1! гп р (1 0 — В 1( а) = ! для всех В ен 9, И+ поэтому ошибку оценивання можно сделать как угодно малой, взяв достаточно большую выборку.
Однако может существовать много несмешенных состоятельных оценок параметра, тогда (среди них) целесообразно отдать предпочтение оценкам с меньшей дисперсией. Парадоксы здесь показывают, что (за исключением случая нормальных распределений) арифметическое среднее выборки не является несмещенной оценкой математического ожидания с наименьшей дисперсией.
Более того, если мы не настаиваем на свойстве несмешенности, то даже в случае многомерных нормальных распределений не всегда полезно оценивать математическое ожидание выборочным средним, так как эта оценка не является допустимой для квадратичной функции потерь. (Определение допустимой оценки см.
в замечании (й) парадокса 1. 12). Аналогичный парадокс будет рассмотрен далее в этой главе (параграф 13 п, д). б) Парадоксы (1) (Каган — Линник — Рао) Пусть Р(х) — цроизвольная функция распределения с нулевым средним и конечным стандартным отклонением и пусть Ра(х) =Р(х — О), где параметр О может принимать произвольные действительные значения. Если элементы выборки Хь Хм ..., Х„являются случайными величинами с распределением Ра, то выборочное среднее Х дает состоятельную и несмещенную оценку неизвестного параметра 0 (который, очевидно, равен математическому ожиданию распределения Ра).
Однако оценка Х не очень эффективна (за исключением случая нормального распределения); для любого и ) 2 существует несмещенная оценка, стандартное отклонение которой меньшс стандартного отклонения величины Х (точнее, для всех О ее стандартное отклонение по крайней мере столь же мало, как и у Х, н по крайней мере для одного О оно строго меньше). (Б) (К. Стайн) Х дает «образцовую» оценку для математического ожидания нормального распределения: Х является несмещенной состоятельной оценкой с минимальной дисперсией, допустимой при квадратичной функции потерь Ь(0, е) = = (Π— с)з, а также — минимаксной оценкой. Именно поэтому открытие К. Стейна, сделанное более 20 лет назад и утверждающее, что в случае многомерных нормальных распределений оценка К не является допустимой, явилось сюрпризом.
Точнее, рассмотрим вероятностные распределения, определенные на ймерном евклидовом пространстве, координаты которых (для простоты) независимы и имеют нормальное распределение е)(0, о), причем стандартное отклонение о известно. Мы ищем допустимую оценку вектора 0= (Оь Оь, Оь); при которой квадратичная функция потерь т (О, 0)=1(0 — 011'= Е(0~ — О) минимальна в среднем. Тогда вектор 0 = Х (т. с. в-мерный вектор выборочного среднего) является допустимой оценкой только в одно- и двумерном пространствах и не является таковым в пространствах более высокой размерности (хотя минимаксное свойство Х сохраняется). Открытие Стейна показывает, что даже тогда, когда рассматривается классическая проблема оценивания (т. е.
оценка математического ожидания нормального распределения), Х вЂ” это не единственная оценка, которую следует принимать во внимание. в) Объяснение парадокса (!) Интересный результат Кагана, Линника и Рао требует скорее доказательства, чем пояснений. Но вместо доказательства мы изложим метод построения асимптотически оптимальных оценок. Прежде всего, рассмотрим в качестве примера функцию равномерного распределения г" (х) на интервале ( — с, с) (где с — произвольное положительное число) и пусть ге(х) = г(х — О).
Тогда 0'(Х) = сз/Зл. Если Х; = ппп Х, и Х„'= =гпахХп т. е, Х; — наименьший и Х'„— наибольший элементы выборки (они оба определяются однозначно с вероятностью 1, так как распределение непрерывно), то К~+ К„Х( 2с 0т (':) 2 / (и+!) (л+ 2) что при больших и намного меньше, чем х)з(Х). Поскольку полусумма (Х;+ Х')(2 также является несмещенной и состоятельной оценкой параметра О, она предпочтительнее по сравнению с «обычной» оценкой Х. Перейдем к общему случаю. Пусть Х;(Х;(...
(Х1 есть упорядоченнал выборка (т. е. Х; является наименьшим элементом из Хь Хь ..., Х„и т. д.) и « Х= ~, аыХ;., где аы (( = 1, 2, ..., п; п = 1, 2, ...) суть действительные числа, зависящие от Г. Можно показать, что при выполнении некоторых слабых условий выбор величин авп указанный ниже, приводит к несмещенной оценке параметра 0 с минимальной (по крайней мере асимптотически при п-эоо) дисперсией.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
