Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике (1990) (1151962), страница 10
Текст из файла (страница 10)
чистой серии всегда равна 2. Если же монета несимметрична и вероятность выпадения герба равна 0 С р ( 1, то ожидаемая длина 1-й, З-й,... (каждой нечетной) серии равна р/д+д/р, а ожидаемая длина 2-й, 4-й,... (каждой четной) чистой серии всегда равна 2 (независимо от Р(1)). Сумма Р/4+ д/р не может быть меньше 2; это означает, что нечетные серии по крайней мере не короче четных. Этот факт вовсе неудивителен, потому что при первом бросании монета скорее всего выпадет более вероятной стороной.
Таким образом, первая серия имеет больше шансов быть длинной, чем короткой, так что она в среднем будет длинной или по крайней мере длиннее второй серии, ожидаемая длина которой равна всего лишь 2. Удивительно же то, что ожидаемая длина четных серий не зависит от р. (ш) Закон больших чисел Бернулли можно кратко выразить с помощью понятия сходимосги по вероятности. Говорят, что последовательность случайных величин Хь Х„ ... сходится по вероятности к случайной величине Х, если вероятность события (Х вЂ” Х() з сходится к нулю для любого положительного е, т. е. если Р((Մ— Х() е) — »О.
(Парадоксально, но может случиться так, что последовательность случайных величин Х„Хм ... сходится по вероятности к О, а последовательность (Х~+ Хз+...+Х„)/п нет.) Закон Бернулли утверждает, что относительная частота я/п события сходится по вероятности к вероятности этого события. Для доказательства сходимости по вероятности обычно используют неравенство Чебышева— Вьенеме, согласно которому, если Š— математическое ожидание случайной величины Х и //з — ее дисперсия, то Р((Х вЂ” Е(~а)(У(зг Интересно, что русский ученый П. Л.
Чебышев и французский ученый Ж. Бьенеме опубликовали свои неравенства, которые они открыли независимо друг от друга, в одном и том же номере французского журнала (Е Ма!//. Ригез е! Арр!. ХП. 1867). Из этого неравенства сразу следует, что если распределения независимых случайных величин Хь Хь ... одинаковы и их дисперсия 0' конечна, то арифметическое среднее (Х, + Хз + ... + Х„ /и сходится по вероятности к общему математическому ожиданию величин Х/ (дисперсия арифметического среднего равна Рз)п и стремится к О при и-~-оо).
Это есть один из общих (слабых) законов больших чисел. В слабых законах больших чисел речь идет о сходимости по вероятности, а в сильных законах больших чисел устанавливается сходимость с вероятностью 1. Следующее замечание относится к сильным законам больших чисел. (1ч) Среди сильных законов больших чисел наиболее известна теорема Колмогорова: если Хь Хв...— взаимно независимые случайные величины с одинаковой функцией распределения, имеющей (общее) конечное математическое ожидание Е, то арифметическое среднее (Х/ + Хз + ... + Х„)~п сходится к Е при а-~ оо с вероятностью 1.
Если случайные величины положительны и о„обозначает элементарный сим- Я) метричиый многочлен Х / < / ~ < /р < ° " < /з < а то также сходится к Е (с вероятностью 1), где з=й(н) — натуральное число такое, что й(а-~О при и -~ оо. С вероятностью ! также существует предел даже в том случае, когда й/а стремится к некоторому положительному числу с. Тогда пределом будет постоянная, зависящая от с (если О ( с С 1, то достаточно предполагать, что конечно математическое ожидание величины 1оп(1+ Х;), и то же самое предполагаем относительно !1оцХ/), если с=1, см. статью Холаса и Секея).
Проблема значительно усложняется, если случайные величины могут принимать как отрицательные, так и положительные значения. (ч) «Закон больших чисел» неверен в смысле категории (см. статью Мендеза). е) Литература Егбов Р., Репу! А. "Оп а печк 1акч о1 1агдс пптьегв", Хоиг. Али!увс МиИстонуис, 23, 103 — 111, (1970). Егбов Р., Еечекв Р. "Оп йс !епдй о1 йе 1опдеи Ьеаб-гпп", Соц Мий. Вос. А Во1уоь 16 (еб. Сизкаг, !., Е16аь Р ) (1976).
На1авг О., зксйе!у О 3. "Оп йе с!етеп1агу вуттс1пс ро(упоппа1з о1 йберепбеп( заплот чапаЫсз", Ас1с Могй. Асей Всь Уилд., 28, 397 — 400, (1976). Кот)бв 3 "А депагапканоп о( а ргоЫетз о( 6(с!пьапз", Ас1о Мой. Асий. Вс1. Ниле., !8, 217 — 229, 1967. Мепбск С. О. "Оп йс !ачч о1 (агдс птпЬсгв, (пнпце датов, апб са1сдогу", 1йе Атепсол МоИ. МолИ1у, 88, 40 — 41, (1981). Мог! Т. К, засаде)у О.
Л. "Азуп1р1онс Ьсьачзопг о( вупппс1пс роппот)а( з1а()з((сз", Алло!з о) Ргойомпзу, 16, 124 — 131, 1982. Мбп' Т. Р., зкейе)у О. 3. "Авутр1опс (пбсрепбспсс о1 "рпкс-Ьсаб'* з(ор. р(пд 1)тсв", 31аазисз или Ргойлйапу 1е!1сгз, 2, 6 — 8, 1984. Двчсзк Р. 7йе йота о1 согде Нитйесз, Айабет!а) К(абб, Впбарсз1, 1967.
10. Парадокс де Муавра; экономия энергии а) История парадокса Одной из выдающихся фигур в теории вероятностей является Абрахам де Муавр (1667 — 1754 гг.) . Этот математик, родившийся во Франции, после отмены Нантского эдикта (который предоставлял гугенотам свободу вероисповедания) переехал в Англию. Там в 1718 г. была опубликована его основная работа «Доктрина шансов» («Тйе 13ос1г)пе о1 Сйапсез») В 3-м издании втой книги (1756 г.) де Муавр так писал о своем открытии мирового значения (о котором он сообщил некоторым друзьям еще в 1733 г,), содержащем в себе намного больше, чем закон больших чисел Бернулли: «...Возьму на себя смелость утверждать, что зто труднейшая проблема о случайном...». Без сомнения, открытое де Муавром нормальное распределение, стало краеугольным камнем науки о случайном. (Де Муавр, как зто ни странно, не включил свое открытие ио 2-е издание книги в 1738 г.).
б) Парадокс Согласно закону больших чисел Бернулли, вероятность того, что при бросании монеты число выпадений герба приблизительно равно числу появившихся решек, стремится к 1 при увеличении числа бросаний (приближенное равенство чисел означает, что их отношение стремится к 1). С другой стороны, вероят- ность того, что число гербов будет в точности равно числу решек, стремится к нулю. Например, при 6 бросаниях монеты вероятность выпадения 3 гербов равна 5/16; при 100 бросаниях вероятность выпадения 50 гербов равна 8 %; при 1000-бросаний вероятность выпадения 500 гербов составляет менее 2 с/». В общем случае, когда монету бросают 2п раз, вероятность того, что !2п 1 герб выпадает ровно и раз, равна р=( /2 ~, и для доста~пу точно больших и вероятность р приближенно равняется 1/1/ли, что действительно стремится к нулю с ростом и.
Суммируем сказанное: вероятность того, что число гербов приближенно равно числу решек, стремится к 1: в то же время вероятность того, что число гербов в точности совпадает с числом решек, стремится к О, Разрыв между этими двумя фактами был окружен «атмосферой парадоксальности» до тех пор, пока де Муавр не построил над ним математический мост.
в) Объяснение парадокса Пусть Н, и Т, обозначают число выпадений герба и решки соответственно при п бросаниях монеты. Согласно закону больших чисел Бернулли, вероятность того, что разность ̈́— Т„становится пренебрежимо малой по сравнению с и, стремится к 1 (что совсем неудивительно). Однако де Муавр заметил, что величина ~1̈́— Т„( не является пренебрежимо малой по сравнению с ~/и. Он вычислил, например, что для и = 3600 вероятность того, что ~1̈́— Т 1 не превосходит 60, равна 0.682688.... Пусть х — произвольное положительное число, и пусть А„(х) обозначает вероятность того, что )̈́— Т„)(х 1/и.
Согласно де Муавру, Ал(х) стремится с ростом п к величине А (х), заключенной между 0 и 1. При увеличении х от нуля до бесконечности А(х) также постоянно возрастает от нуля до единицы (см. замечание (!)). Эта функция А(х) и есть тот математический мост, о котором говорилось выше. Для нахождения А(х) де Муавр использовал формулу Стирлинга, которую он открыл независимо от Стирлинга.
(Формула Джеймса Сгирлинга была доказана в 1730 г., она утверждает, что и! приблизительно равняется ~/2ли (и/е)".) г) Замечания (1) Точный вид функции А(х) следующий: к А(х) =~/2/л ~ е-ичгпи а Используя эту формулу, теорему Муавра можно записать в следующем виде )пп Р(1̈́— Т„)<х~/и)=А(х), если х) О, или !пп Р(̈́— Т„< храп) = Ф(х), л-ье где Ф(х) == ~ е-апас(и.
! ~йл Говорят, что случайная величина, которая принимает значения, не превосходящие х, с вероятностью Ф(х) (где х — произвольное действительное число), подчиняется стандартному нормальному распределению. В силу результата де Муавра величина 05 О -з -г -! а ! г з х Рнс. 3. Стандартная нормальная функция распределення. (Н„ — Т„)/ ~/и приблизительно подчиняется стандартному нормальному распределению (если п достаточно велико). (В табл. 1 в конце книги приведены значения функции Ф (хЦ (1!) Поскольку Н + Т =и, указанный выше результат можно сформулировать следующим образом: 11ш (Н„< и/2+ х ~/п/2) = Ф(х).
Де Муавр также исследовал случай, когда у монеты смещен центр (монета несимметрична) и герб выпадает с вероятностью р, а решетка — с вероятностью 1 — р. Тогда справедливо соотношение 11ш Р (Н„< пр + х я/и р (! — Р) ) = Ф (х), я-ь оэ известное под названием «предельная теорема Муавра — Лапласа». Эту теорему можно широко использовать в различных областях при планировании, например прн планировании расхода энергии.
Пример. Рассмотрим 300 одинаковых станков на фабрике. Если в среднем 70 47в станков работают и 30 5 находятся в ремонте, то нужно обеспечить энергией в среднем 210 станков. Од- леа тема тичеслее ожидание Рвс. 4. Нормальная плотность вероятности. пако иногда могут работать все 300 станков.
Каким количеством энергии нужно обеспечить фабрику, чтобы с вероятностью 99.9 тв все исправные станки могли работать? (Предполагается, что станки выходят из строя независимо друг от друга.) В приведенной выше формуле О„теперь означает число работающих станков, а=300 и р= 0.7. По табл. 1 для х=3 находим Ф(х) ю 0.999. Для этих значений имеем ар+ х 1/пр(1 — р) = =210+3 т/03, так что достаточно принимать во внимание 234 станка. (Однако на практике учитывают практически все 300 станков, проявляя тем самым излишнюю осторожность.) (ш) Теорему Муавра — Лапласа, которую мы обсуждали выше, можно обобщать в различных направлениях. Представн- тели математической школы Санкт-Петербурга во главе с П.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
