Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике (1990) (1151962), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Период полураспада обратно пропорционален постоянной распада, которая соответствует р. (ш) Число бросаний правильной игральной кости до первого выпадения единицы есть величина, зависящая от случая, иными словами случайная вели сина. Обозначим эту случайную величину через о. Возможными значениями о являются 1, 2, 3, 4, .... Вероятность того, что о =я (где /г — произвольное положительное целое число), равна (5/6)» †'/6.
Так что среднее или математическое ожидание величины о (определяемое как взвешенное среднее ее значений с весами, равными соответствующим вероятностям) равно 1 !/6 + 2 . 5/6 . !/6 1 3 (5/6)'/6 -1- 4 (5/6)'/6 + ... = — 6. В более общем случае, если р — вероятность появления некоторого события А и мы повторяем независимые испытания до тех пор, пока А не произойдет, математическое ожидание числа необходимых испытаний равно 1/р. Таким образом, эти математические ожидания подчиняются «правилу пропорциональности»: для получения пары единиц в среднем потребуется в шесть раз больше бросаний, чем для получения одной единицы. (1ч) До сих пор мы использовали интуитивное представление о вероятностной независимости. К этому мы вернемся позднее.
(ч) Объяснение парадокса де Мере не стало широко известным. В 1693 г., спустя почти сорок лет после того, как проблема Рис. 1. Грани одной игральной кости, размеченной обычным способом, и грани двух костей, размеченных нестандартно. При бросании двух свмметричных костей, размеченных нестандартным образом (б, и е), вероятности того, что в сумме получится 2, 3, ..., 12, совпадают с соответствугощими вероятностями при бросании двух обычных игральных костей. была решена Паскалем, Самьюэл Девис (президент Королевского общества с 1684 г.) предложил Ньютону почти точно такую же задачу.
Ньютон также нашел правильный ответ, который в свою очередь не удовлетворил Пеписа. (ч1) Дрейдель ("11геудеГ' или "дгаудГ') — это древняя игра, похожая на игру в кости. (Она также напоминает английскую игру «положи-и-возьми».) В дрейдель играют евреи во время праздника Ханука. Сравнительно недавно Фейнерман обнаружил (см. ссылку ниже), что эта игра несправедлива, если число играющих больше двух, хотя, как это ни парадоксально, никто этого не заметил в течение более 2000 лет) Дрейдель — зто четырехсторонний волчок, стороны которого обозначаются буквами йг, 6, О и Я (соответствующими буквам иврита: нун, гимел, хей и шин). В игре участвует произвольное число игроков, каждый из которых делает ставку, равную некоторой денежной единице, чтобы начать игру.
Игроки по очереди запускают волчок до тех пор, пока по взаимному согласию ие прекращают игру. Выплаты (игроку, который запускал волчок) соответствуют каждому нз четырех возможных исходов; лг — игрок ничего не получает, Н вЂ” получает половину общей ставки, 6 — забирает всю общую ставку, 5 — делает еще одну ставку.
В том случае, когда при запуске волчка получается 6 и игрок забирает всю общую ставку, все игроки вновь делают ставки для продолжения игры. Если обозначить число игроков через т, то математическое ожидание выигрыша при и-м запуске волчка равно Е. = т/4+ (5/8)ч-'(т — 2)/8. Таким образом, если т ) 2, то Еч — строго убынающая последовательность. Следовательно, первый игрок (который запускает волчок при и =1, т+ 1, 2т+ 1, ...) всякий раз имеет больший ожидаемый выигрыш, чем второй игрок...
д) Литература Оге О. "Рззса! анб 1Ье !отел!~он о! ргоЬзЫШу 1Ьеоту", Тле лжет!сан Мора Монтв!у, 67, 409 — 419, (1960). В >той статье сделан обзор результатов недавних исследований, связанных с ролью де Мере н Паскаля. Цену! А. Ьепегз он Ргооомл!у, Айабего!з! К!збо, Внбзрез1, 1972, [Имеется перевод в книге Репьи А. Трилогия о математике.
— Мз Мнр. 1980.1 Эта нннтз знвномнт читателя с ранним периодом развития теории вероятностей в форме четырех выдуманных писем (якобы написанных Паскалем Ферма). Бсьоен Е. )3. "3зюне! Реруз, !зазс Ыем1он зоб Ше РгоЬзЫ!!!у", ТЛ« Атеггсол 3!агапе!ан, 14, 27 — 30, (1960).
Это статья о переписке между Ньютоном н Пепнсом. За исключением первого письма Паскаля (ноторое исчезло), переписка между Паскалем н Ферма опубликована в книге Бго!ЬЬ Т). Е. А Зоигсе Воой !и Мат«теис«, Мсотзч-НШ, Ыетч уогй, 1929, 546 — 565 (есть новое издание !959 г.). Ре[оетгпао й, "Ап знс!ео1 нн1зн дате*', Тне Аюег!соо Мо!й. Молил!д, 83, 623 †6 (1976). 3. Парадокс раздела ставки а) История парадокса Этот парадокс был впервые опубликован в Венеции в 1494 г. в обзоре средневековой математики. Автор Фра Лука Пачоли (1445 — 1509 гг.) назвал свою книгу «Сумма знаний по арифметике, геометрии, отношениям и пропорциональности> ("5ппппа де аг!!)!шс!!са, дсошс!г!а, ргорог!!оп! е! ргорогИопа1йа").
В этой книге впервые использовалось слово «миллион» и объяснялась двойная бухгалтерия. Интересно отметить, что в Милане Фра Лука близко подружился с Леонарда да Винчи, и благодаря этой дружбе Леонардо иллюстрировал работу Фра Лука «О божественных пропорциях» ("Ре Р!у!па РгорогВопе"), опубликованную в Венеции в 1509 г. Недавно Эйштейн Оре обнаружил итальянскую рукопись, датированную 1380 г., в которой также упоминается парадокс раздела ставки.
Многое указывает на арабское происхождение задачи или по крайней мере на то, что в Италию задача попала вместе с арабским учением. Как бы ни стара была проблема, фактом остается, что для ее правильного решения потребовалось очень много времени. Сам Пачоли даже не видел связи этой задачи с теорией вероятностей; он рассматривал ее как задачу о пропорциях. Неверное решение дал Никколо Тарталья (1499 — 1557 гг.), хотя он был достаточно гениален, чтобы в математической дуэли за одну ночь открыть формулу корней кубического уравнения. После нескольких неудачных попыток Паскаль и Ферма в конце концов в 1654 г.
независимо друг от друга нашли правильный ответ задачи. Это открытие было настолько важным, что многие считают этот год временем рождения теории вероятностей, а все предшествующие результаты относят к ее предыстории. б) Парадокс Два игрока играют в безобидную игру (т. е. у обоих шансы победить одинаковы), и они договорились, что тот, кто первым выиграет 6 партий, получит весь приз. Предположим, что на самом деле игра остановилась до того, как один из них выиграл п из (например, первый игрок выиграл 5 партий, а второй — 3).
ак справедливо следует разделить приз? Хотя в действительности эта проблема не является парадоксом, безуспешные попытки некоторых величайших ученых решить ее, а также неверные противоречивые ответы создали легенду о парадоксе. Согласно одному ответу, приз следовало разделить пропорционально выигранным партиям, т. е. 5:3'~. Тарталья предложил делить в отношении 2: 1. (Наиболее вероятно, что он рассуждал следующим образом: так как первый игрок выиграл на две партии больше, что составляет третью часть от необходимых для победы 6 партий, то первый игрок должен получить одну треть от приза, а оставшуюся часть следует разделить пополам.) На самом деле справедливым является раздел в отношении 7: 1, что сильно отличается от предыдущих результатов.
в) Объяснение парадокса И Паскаль, и Ферма рассматривали эту проблему как задачу о вероятностях. Так что справедливым будет раздел, пропорциональный шансам первого игрока выиграть приз. Покажем, что в случае, когда первому игроку осталось выиграть только одну партию, а второму игроку для победы требуется выиграть три, справедливое отношение равно 7: 1. Следуя идее Ферма, продолжим игру тремя фиктивными партиями, даже если некоторые из них окажутся лишними (т. е.
когда один из игроков ') Как утверждает Б. В. Гнеденко, этот ответ предложен Пачолн.— Прим. перев. уже выиграл приз). Такое продолжение делает все 2 2 2=8 возможных исходов равновероятными. Поскольку только при одном исходе второй игрок получает приз (т. е. когда он выигрывает все три партии), а в остальных случаях побеждает первый игрок, справедливым является отнощение 7: 1. г) Замечания (!) Общее решение для случая, когда первому игроку для получения приза требуется выиграть еще п партий, а второму— пь партий, такжебыло найдено Паскалем и Ферма. Для первого игрока шансы получить приз равны (Здесь число фиктивных партий равно и+ пг — 1 и все возможные 2"' — ' исходов равновероятны.) В 1654 г.
весь Париж говорил о возникновении новой науки — теории вероятностей. Спустя несколько месяцев в Г!ариж из Голландии приехал молодой гений Христиан Гюйгенс, чтобы обсудить с Паскалем или Ферма вероятностные проблемы, которыми он тоже интересовался. Однако случилось так, что он не встретился ни с одним из них. (Паскаль был поглощен религией и не принимал гостей, а Ферма жил вдали от Парижа.) Тем не менее о наиболее интересных результатах Гюйгенс узнал. Вскоре он вернулся в Голландию и начал писать книгу по теории вероятностей.
Эта замечательная работа, которая, в частности, содержит решение задачи о разделе ставки для трех игроков, была опубликована в 1657 г. под названием «О расчете в азартных играх» ("Ое Ка!!ос!пйз !и А!еае 1 ндо") в виде части (пятой книги) труда Схоутена «Математические этюды» ("Ехегсйа!!опез Ма(йеша!!сагпш"). В работе Гюйгенса 16 страниц; она начинается с предисловия и содержит решения 14 задач, связанных с азартными играми. (й) Прекрасную идею Ферма о продолжении игры в 1977 г. (!) использовал Андерсон (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
