Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике (1990) (1151962), страница 2
Текст из файла (страница 2)
И в дополнение к этому возникли такие новые дисциплины, как «экспериментальная математика», «вычислительная гидродинамика», «вполне интегрируемые системы», «хаос, синергетика и дальний порядок», которые почти невозможно подогнать под уже существующие схемы классификации. Эти дисциплины опираются на различные разделы математики. Наша программа «Математика и ее применения» посвящена новым направлениям и таким (новым) взаимосвязям, как: — центральное понятие, играющее важную роль в нескольких различных областях математики и/или других науках; — новые применения результатов и идей из одной области научных исследований в другой области; — влияние, которое оказывают результаты, проблемы и понятия одной области исследований на развитие другой области. В рамках программы «Математика и ее применения» делается попытка издания книг, тщательно отобранных в соответствии с изложенными выше принципами.
С помощью таких книг, которые скорее заинтересовывают читателей, чем дают полную информацию о предмете, и являются более интригующими, чем энциклопедическими, мы надеемся способствовать лучшему взаимопониманию специалистов в разных областях науки. Поскольку объем научных исследований, проводимых в Советском Союзе, Восточной Европе и Японии, очень велик, было решено обратить особое внимание на работы, выполненные в этих регионах. Таким образом, было решено начать издание трех региональных серий в рамках главной программы «Математика и ее применения».
Прогресс в математике, как и в других науках, во многом определяется такими вопросами и/или результатами, которые заставляют, так сказать, встряхнуть наши прежние представления и увидеть, что новые решения и естественны, и прекрасны. Парадоксы, т. е. противоречащие интуиции, но верные результаты, возможно, являются лучшим примером проблем такого вида. Теория вероятностей — наука о случайных событиях— всегда была особенно богата парадоксами, много их и сейчас.
Изучение и понимание какой-либо области науки с помощью парадоксов есть, видимо, один из лучших способов развить в себе настоящую интуицию. Для теории вероятностей подобная книга была бы идеальной. Ничем не объяснимая зффективность математики в науках... Зуген Вагнер Что ж, если вам известна лучшая роль, займитесь ею.
Брюс Бейрнсфатер То, что сейчас доказано, когда-то сушествовало лишь в воображении. Уильям Блейк До тех пор, пока алгебра н геометрия двигались различными путями, их развитие была медленным, а применение ограниченным. Но когда зги науки объединилигь, опи почерпнули друг у друга свежие силы и в результате быстро двинулись вперед к совершенству. Жозеф Лои Лагранж Бассам, март !986 г, Михель Хазевинкель ВВЕДЕНИЕ Самое прекрасное н глубокое пережннзнне, выпадающее нз долю челонекз,— это ощущение таинственности.
Оно лежит в основе релнтнн н всех наиболее глубоннх теяденцнй з искусстве н звуке. Тот, кто не испытал этого ощущения, кажется мне, если не мертвецом, то, зо всяком случае, слепым. Альберт Эйнштейн. Мое кредо, 1984 ') Замечательно, что науке, нзчкназшейся с рассмотрения азартных нгр, суждено было стать важнейшим объектом человеческото знания... Пьер Симон Лаплас. Аналитичвская теория вероятностей, !812 Как и любая другая область науки, математика отражает противоречия окружающего нас мира. Поэтому история математики, естественно, полна интересных парадоксов, и некоторые из них служили отправной точкой больших изменений. Особенно богата парадоксами математика случайного.
По мнению Карла Пирсона, в математике нет другого такого раздела, в котором столь же легко допустить ошибку, как в теории вероятностей. Цель данной книги — показать, каким образом эта стремительно прогрессирующая и широко применяемая область знаний развивалась из парадоксов. В книге сделана попытка остановиться на тех волнующих моментах, которые предшествовали или сразу следовали за решением ряда знаменитых парадоксов, редко упоминаемых в монографиях. В книге рассматриваются не только интересные, но не очень значительные «жемчужины» теории вероятностей, лежащие в стороне от главных направлений ее развития; напротив, центральное место в книге занимают противоречия, разрешение которых в наиболыпей степени способствовало преодолению фундаментального кризиса в математике случайного. В книге изложены также проблемы, которые первоначально не рассматривались как парадоксы.
В книге о парадоксах, очевидно, должна отражаться история развития теории вероятностей, и поэтому в начале разбираются старейшие парадоксы этой науки, Важно различать парадоксы и софизмы. Первые — это справедливые, хотя и неожиданные утверждения, в то время как вторые — ложные результаты, полученные с помощью рассуждений, формально кажущихся правильными.
И парадоксы, н со- ') Эйнштейн А. Собрание научных трудов В 4-х томах Мое кредо. Т 4 — М. Наука, !967. физмы очень интересны и поучительны, но зта книга главным образом посвящена парадоксам (за исключением, например, «парадоксов» в 1тг/1)'). При формулировке парадоксов я стремился к тому, чтобы каждый парадокс был ясен сам по себе. Хотя, очевидно, читателю, не играющему в бридж или незнакомому с нормальными распределениями, будет труднее в тех случаях, когда зти специальные понятия лежат в основе парадоксов. Однако, читая книгу последовательно с самого начала, читатель найдет определения важнейших понятий. (Правила игры в бридж в книге не излагаются, однако все необходимое для понимания соответствующего парадокса в ней можно найти.) Книга состоит из четырех основных глав.
Обсуждение кажЛого парадокса проходит по схеме, состоящей из пяти частей: история, формулировка, объяснение парадокса, замечания и, наконец, список литературы. В конце каждой главы содержится еще несколько парадоксов. Они разбираются кратко, но не потому, что они менее важны и интересны, а потому, что лежат несколько в стороне от главного направления книги.
Первый, кто вдохновил меня на создание книги о парадоксах теории вероятностей, был мой покойный учитель профессор Альфред Репьи. Эту идею поддержал А. Н. Колмогоров во время нашей встречи в Будапеште в 1972 г. В 1976 г. в течение семестра я работал в университете Амстердама, где профессор А. Балкема привлек мое внимание к нескольким интересным парадоксам. Вдохновляющими были и обсуждения моих лекций в университете Джонса Хопкинса, в Колумбийском и йельском университетах, в Массачусетском технологическом институте. Мне посчастливилось также встречаться и обсуждать вероятностные проблемы с Джорджем Пойа в Станфордском университете и в Будапеште. Я признателен ему за его советы. Особую благодарность необходимо выразить некоторым моим коллегам из Будапештского университета им.
Лоранда Этвеша и Математического института Венгерской академии наук. Их имена часто встречаются в книге. Наконец, следует отметить, что английское издание книги является переработанным и дополненным вариантом венгерского издания. ') То есть парадоксов в и 1 гл. 1У. ГЛАВА 1 КЛАССИЧЕСКИЕ ПАРАДОКСЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Классика — это то, что все хотели бы прочитать, но никто читать не хочет. Марк Тзен Опытом каждый называет свои ошибки. Оскар Уайльд ...истинной логикой для этого мира является исчисление вероятностей, занимающееся нахождением величин вероятностей, которые учитывает или должен учитывать любой здравомыслящий человек. л!зк. Клерк Максвелл Размышления о случайном (например, золотые правила игроков в азартные игры) были уже в древнейшие времена, но математические вычисления вероятностей и вероятностные парадоксы появляются в письменных источниках начиная лишь с Хч' века.
Хотя сегодня теория вероятностей имеет столько же общего с азартными играми, как и геометрия — с измерениями площадей при земляных работах, тем не менее первые парадоксы возникли из популярных азартных игр. 1. Парадокс игры в кости. «Азартные игры» в мире физических частиц а) История парадокса Игра в кости была самой популярной азартной игрой до конца средних веков. Само слово «азарт» также относится к игре в кости, так как оно происходит от арабского слова "а1- гаг", переводимого как «игральная кость», Карточные игры стали популярны в Европе лишь в ХТ"тг веке, в то время как игра н кости пользовалась успехом еще н Древнем Египте во времена 1-й династии и позднее в Греции, а также в Гимской империи.
(Согласно греческой легенде, игру в кости предложил Паламедей для развлечения греческих солдат, скучающих в ожидании битвы при Трое. Павсаний, писатель, живший во П веке, упоминает написанную в тг веке до нашей эры картину Полигнота, на которой изображены Паламедей и Ферсит, играющие в кости.) Самой ранней книгой по теории вероятностей является «Книга об игре в кости» (")ле Епс)оА!еае") Джероламо Кардано (1501 — !576 гг.), которая в основном посвящена игре в кости. Эта небольшая книжка была опубликована лишь в !663 г., спу- стя почти 100 лет как была написана. Видимо, поэтому Галилей стал заниматься той же самой задачей о костях, хотя она была уже решена в работе Кардано.
Галилей также написал трактат на эту тему где-то между !613 и 1624 гг. Первоначально он назывался «Об открытиях, совершенных при игре в кости» (РВорга !е 5сорег!е де! Лад("), но в собрании сочинений Галилея, изданном в !718 г., название изменили на следующее: «О выходе очков при игре в кости» ("Сопз!дега!!опе зорга !1 Ошосо де( Рад!"). б) Парадокс Правильная игральная кость при бросании с равными шансами падает на любую из граней 1, 2, 3, 4, 5 или 6'). В случае бросания двух костей сумма выпавших чисел заключена между 2 и 12. Как 9, так и 10 из чисел 1, 2, ..., 6 можно получить двумя разными способами: 9=3+6=4+5 и 10=4+6= = 5+ 5.
В задаче с тремя костями и 9, и 10 получаются шестью способами. Почему тогда 9 появляется чаще, когда бросают две кости, а !О, когда бросают три? в) Объяснение парадокса Задача настолько проста, что кажется странным, что в свое время ее считали страшно трудной. И Кардано, и Галилей отмечали необходимость учета порядка выпадания чисел.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
