Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике (1990) (1151962), страница 3
Текст из файла (страница 3)
(В противном случае не все исходы были бы равновозможными.) В случае двух костей 9 и 1О могут получаться следующим образом; 9=3+6=6+3=4+5=5+4 и 10=4+ 6 = 6+4= = 5+ 5. Это означает, что в задаче с двумя костями 9 можно «выбросить» четырьмя способами, а 10 — лишь тремя. Следовательно, шансы получить 9 предпочтительней. (Поскольку две кости дают 6рс',6=36 различных равновозможных пар чисел, шансы получить 9 равны 4/36, а для 10 — лишь 3/36.) В случае трех костей ситуация меняется на противоположную: 9 можно «выбросить» 25 способами, а 1Π— уже 26 способами.
Так что !О более вероятно, чем 9. г) Залгечания (!) Несмотря на простоту задачи о костях, некоторым великим математикам не удавалось ее решить, так как они забывали о необходимости учета порядка выпадений костей. (Эту ошибку ') На обычной игральной кости сумма очков на противоположных гранах равна 7, т.е. падение кости на грань ! обозначает выпадение б и т. л.— Прим, перев. часто допускают даже в наши дни.) Ошибались и Лейбниц, один из создателей дифференциального и интегрального исчисления, и Даламбер, один из величайших авторов знаменитой Французской энциклопедии.
Однажды Даламберу задали следующий вопрос: с какой вероятностью монета, брошенная дважды, по крайней мере один раз выпадет гербом? Ответ ученого был 2/3, так как он считал, что есть лишь три возможных исхода (герб-герб, герб-решка, решка-решка) и среди них только один неблагоприятный, т. е, когда выпадают две решки. Даламбер пренебрегал тем, что три возможных исхода не равновероятны. Правильным ответом является 3/4, потому что из равно- возможных исходов герб-герб, герб-решка, решка-герб и решка- решка только последний является неблагоприятным.
Точка зрения Даламбера была даже опубликована в Энциклопедии в 1754 г, в статье «Герб и решетка» ("Сго1х оп р(1е"). (!!) Задача о костях некоторым образом связана с направлениями физики Х!Х и ХХ веков. Предположим, что вместо игральной кости мы имеем дело с физическими частицами. Каждая грань кости соответствует теперь фазовой ячейке, в которой частица оказывается случайным образом и которая характеризует состояние частицы.
В этом случае игра в кости эквивалентна модели Максвелла — Больцмана для физических частиц. В этой модели, используемой обычно для молекул газа, каждая частица с равными шансами попадает в любую ячейку, так что при описании множества равновозможных исходов следует учитывать порядок так же, как и в задаче о костях. Существует другая модель, в которой частицы неразличимы, и поэтому при подсчете равновозможных исходов порядок не надо принимать во внимание. Эта модель названа именами Бозе и Эйнштейна. Используя эту терминологию, можно сказать, что суть нашего парадокса в том, что игра в кости описывается моделью Максвелла — Больцмана, а не Бозе — Эйнштейна. Следует отметить, что ни одна из этих моделей не корректна для связанных электронов, так как в этом случае в каждой ячейке может оказаться не более одной частицы.
Используя терминологию игры в кости, можно сказать, что если на одной кости выпала 6, то ни на какой другой коста 6 уже выпасть не может. Это модель Ферми— Дирака, Возникает вопрос, применение какой модели корректно в конкретной ситуации. (Кроме указанных трех моделей, существует множество других.) Вообще говоря, мы не можем выбрать какую-либо модель, исходя лишь из логических соображений. В большинстве случаев решить этот вопрос позволяют опыт либо наблюдения. Однако в случае с игральной костью очевидно, что корректна модель Максвелла — Больцмана, а в данный момент это все, что нам нужно.
д) Литература Классической монографией по истории классической теории вероятностей является книга Тобйпп1ег !. Н1ыогу о) Ие МеИетиг!со1 Тьеогу о) Ргобимщу, которая первоначально была опубликована в 1865 г. н перенздвнв в 1949 г. издательством «Роыыыпк Ноеве СЬемев». Описание предыстории н ранних периодов развития теории вероятностей можно найти в книге') Оачы Р. )Ч Осте», бойз алй Оетмглу, Ог!!1)п, 1 опбоп, 1962. Следующие книги посвящены историческим н фнлософсннм аспектам рзнней теории вероятностей: Насыпи 1. Гйе Етегуелсе о) Ргобпбгагу.
СашЬг!бде 1)п!чегвау Ргезз, 1973. Мвйстров Л. Е. Развитие понятия вероятности. Мл Наука, 1980. Читатели, которых интересует нзчяльнвя история теории вероятностей, могут найти дополнительную информацию в журналах В!стейт«а н Агсйгое 1ог Ие Нгзсогу о) Ехпсг $сгепсез. Английский перевод первой монографии о задачах, связанных с игрой в кости, в также подробную биографию автора монографии Ггжероламо Кврдано можно найти в книге Оге О. Се«йово, Ие Оатмгпу $сйо1пг.
Рг!псе1оп Оп)чегз!17 Ргезз, Рппсе1оп, 1953 2. Парадокс де Мере а) История парадокса Существует старая история, впервые рассказанная, видимо, Лейбницем, о том, как известный французский игрок ХтгП века шевалье де Мере по дороге в свое имение в Пуату нстретил Блеза Паскаля, одного из знаменитейших ученых ХтгП века. Де Мере поставил перед Паскалем две задачи, обе связанные с азартными играми. Первой задачей был рассматриваемый парадокс !вторая — разбирается в следующем параграфе). Обе задачи Паскаль обсуждал в 1654 г.
в своей переписке с Пьером де Ферма, другим высокоодаренным ученым, жившим в Тулузе. Оба ученых пришли к одинаковому результату, что весьма обрадовало Паскаля. В своем письме он отмечал: «Я вижу, что истина одинакова и в Тулузе, и в Париже». Эйштейн Оре, профессор Йельского университета, утверждал, что парадоксы, приписываемые де Мере, на самом деле были широко известны значительно раньше, дело лишь в том, что Паскаль о них не знал. Неверно также, что шевалье был страстным игроком.
Парадоксы его интересовали скорее теоретически, чЕм практически, и поэтому его не удовлетворило, что Паскаль «всего лишь» решил ») Полезно гзкжс про штзгь «Очерк псторнн георпп вероятностей» в юшге В. В Гпеденко «Курс теории вероятностей», М Наука, 1988— Прим, перев задачу, подтвердив правильный ответ, который де Мере уже знал. Шевалье не смог понять, каким образом разрешается парадокс. б) Парадокс При четырех бросаниях одной игральной кости вероятность того, что по крайней мере один раз выпадет 1, больше 1/2.
В то же время при 24 бросаниях двух костей вероятность выпадения двух 1 одновременно (по крайней мере однажды) меньше 1/2. Это кажется удивительным, так как шансы получить одну 1 в шесть раз больше, чем шансы выпадения двух 1, а 24 как раз в 6 раз больше 4. в) Объяснение парадокса Если правильную игральную кость бросают /г раз, то число возможных (и равновероятных) исходов равно 6'. В 5» случаях из этих 6» кость не ляжет на шестерку, и, следовательно, вероятность выпадения по крайней мере один раз 1 при Ф бросаниях равна (6" — 5»)/6 = 1 — (5/6)", что больше 1/2, если /г = 4. С другой стороны, величина 1 — (35/36)', которая получается аналогично, все еще меньше 1/2 для й = 24 и превосходит !/2, начиная с й = 25.
Так что «критическое значение» для одной кости равно 4, а для пары костей равно 25. Это безусловно правильное решение на самом деле не удовлетворило де Мере, так как сам ответ он уже знал, но из решения так и не понял, почему ответ не согласуется с «правилом пропорциональности критических значений», утверждающим, что если вероятность уменьшается в шесть раз, то критическое значение возрастает в шесть раз (4: 6 = 24: 36). Абрахам де Муавр (1667 — 1754 гг.) в своей книге «Доктрина шансов» ("Рос1г!пе о! С)запсез"), опубликованной в 1718 г., доказал, что «правило пропорциональности критических значений» недалеко от истины, так как, если р — вероятность некоторого события (например, вероятность «выбросить» единицу есть р = 1/6), то критическое значение /г можно найти, решая уравнение р)» 1/2 (это уравнение имеет решение, если р заключено строго между О и 1).
Критическое значение я есть наименьшее целое число, превосходящее х. Решение приведенного выше уравнения дается формулой х= — !п2/1п(1 — р)=!п2/(р+ р/2+...), (») где 1и означает натуральный логарифм (по основанию е = =2,71...). Из вида решения ясно, что если р' пренебрежимо мало, то р убывает почти пропорционально возрастанию крити. ческого значения, как де Мере и предполагал. Де Муавр использовал приближенную формулу х 1п2/р = 0,69/р для исследования вопросов, связанных с Лондонской лотереей.
В этом случае значение р было 1/32, а для р =!/32 точное значение х= =22.135..., в то время как приведенная выше формула дает приближение 22.08, что достаточно близко к истинному значению. Парадокс де Мере возникает потому, что для р = 1/6 величина р'/2 (и другие слагаемые знаменателя в формуле ( )) не настолько мала, чтобы ею можно было пренебречь. Таким образом, «правило пропорциональности критических значений» является правилом асимптотически верным, ошибка от его применения растет с ростом р.
Это и есть настоящее решение данного парадокса. г) Замечания (1) Типично неверное решение задачи де Мере восходит к Кардаио. Он рассуждал следующим образом; вероятность получения пары единиц равна 1/36, следовательно, для того, чтобы с вероятностью 1/2 получить пару единиц по крайней мере один раз, нужно бросить кость ровно 18 раз. Рассуждая таким образом, мы придем к тому, что если кость бросают более 36 раз, то вероятность выпадения пары единиц больше 1, что, конечно, невозможно. (й) Существуют некоторые «случайные величины», которые подчиняются «правилу пропорциональности», (Мы рассмотрим эти случайные величины в парадоксе 8.) Некоторые из этих случайных величин играют важную роль в ядерной физике, в которой критическое значение называется периодом полураспада.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
