Кловский Д.Д. и др. Теория электрической связи (1999) (1151853), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Пусть на его вход поступает колебание я(г), а фильтр согласован с финитным сигналом я(г). Тогда сигнал на его выходе в момент времени г а) 0 б) О в) Рис.5.11. Сигналы на выходе согласованного фильтра и корреляционной схемы при подаче на вход прямоугольного радиоимпульса:(а) импульс на входе; (6) импульс на выходе согласованного фильтра; (в) напряжение на выходе интегратора активного фильтра 184 а у (г) = ~ г(т)з(т — (г — г ))Йт . (5.39) а Спектральная плотность по Фурье этого сигнала Я, и = Я.(г)ЯАг)е ' '. На выходе фильтра, согласованного с сопряженным сигналом з(г), колебание х(г) дает отклик у,(г) =) г(т)я~т-(,г — г,))Йт.
(5.40) а Спектральная плотность по Фурье этого сигнала Я, И =3 яйп(~)Яф)Я,(1')е ' '. Таким образом, сигналы (5.39) и (5.40) сопряжены по Гильберту с точностью до знака. Огибающая на выходе фильтра, согласованного с сигналом х(г) (или а(Г) ), ю=ЯЯ+РЯ (5.41) Если сигнал з(г) получает фазовый сдвиг О, то с учетом соотношений (2.116) имеем У„(Г) =У (Г)соаΠ— Уз(г)ипО, Уза(г) =Уз(Г)созВ+У (Г)ашВ. Огибающая от В не зависит: г,и=Д,Я -Аи=ДЯ+ЙЯ=Ф. (5.42) Если колебание г(г) ортогонально х(г) на интервале (О, 7), но не ортогонально на этом интервале а(а) „то У,(У) =О, У,(У) ~0 и Щ~В.
Огибающая на выходе фильтра равна нулю, если г(г) и з(г) ортогональны в усиленном смысле (см. (2.128)). В технике связи для фильтрации сигнала на фоне шума часто вместо согласованных используют фильтры, характеристики которых лишь частично согласованы с характеристиками сигнала. Такие фильтры называют квазволтимальлыми. Так, в практике радиоприема используются так называемые квазиоптимальные линейные фильтры, форма частотных характеристик которых заранее задана и максимум параметра р„обеспечивается лишь соответствующим подбором ширины полосы пропускания фильтра.
Квазиоптимальный фильтр такого типа исследовался В.И. Сифоровым, который рассматривал прохождение одиночного радиоимпульса с прямоугольной огибающей через идеальный полосовой фильтр с полосой пропускания д7'на фоне квазибелого шума. В.И. Сифоров показал, что при д7' = 1,37/Т отношение р достигает максимума: р „= 1,64йз. (5.43) Сравнив (5.36) и (5.43), можно видеть, что при приеме одиночного импульса энергетический выигрыш оптимального (согласованного) фильтра по сравнению с квазиоптнмальным невелик (не превышает 1 дБ).
Таким образом, при приеме одиночных радиоимпульсов вполне допустимо ограничиться квазиоптимальной фильтрацией. Положение, однако, существенно меняется, если надлежит принимать информационные импульсы, следующие друг за другом с таким интервалом, на котором переходные процессы в квазиоптимальном фильтре не успевают затухать. В этих условйях качество приема с квазиоптимальной фильтрацией резко падает, в то время как при использовании оптимального согласованного фильтра качество остается прежним, так как сигнал на его выходе концентрируется на ограниченном временном интервале и к моменту отсчета для одного импульса реакция на все предыдущие импульсы равна нулю (см., например, рис.
5.11, 6). 185 (5.45) 186 5.5. ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ ОПТИМАЛЬНОГО КОГЕРЕНТНОГО ПРИЕМА Определим потенциальную помехоустойчивость для двоичной системы с аддитивным БГШ в канале, когда при приеме точно известны оба ожидаемых сигнала: л~(~) и яо(~), полагая, что априорные вероятности этих сигналов одина- ковы. Приходящий сигнал ~(г) является случайным, так как, во-первых, зара- нее не известна реализация передаваемого сигнала, во-вторых, он содержит случайную помеху Ю(~). В этом случае согласно (5.26) алгоритм оптимального приема т т т(~)[о1(т) оо(~)~ой ) 0,5(Е, — Е,), Е, = ~ л,'(~)ой, т = О, 1 (5.44) о о При выполнении неравенства (5 44) оптимальный приемник регистрирует символ 1, соответствующий сигналу з1(г), в противном случае — символ О, со- ответствующий сигналу аз(~).
Если действительно передается символ 1, то г(~) = х1(~) + Ю(~). При этом вероятность ошибки определяется вероятностью того, что неравенство (5.44) не выполнено, т,е. вероятностью выполнения об- ,ратного неравенства т т т [оФ[з И яо(ф~+ ~Ф(~)[г1й) яо(фт < 0 5[[я1 (~) ло (~)]ой о о о которое легко привести к следующему виду: т т ~МЯ~зЯ-зоЯ~сИ <-0,5[[я,(К)-яо(К)1 ой. о о Аналогичное соотношение получается, если предположить, что передается символ О. Следовательно, в обоих случаях вероятности ошибки р(0~ 1) = р(1~0) = р и сформированный модемом двоичный дискретный канал симметричен.
Запишем (5 45) в виде т, <-0,5Е,, (5.46) т т где Ц = ') ХЯи, ЯсИ; Е, = [л,'(г)М; ю, (т) = я,(т) — я,(~) . Если НЯ вЂ” нормальный стао о ционарный белый шум с нулевым средним и односторонней спектральной плотностью мощности Же, то о", — нормально распределенная величина (так как она определяется линейной операцией над нормальным же случайным процессом). Ее математическое ожидание т ~ = [У(г)~,(~)а = о, о а дисперсия тт 1Ф) = Е = ИлФ;)УК)0~,)Я.(~,)жФ, = (5.46а) ,3 [8(~и ~т ьто(~1)оо(~о)о~~Фо = ~то(й)й1 ='05ИоЕ,.
оо о Поэтому вероятность выполнения неравенства (5.46), т.е. вероятность ошибки, (5.47) (5.49) ортогональными сигналами ) В1(г)во(т)агт =О, ) В1'(г)аг =) Во'(г)атг = Е; рис. 5.12, в— о о о ФМ с противоположными сигналами В1(т) = -Во(г). Из рисунка видно, что по сравнению с двоичной АМ для двоичной ЧМ2) х,г ! 2 г 1 В литературе часто встречаются: функция краина Ф(х) = — ) е 2 51г; очевидно, 52'2~ )~ х 2 1 г Ях) = 0,5(1 — Ф(х)); функция ошибок Р'(х) =1 — д(х) = —,— 1 е 2 ~гг.
иногда в справочниках табу512я л лируется функция етт(х) = — 1 Е ' 511 . Нетрудно видеть, что е2т(х) = г1~~х/5Г2) . Встречается так= д) Э же дополнение е22(х) до единицы. е2тс(х) = — ) е ~11 = 1-етт(х) . 2 г 21 Здесь имеется в виду ЧМ с разрывом фазы. 187 где произведена замена переменной 1 = — «/з~й(«) и введено обозначение 05Е, ГЕ, а= ,~В(~) 1 2~ (5.48) Функция фх) = — 1 е ' аг табулирована и называется дополнительной 2Г2К ', функцией ошибок1).
Через Д-функцию можно (5.47) записать в виде р=0 При заданной интенсивности помехи Ме потенциальная помехоустойчи- вость двоичной системы зависит только от так называемой эквивалентной энергии сигналов т 2 Е, = Дз,(т) — В,(т)) агт = а1,' (5.50) о которая равна квадрату расстояния между сигнальными точками в пространст- ве Гильберта. Помехоустойчивость выше (вероятность ошибки меньше) у той системы, у которой больше эквивалентная энергия используемых сигналов, не- зависимо от формы используемых сигналов. Последние, в частности, могуг быть как простыми (отрезками синусоиды с малой базой), так и сложными (шумоподобными, с большой базой).
На рис. 5.12 в двумерном пространстве показаны точки сигналов для двот ичной системы: рис. 5.12, а — АМ при ВоЯ = О, ) В12(г)й = Е; рис. 5.12, б — ЧМ с о Рис.5.12. К определению эквивалентной энергии двоичных систем АМ, ЧМ, ФМ ог эквивалентная энергия сигнала Е, =~~, -з,1 в 2 раза больше, а для двоичной ФМ вЂ” в 4 раза больше. Соотношение (5.50) позволяет осуществлять оптимальный выбор сигналов з,(т) и з,(г) или соответственно и,(т) и и,(т), обеспечивающих максимально возможную помехоустойчивость при заданной энергии сигналов Е.
В самом деле, для такой оптимальной системы величина Е должна быть максимальной при условии, что т т Е, = ) з,' (т)огт < Е ; Е, = ) зо (г)оп < Е . (5.51) о о (5.53) т Можно написать Е, =2Е, +2Е,-)(з,(т)+з,(т)) гй. Для получения максимума о этого выражения нужно сделать Е1 и Ес возможно большими, а интеграл в правой части — как можно меньшим. Максимально возможные значения Е~ и 4) получатся, если, учитывая условия (5.51), положить Е =Д =Е (5.52) т Интеграл Нз,(~)+з,(т)) с1т принимает только неотрицательные значения, поо этому его минимум равен нулю и достигается при условии 51(т) = — зр(т), кото- рое не противоречит условию (5.52).
Таким образом, в двоичном канале с по- стоянными параметрами и аддитивным БГШ оптимальной оказывается систе- ма с противоположными сигналами. Этому условию удовлетворяют, например, двуполярные импульсы, сигналы двоичной фазовой модуляции (ФМ), если разность фаз сигналов Лор = и и т. п.|) . Для всех таких систем Е, = 4Е и вероятность ошибки ,= ~,Щ =юг.), Е где Ь' = — — отношение энергии сигнала на входе демодулятора к спектраль'"о ной плотности мощности флуктуационной помехи. и Напомним (см. гл. 3), что этому же условию удовлетворяет на интервале 2Тдвоичная сис- тема с непрерывной фазой и минимальным сдвигом (ММС).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
