Кловский Д.Д. и др. Теория электрической связи (1999) (1151853), страница 43
Текст из файла (страница 43)
На- пример, в системе автоматической пожарной сигнализации опаснее не обна- ружить сигнал о пожаре, нежели объявить "ложную тревогу", когда в действи- тельности пожара нет. Учет последствий ошибок различного рода (связанных с передачей различных символов) приводит к обобщению критерия идеального наблюдателя, известного под названием крите- рия минимального среднего риска (или байесовского критерия).
Введем некоторые понятия. О Следует иметь в виду, что в системах с АМ дополнительная гипотеза может соответствовать одной из позиций сигнала. з~ Вместо неравенств (5.14) можно было бы просто записать в(з1Ь,) > а(а~Ь ). Сравнение отношений правдоподобия вместо сравнения условных плотностей вероятностей вызвано тем, что понятие отношения правдоподобия можно распространить и на сигналы из бесконечномерного гильбертова пространства, для которых понятие плотностей вероятности а(а~Ь,), а(х~Ь|) теряет смысл. Как зто делается, будет показано в з 5.3.
171 (5.17) Если при передаче символа Ь| принят символ Ь,, то при 7~ 1 имеет место ошибка. Чтобы учесть неравноценность различных ошибок, будем с каждой парой символов Ь, и Ь, связывать некоторую численную величину, называемую "потерей", обозначив ее Х„. Величина "потери" зависит, таким образом, от того, какой символ Ь, принят вместо переданного Ь; Правильному приему при этом обычно приписывается нулевая "потеря". Значения Хк определяются в каждом конкретном случае важностью правильного приема данного элемента сигнала и величиной опасности различных ошибок.
Так как при передаче символа Ь| символы Ь появляются с определенными вероятностями как реализации некоторой дискретной случайной величины, можно говорить об условном математическом ожидании величины "потери" при передаче конкретного символа Ьь Назовем это условное математическое ожидание условным риском: В,=',~ Р[Ь,~Ь,)Х,,=', Ь„~ ЦЬ,)б*. (5.16) I Интеграл в (5.16) берется по области В решающей схемы и представляет вероятность того, что сигнал г(г) попал в эту область, если передавался символ Ь, Усреднив условный риск Я; по всем символам Ь„получим величину, называемую средним риском: Яр'~Р(Ь~)Хуи[~Ь|)бх Критерий минимального среднего риска заключается в том, что оптимальной считается решающая схема, обеспечивающая наименьшее значение среднего риска Я,р.
Приемник, работающий по такому критерию, называют байесовским. Из (5.17) видно, что при использовании этого критерия нужно, помимо априорных вероятностей р(Ь|) передачи отдельных символов знать и величины потерь Х,„-. Заметим, что если считать все ошибки Равноценными (х» = сопз1 пРи 7' ~ 1 и х„; = О ), то кРитеРий минимального среднего риска совпадает с критерием идеального наблюдателя, а байесовский приемник совпадает с идеальным приемником Котельникова. В общем же случае в оптимальном байесовском приемнике чаще будут возникать ошибки, связанные с малыми потерями, и реже — с большими потерями. Ситуация, в которой практически невозможно определить априорную вероятность передачи отдельных элементарных сообщений, а последствия ошибок разного рода неодинаковы, типична для радиолокации, когда приемник, анализируя принимаемое колебание г(г) (отраженный сигнал плюс помеха), должен определить, имеется в данном направлении и на данном расстоянии объект наблюдения (цель) или нет.
Как правило, априорная вероятность наличия отраженного от цели сигнала (передачи 1) заранее не известна. Последствия двух родов ошибок — ложной тревоги (приемник фиксирует, что цель существует, в то время как в действительности ее нет) и пропуска цели (приемник отмечает отсутствие цели, в то время как фактически она имеется) — неравноценны. В этой и других сходных ситуациях чаще всего пользуются критерием приема, известным под названием критерия Неймана-Пирсона.
Суть его заключается в том, что решающая схема считается оптимальной„если при заданной вероятности ложной тревоги р,ц обеспечивается минимальная вероятность пропуска цели рцрц. Введем в рассмотрение функции правдоподобия гипотезы об отсутствии цели ц [з)0] и о наличии цели ц [з)1]. Очевидно, что можно различными способами разбить пространство принимаемых колебаний г(г) на две области: В, (область решения об отсутствии цели) и В, (о наличии цели)— так, чтобы вероятность ложной тревоги р = ] ь(40)Ых (5.
18) в, равнялась заданной величине. Поскольку в локации символ О (отсутствие цели) передается паузой, то +)О] — это плотность распределения помехи. Следовательно, вероятность ложной 172 тревоги определяется вероятностными характеристиками помехи и выбором области В,. Но от выбора этой области зависит и вероятность правильного обнаружения цели: р =) (з11)Г*=1-р „=1-) (з(1)ж, (5.19) В$ ао р — вероятность пропуска цели. яра Интегралы в (5.18), (5.19) и в аналогичных других формулах, взятые по векторной переменной, очевидно, многократные.
Максимизация (5.19) при заданной величине (5.18) достигается, если решение о наличии цели принимается при выполнении неравенства ~10 ~Х ф~1) (40) (5,20) где х — пороговый уровень, определяемый заданной вероятностью ложной тревоги р Существуют и другие критерии качества приема, не требующие знания априорных вероятностей символов. В технике связи преимущественно применяют правило максимального правдоподобия (5.14), (5.15). В том случае, когда все символы передаются равновероятно, правило максимального правдоподобия реализует критерий идеального наблюдателя. Однако очень часто это правило решения применяют и при неизвестных или известных, но не одинаковых априорных вероятностях символов.
Конечно, оно не обеспечивает в этих случаях максимума вероятности правильного приема. Изменив решающую схему на схему, построенную по правилу максимальной апостериорной вероятности (5.8), реализующему критерий идеального наблюдателя, можно было бы уменьшить вероятность ошибок.
При этом, очевидно, пришлось бы сократить области приема маловероятных и расширить области высоковероятных символов. В результате редко передаваемые символы принимались бы менее надежно, нежели часто передаваемые. Но редкие символы несут больше информации, чем частые (см. й 6.3).
Поэтому переход от правила максимального правдоподобия к правилу максимальной апостериорной вероятности, хотя и уменьшает безусловную вероятность ошибки, может привести к увеличению потери информации при демодуляции. Легко показать, что правило максимального правдоподобия реализует критерий минимума среднего риска (5.17), если положить г.г = О при г = г' и (зу = 1/р(Ь;) при г'~ у. Вследствие сказанного будем в дальнейшем пользоваться, если не оговорено обратное, правилом максимального правдоподобия и решающую схему, реализующую правило (5.14), называть оптимальной. 5.3.
ОПТИМАЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ ПРИЕМА ПРИ ПОЛНОСТЬЮ ИЗВЕСТНЫХ СИГНАЛАХ (КОГЕРЕНТНЫЙ ПРИЕМ) Предположим, что все искажения в канале строго детерминированы и случайным является только гауссовский аддитивный шум п(Г), который вначале полагаем белым, со спектральной плотностью М0. Это значит, что при передаче символа Ь; (г = О, 1, ..., гп — 1) принимаемое колебание можно описать моделью' (4.48): х(г) = з (г) +п(г), 0 < г < Т, (5.21) 173 где все ю(~) =уЯ-т — КТ,Ь~~"~=уи(г-т) известны.
Не известна лишь реализация помехи и позиция (индекс 1) действительно переданного сигнала, который и должна определить решающая схема. Будем также считать, что все я; являются финитными сигналами, длитель- , ность которых Т. Это имеет место, если передаваемые сигналы и;(г) финитны и имеют одинаковую длительность (система синхронная), а в канале нет ни мно- голучевого распространения, ни линейных искажений, вызывающих увеличе- ние длительности сигнала (либо они скорректированы). В дальнейшем будем везде полагать, что в системе обеспечена надежная тактовая синхронизация, т.е. границы тактового интервала, на котором прихо- дит сигнал з;(г), известны точно. Вопросы синхронизации весьма существенны при реализации оптимальных демодуляторов и синхронных систем связи во- обще, но они выходят за пределы данного курса.
Момент начала посылки з;(г) примем за нуль. Определим в этих условиях алгоритм работы оптимального (т.е. основанно- го на правиле максимального правдоподобия) демодулятора, анализирующего сигнал на тактовом интервале О...Т. Для этого необходимо найти отношения правдоподобия для всех в возможных сигналов относительно нулевой гипоте- зы (г(г) = л(г)). Задача затрудняется тем, что ширина спектра сигнала бесконечна (поскольку он финитный), а поэтому пространство сигналов бесконечномер- ное У„(Т).
Для таких сигналов (или бесконечномерных векторов) не существу- ют плотности вероятностей. Однако существуют л-мерные плотности вероятно- стей для любых л сечеиий сигнала. Заменим вначале белый шум квазибелым, имеющим ту же одностороннюю спектральную плотность мощности М0, но только в некоторой полосе частот Р = и/2Т, где и» 1. Рассмотрим дополнительную гипотезу, т.е. будем считать, что ~(Г) — стационарный шум с нулевым МО. Возьмем на тактовом инт,рвале л равноотстоящих сечений через Л~ = 1/2Р = Т/и. Отсчеты ~ь...,~„в этих сечени- ях для квазибелого гауссовского шума независимы в соответствии с (2.89). По- этому л-мерная плотность вероятности для взятых отсчетов 2 , .;~„к„„,ю/ф)= ф~=,.~р1- —,~~'(~,)~, (522) т 1 где о~ = М0 Р— дисперсия (мощность) квазибелого шума.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
