Кловский Д.Д. и др. Теория электрической связи (1999) (1151853), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Таким образом, вероятность того, что принят символ Ь„если был передан Ьь '> В реальных каналах зто не всегда выполняется, так как при нарушении тактовой синхронизации модема число символов на выходе канала может оказаться больше или меньше, чем на входе. В данном курсе зто обстоятельство не учить|вается и синхронизация считается идеальной. з> Здесь и в гл. 5 для упрошения записи индекс у символа означает номер позиции кода. 153 Р Р(Ь,(Ь!) = т — 1' (4.52) 1 — р, Термин "без памяти" означает, что вероятность ошибочного приема символа не зависит от предыстории, т.е. от того, какие символы передавались до него и как они были приняты.
В дальнейшем, для сокращения, вместо "вероятность ошибочного приема символа" будем говорить "вероятность ошибки . Очевидно, что вероятность любого л-мерного вектора ошибки в таком канале где 1 — число ненулевых символов в векторе ошибки (вес вектора ошибки)') . Вероятность того, что произошло 1 ошибок, расположенных как угодно на протяжении последовательности длины п, определяется формулой Бернулли р(!! =' с.'(~) (! — р)" ', (4.53) и! где ~с = — биномиальный коэффициент, равный числу различных со- !( -1)( четаний 1 ошибок в блоке длиной л.
Эту модель называют также биномиальным каналом. Она удовлетворительно описывает канал, возникающий при определенном выборе модема, если в непрерывном канале отсутствуют замирания, а аддитивный шум белый (или по крайней мере квазибелый). Нетрудно видеть, что вероятность появления ошибок в двоичной кодовой комбинации длины и (кратному 1> 1) согласно модели (4.53) при Р ~< 1 Р(> 1,п) = ~~~ Сс„р'(!1 — р) = 1 — (1 — р) !епр.
! 1 Вероятности переходов в двоичном симметричном канале схематически показаны в виде графа на рис. 4.3. Постоянный симметричный канал без памяти со стиранием отличается от предыдущего тем, что алфавит на выходе канала содержит дополнительный (и + 1)-й символ, часто обозначаемый знаком "?". Этот символ появляется тогда, когда 1-я решающая схема (демодулятор) не может надежно опознать переданный символ. Вероятность такого отказа от решения или стирания символа рс в данной модели постоянна и не зависит от передаваемого символа. За счет введения стирания удается значительно снизить вероятность ошибки, иногда ее даже считают равной нулю.
На рис. 4.4 схематически показаны вероятности переходов в такой модели. Несимметричный канал без памяти характеризуется, как и предыдущие модели, тем, что ошибки возникают в нем независимо друг от друга, однако ве-. роятности ошибок зависят от того„какой символ. передается. Так, в двоичном несимметричном канале вероятность Р(1(0) приема символа 1 при переда- П В двоичном канале вес вектора совпадает с его нормой, определяемой в 9 2.2.
154 1 1 Р!111) =1 — Р(ч1) Рис.4.5. Переходные вероятности в двоичном несимметричном канале Рис.4.4. Переходные вероятности в двончном симметричном канале со стиранием Рис.4.3. Переходные вероятности в двоичном симметричном канале че символа О не равна вероятности Р(О)1) приема О при передаче 1 (рис. 4.5). В этой модели вероятность вектора ошибки зависит от того, какая последова- тельность символов передается.
4.5.1. НЕКОТОРЫЕ МОДЕЛИ ДИСКРЕТНЫХ КАНАЛОВ С ПАМЯТЬЮ 155 Если в постоянном симметричном канале без памяти условная вероятность ошибочного приема (1+ г)-го символа при условии, что 1-й символ принят ошибочно, равна безусловной вероятности ошибки, то в канале с памятью она может быть больше или меньше этой величины. Отклонение распределения ошибок от биномиального (канала без памяти) в реальных каналах вызывается различными причинами. Так, дискретным ото- бражением большинства радиоканалов является канал с памятью вследствие замираний, которые мы рассмотрели выше. Другой причиной могут являться атмосферные и взаимные помехи.
Иногда отклонение от биномиального рас- пределения вызывается особенностями метода модуляции и демодуляции (см., например, гл. 5 о сдвоении ошибок при использовании относительной фазовой модуляции — ОФМ). В унлотненных кабельных линиях связи причиной памя- ти считают коммутационные помехи, возникающие при переклЮчениях от- дельных элементов канала и по существу выводящих его на короткое время из строя. Простейшей моделью двоичного канала с памятью является марковская, определяемая матрицей переходных вероятностей =[' -'1 где Р! — условная вероятность принять (1+ 1)-й символ ошибочно, если пре- дыдущий принят правильно„1 — Р! — условная вероятность принять (1+ 1)-й символ правильно, если предыдущий принят правильно; Рг — условная веро- ятность принять (1'+ 1)-й символ ошибочно, если предыдущий принят оши- бочно; 1 — Р2 — условная вероятность принять (1+ 1)-й символ правильно, ес- ли предыдущий принят ошибочно.
-' 'Безусловная (средняя) вероятность ошибки в рассматриваемом канале р должна удовлетворять уравнению р = Р,Р(~', ))+ Рр~т',) = Р,р+ Р11 — р) . Откуда Р, р= ' . Эта модель очень проста для использования, однако она весьма 1+Р, — Р, неточно воспроизводит свойства реальных каналов. Несколько более успешно для дискретного канала с памятью используется модель Гильберта. Согласно этой модели канал может находиться в двух состояниях Я1 и Юг. В состоянии 51 ошибок не происходит, в состоянии 52 ошибки возникают независимо с вероятностью рз.
Переходы из одного состояния в другое образуют простую марковскую цепь с матрицей переходов где Р(Юз~51) — вероятность перехода из состояния 51 в Яз, Р(51~5~) — вероятность перехода из состояния 5з в 51. Вероятности нахождения канала в состоянии 51 и 5з соответственно (4.54) Безусловная вероятность ошибки При использовании модели Гильберта обычно полагают р2 = 0,5 (т.е. это состояние рассматривается как полный обрыв связи). Это хорошо согласуется с представлением о канале, в котором на некоторых временных интервалах изза плохих условий прохождения или действия мощных помех связь "пропадает", или с представлением о проводном канале на интервале, где действуют сильные коммугационные помехи или всплески импульсных помех. Модель Гильберта можно обобщить, введя в рассмотрение вместо двух У состояний канала.
Но тогда и усложняется ее использование. Относительно простую модель дискретного канала с группированием ошибок (с памятью) предложил Пуртов. В этой модели лишь два параметра: вероятность ошибок р и показатель группирования а. В модели Пуртова зависимость вероятности Р1>1, и) появления искаженной комбинации (с числом искаженных элементов >1) длины и характеризуется как отношение числа искаженных комбинаций У„„,(п) к общему числу переданных комбинаций У(п): 1~ „(и) Р[> 1,и~= Иш Вероятность Р1>1, и1 является неубывающей функцией от и. Согласно модели Пуртова Р[> 1, и] = и' " р, Если а = О, то Р1>1, и) = пр, что соответствует биномиальной модели (дискретному каналу без памяти). В этом случае нет пакетировая (группирования) ошибок. Наибольшее значение а (от 0,5 до 0,7) наблюдается на кабельных линих связи (кратковременное прерывание связи). В радиорелейных линиях (где бывают интервалы с большой интенсивностью ошибок и интервалы с редкими ошибками) а = 0,3...0,5; для некоторых линий коротковолновой радиосвязи а = 0,3...0,4.
Согласно модели Пуртова-Попова вероятность наличия комбинации длиной п с г и более ошибками 156 Ф / (4.55) 4.5.2. МОДЕЛЬ ДИСКРЕТНО-НЕПРЕРЫВНОГО КАНАЛА Дискретно-непрерывный канал с независимыми символами Ь| на входе и непрерывным сигналом 4г) на выходе описывается априорными вероятностями входных символов Р(Ь;) и переходными (условными) плотностями м[х1Ь;1 принимаемой реализации ~(г) (на заданном интервале 7) при условии передачи символа Ь;.
Эту плотность называют функцией правдоподобия (см. гл. 5). Вместо функций правдоподобия дискретно-непрерывный канал можно описать апостериорными вероятностями Р(Ь;1х) передачи символа Ь; при фиксации на приеме колебания 4~). Согласно формуле Байеса р(ь) ~~ь,1 в(к) где плотность принимаемого колебания и~~к1 = ~~~ Р~Ь,)и~х~Ь,~. г=о Непрерывно-дискретный канал описывается аналогично.
4.6. МОДЕЛИ НЕПРЕРЫВНЫХ КАНАЛОВ СВЯЗИ, ЗАДАННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИМИ Рассмотрим другой подход к построению математических моделей каналов (сигналов), который частично был затронут в гл. 2. Выше соотношения между входным и выходным сигналами задавались интегральными преобразованиями (например, интегралом Дюамеля). При этом для нахождения выходного сигнала требуется знать помимо характеристик цепи (канала) также входной сигнал, действовавший на всем промежутке его существования до текущего момента г. Во многих случаях более гибким является такое описание, при котором вся предыстория до некоторого фиксированного момента времени Го заменятся заданием некоторого начального состояния цепи.
Зная характеристику цепи 157 Анализируя (4.55), можно делать вывод, что при заданном и чем больше группирование ошибок (больше г), тем меньше число искаженных кодовых комбинаций. Это очевидно,ибо при одном и том же числе ошибок пакетирование приводит к их сосредоточению на отдельных комбинациях (кратность г возрастает), а число искаженных комбинаций уменьшается. Иногда в качестве модели канала с памятью используют модель, в которой вероятность вектора ошибки Е(") не зависит от передаваемой последовательности. Вероятность каждого вектора ошибки считается заданной и, вообще говоря, не определяется его весом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
