Кловский Д.Д. и др. Теория электрической связи (1999) (1151853), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Вторая из указанных задач является более общей. Из ее решения, очевидно, может быть получено решение первой задачи. Однако в дальнейшем огра- 138 т 1И в„(г) = +~г) г(г- )я = т о О, Ц>Т. Характеристику б,Я легче вычислять по формуле ~ь.1' ~ -( — ".') а,И= — = — ~ г)е-'"га =т т т вТ 2 чем по формуле прямого преобразования Фурье от В,(о) . Средняя мощность входного сигнала Р, =В,(О) =1вт. Спектральная плотность мощности выходного сигнала . -'( —,") С,( Г) = СГ.(Г))К(1в))' = т ( вт1' 1+(вЛС)' 2) ничимся рассмотрением только первой задачи и лишь укажем пути решения второй, более сложной задачи. Так, можно утверждать, что если полоса частот Г„, занимаемая входным случайным процессом Х(~), много шире полосы пропускания ЬГ данной линейной системы, то распределение выходного случайного процесса Щ имеет тенденцию приближаться к гауссовскому.
Действительно, в стационарной детерминированной линейной системе с финитной т.е. ограниченной во времени пределами О..л ИХ я(г) отклик ч У Ф)= ~КИХ(! — )Я=1 ',~ Я(мт)Х(г-мт)Лт. (4.39) Ьс-+О Шаг дискретизации Лт можно выбрать равным интервалу корреляции входного процесса 1~Р;. Допустим, что входной процесс центрирован Х(~) = О, тогда центрирован и выходной процесс. Узкая полоса пропускания ЛГ означает, что длительность импульсной характеристики т велика по сравнению с Лт.
и Сечение выходного процесса Щ в любой момент времени ~ определяется согласно (4.39) М слагаемыми суммы, В эту сумму входит много некоррелированных между собой сечений процесса Х(г). Распределение вероятностей такой суммы согласно центральной предельной теореме теории вероятности близко к гауссовскому (тем ближе, чем больше М, определяемое отношением Г/ЛГ).
В предельном случае, если на вход канала воздействует белый шум, у которого ширина спектра бесконечна (не совпадающие во времени отсчеты не коррелированы), а канал имеет ограниченную полосу пропускания, то М-+ о и выходной процесс будет строго гауссовским. Отмеченное свойств6 линейного канала сохраняется и при изменении параметров канала. Используя правила нахождения законов распределения для функций от случайных величин (случайных процессов), можно в принципе находить и распределение выходного процесса любого порядка, если известно распределение входного процесса. Однако определение многомерных вероятностных характеристик отклика линейных систем оказывается весьма громоздким и сложным, несмотря на то„что для решения этой задачи разработан ряд специальных приемов.
Далее займемся определением функции корреляции выходного процесса. Мы показали в ~ 2.5, что для стационарных случайных процессов существует пара преобразований Фурье между ФК В„(т), В,(т) процессов Х(г) и 1(г) и их СПМ 6А~), б,(1') . Поскольку для стационарной линейной системы и при случайных стационарных воздействиях справедливо соотношение (4.38), то ФК выходного стационарного процесса г(г) О В,(т) = ~а„ЯК'Яе™ ~, Можно показать 115], что ФК отклика детерминированной параметрической системы на стационарные входные воздействия Х(г) определяется формулой В,(~,т) = г) О„ЯК(уь,~~К(- уь,~+т~е~ф „ (4.40) т.е. в данном случае выходной процесс, вообще говоря, нестационарен.
139 Пример. Линейный канал осуществляет переменную во времени задержку входного стационарного случайного процесса Х®: у(с) = а(Х(с-Ь(с))1. Найти функцию корреляции В„(с,т) . передаточная функция канала к(1се,с) =ав '"аа1, а корреляционная функция выходного процесса В (с,т)= а' ~0„(/)е " '"и' "«"'""ср . если ь(1) = 1с1 (например, доплеровское сме- О щение частоты, когда ус~ = Ц/с ~ 1, т, — радиальная составляющая скорости взаимного перемещения передатчика и приемника), то В (т) = ат ] б,(/)е'"~'ц+ 11ф = а В„1т(1+ 'т)], т,е.
в этом случае выходной процесс стационарен, а его спектральная плотность мощности О а2 0 (/)= а 1В,(т(1+/с)]Е 1~ат= — б,( — ]. У а 1+я с 1+/с/ Ю 4.3.5. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ В ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ КАНАЛАХ Ограничив рассмотрение нелинейных преобразований моделью (4.2) у(с) = ф[х(с)], заметим, что преобразование х -+ у, как правило, однозначно, что не всегда можно сказать об обратном преобразовании у -+ х (например, квадратичная цепь с характеристикой у = Йх'). При нелинейных преобразованиях возникает трансформация (изменение) спектра входного воздействия.
Так, если на вход нелинейной системы воздействует смесь регулярного сигнала и аддитивного шума х(1) = у(г) + Ф(г) в узкой полосе частот Р;, группирующейся около средней частоты /;, то в общем случае на выходе будут присутствовать составляющие комбинационных частот трех видов, группирующихся около частот и)" (и = О, 1, ...): продукты взаимодействия составляющих входного сигнала между собой (с х с), продукты взаимодействия составляющих входного шума (ш х ш); продукты взаимодействия сигнала и шума (с х ш).
Разделить их на выходе системы обычно невозможно. Если известна характеристика у = ф(х) нелинейной системы и двухмерная фуНКцИя раСПрЕдЕЛЕНИя ВХОДНОГО ВОЗдЕЙСтВИя Ьа(Х1, Хт, 11, ГЗ), тО ОСНОВНЫЕ Характеристики выходного процесса (МО и ФК) в принципе всегда можно определить. Так, математическое ожидание отклика У(г) =ф(Х(1))= ) ф(х)та(х,1)с6с, а его корреляционная функция В („с)= ~ Яф(х,)-У(1)] ~ф(х,)-У(1+т)~в(х„х,;1,1+т~сЬйх,.
Прямым преобразованием Фурье можно по ФК найти и спектральную плотность мощности процесса Щ. Анализ прохождения случайных воздействий через нелинейные цепи сильно упрощается для узкополосных воздействий, если воспользоваться их квази- гармоническим представлением. Пример. Прохождение через квадратичный детектор суммы гармоническом сигнала зф = Уссоаве1 и стационарного квазибелото узкополосного шума )т(1) = Хс(1)созае8 + Х,(с)ащсьес, где Х; (с), Х, (1) — некоррелнрованные квадратурные гауссовские 140 компоненты шума, у которых га„=ге =О, В„(г)= Вх (т) = В(т), а СПМ равномерна и ограничена полосой г'„« 1 . Дисперсия входного шуМа ог = В(0) . Суммарное входное колебание можно представить в виде ф)-Ар) 4, -в( г, ф)-,ь,+к.'я+х,'(), нд-~ Как известно, огибающая А(1) имеет обобщенное распределение Рзлея (см.
(2.137)). ОСП цг на входе приемника (детектора): р,„= 2В(о) ' Суммарное колебание на выходе ФНЧ с единичным коэффициентом передачи 1г( ) у(г) = = 0,5[юг~~ + Х~(г)+ Х~(г)+ 21/~х,(г)) . Первое слагаемое у,(г) = 0,5 У,' определяет сигнал, остальные — помеху Уп(г)= ф.'(1) .'(г)1 .Х.(г). Математическое ожидание помехи Уп(г) = 0,5( Хг(г)+ Х~(г)) = В(О) . Дисперсия помехи 1г(гп) = (Уп(г) — В(0)) = В'(0) — Богв(0). Здесь учтено, что для центрированных гауссовских величин х,'=х,'=зв'(о), х,'=х,'=о, х,'=х,'=в(о); ОСП на выходе квадратичного детектора 11(1п) 4~В (0)+ Ров(0)' 1 ~ 2рах При значениях р,„»1 имеем р =0,5р, а при малых значениях р «1 следует р =рг„; ОСП на выходе детектора (приемника) в этой области резко уменьшается с уменьшением р,„(сильный шум "подавляет" сигнал) 4.3.б. ПРОХОЖДЕНИЕ СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ СЛУЧАЙНЫЕ КАНАЛЫ СВЯЗИ Помимо рассмотренных детерминированных преобразований сигнала в отдельных звеньях канала (в частности, в линии связи или среде распространения волны) имеют место и случайные преобразования сигнала.
В простейшем случае это преобразование сводится к суммированию сигнала с независимым от него случайным процессом, называемым авдитивной помехой или аддитивным шумом. В более сложных каналах к этому добавляются случайные изменения параметров канала, в результате которых даже в отсутствие аддитивных помех принимаемый сигнал не определяется однозначно передаваемым. Рассмотрим в общих чертах характерные преобразования сигнала в случайных линейных каналах (цепях). Случайный линейный канал. В самом общем виде линейную систему (или линейный канал) можно описать случайной ИХ (г(г,т), имеющей тот же смысл, что и д(г,т) в (4.7), но представляющей случайную функцию двух аргументов: г (момента наблюдения реакции) и т (времени, прошедшего с момента подачи бимпульса на вход цепи). Такова, например, ИХ любой линейной системы, параметры которой подвергаются воздействию случайных внешних влияний, например температуры, давления, влажности и т.д.
141 (4.42) Случайный линейный канал можно характеризовать также случайной пере- даточной функцией переменных в и г О К(1в,г) = 16(г,т)е ~сИ. (4.41) Можно показать 115], что функция корреляции процесса г(г) на выходе случайного канала с характеристикой (4.41) при подаче на вход стационарного процесса Х(г) определяется выражением В,(г,т) = ~б„(~)П„(~,т,г)е~грг, где Пк(г",т,г) = К(1в,г)К( — 1в,г-т) — системная характеристика случайного кана- ла. Для детерминированного канала П (1',т,г) =К(1в,г)К( — 1в,г+т), и из (4.42) следует (4.40). Остановимся подробнее на моделях, с которыми чаше всего приходится встречаться. Обобшая модель (4.25) для случайного входного воздействия Х(г), получаем г'(г) = у Х(г — т), (4.43) где параметры т и (или) у флуктуируют.
Обычно такие флуктуации в проводных линиях связи вызываются измене- ниями внешних условий и происходят чрезвычайно медленно'> и в очень не- больших относительных пределах. В радиоканалах при многолучевом распро- странении волн, в гидроакустических каналах и других флуктуации выражены более заметно. Если входной сигнал узкополосный, его удобно представить в квазигармо- нической форме: Х(г)=А(г)со~вог+Ф(г)~, где А(г) и Ф(г) — медленно меняю- щиеся функции. Поэтому при достаточно малой задержке т можно в первом приближении считать А(г — т) м А(г) и Ф(г — т) м Ф(г), а выходной сигнал (4.43) записать следующим образом: У(г) = уА(г — т) соз(в,(г — т) + Ф(г — т)] м уА(г) сов~в,г+ Ф(г) +0~ = (4.44) = у сов0Х(г) — у ян0Х(г), где 0 = — вот — фазовый сдвиг в канале, а Х(г) — процесс, сопряженный с Х(т) по Гильберту. Таким образом, при узкополосном сигнале малая задержка сводится к не- которому сдвигу фазы.
Важно отметить, что даже при очень малых относи- тельных флуктуациях времени задержки т фазовый сдвиг 0 (из-за больших зна- чений ао) может изменяться в очень больших пределах. Для этого достаточно выполнения условия Ьт» 1/~;, где Лт — среднеквадратическое отклонение за- держки, ~~ — средняя частота спектра сигнала. Это условие в радиоканалах обычно выполняется. Более сложный случай имеет место, когда сигнал проходит по параллель- ным путям от входа Канала к его выходу (рис. 4.2), так что на выходе каждого пуги сигнал имеет вид (4.44), но значения у и т для разных путей различны и к П Зто значит, что за время длительности отсчетного интервала Д = 1/2Г, где à — ширина спектра сигнала, параметры канала не успевают заметно изменяться, 142 тому же в небольших пределах флуктуируют.
Такого рода мно- у! т! и(!) гопутевое распространение + сигнала характерно для боль- шинства радио-, гидроакустиъ»ч ческих и некоторых других ка- Рис.4.2. Многопутевое распространение сигнала налов (в том числе проводных). Энергия волны распространяется обычно в неоднородной среде и испытывает отражение от различных неоднородностей. Эти неоднородности могут быть распределены внутри относительно небольшого отражающего (рассеивающего) объема. В этом случае разности хода (разности значений т) для отдельных путей невелики. Если по такому каналу направить очень короткий импульс, то и на его выходе импульс будет довольно коротким. Такой канал принято называть однолучевым. Наличие разных путей ("подлучей", как их часто называют [141) не вызывает в этом случае существенного рассеяния (растяжения) сигнала во времени, но приводит к возникновению явления замираний, которое заключается в более или менее быстрых случайных изменениях передаточной функции канала (мультипликативная помеха).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
