Кловский Д.Д. и др. Теория электрической связи (1999) (1151853), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Условия (4.1) не выполняются, следовательно, система нелинейна. Строго говоря, все физические каналы связи и составляющие их звенья (цепи) в той или иной степени нелинейны. Однако очень много каналов (цепей) весьма точно описываются линейными моделями, Так, практически всегда можно пренебречь нелинейностью обычных резисторов, конденсаторов„ некоторых индуктивных элементов, среды распространения электромагнитных волн при обычных мощностях передатчиков и т.д. Нелинейные каналы (цепи) содержат в себе обычно такие элементы, как полупроводниковые диоды и транзисторы, имеющие сложные вольт-амперные характеристики.
Нелинейные каналы характерны также для некоторых сред распространения радио- и оптических волн при повышенной мощности передатчиков. Построить общие математические модели и анализировать нелинейные каналы (цепи) ввиду того, что не работает принцип наложения, значительно сложнее, чем анализировать линейные каналы (цепи). В этой связи мы ограничим рассмотрение нелинейных каналов только детерминированной безынерционной одномерной нелинейной моделью, когда сигналы на выходе у(1) и входе канала х(г) связаны соотношением у(т) = <р[х(г)~ . (4.2) Соотношением (4.2) достаточно точно может бьггь охарактеризована работа ряда звеньев реальных каналов связи, например входящих в состав модуляторов и демодуляторов (см, гл.
3), ограничителей и т.п. 4.3. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИГНАЛОВ В ЛИНЕЙНЫХ И НЕЛИНЕЙНЫХ КАНАЛАХ 129 Передача сигналов по реальным каналам связи всегда сопровождается изменениями (преобразованиями) этих сигналов, в результате чего принятые сигналы отличаются от переданных. Отличия эти обусловлены прежде всего линейными и нелинейными преобразованиями входных сигналов, а также наличием аддитивных шумов в канале, существующих чаще всего независимо от передаваемых сигналов.
С точки зрения передачи информации по каналу важно подразделение преобразований сигнала на обратимые и необратимые. Обратимые преобразования не влекут за собой потери информации (см. гл. 6). При необратимых преобразованиях потери информации неизбежны. Для обратимых преобразований сигнала часто используется термин искажение, а необратимые преобразования называют помехами (алдитивными и неаддитивными). (4.4) 130 4.3.1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ В ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ЛИНЕЙНЫХ КАНАЕАХ Пользуясь фильтрующим свойством Ь-функции„запишем Ю х(г) = ) х(т)Ь(г-т)Ж.. (4.3) Выражение (4.3) можно рассматривать как динамическую модель сигнала, показывающую ход его развития от -сс до точки б Поскольку Ь(~ — т) = 0 при т > ~, то (4.3) можно записать как х(г) = ~х(т)Ь(г-т)Ж.
Введем в рассмотрение импульсную характеристику (ИХ) ф1) линейного стационарного канала как его отклик в момент времени г на Ь-импульс, поданный в момент времени О. Тогда отклик такого канала на элементарное воздействие х(т)сИЬ(г — т) равен х(т)дц(г — т), а отклик на сигнал (4.3) в соответствии с принципом суперпозиции с 6Р у(г) = ) х(т)й(г — т)Ж = ) х(т)й(г-т)Ж. (4.5) Верхнюю переменную г в интеграле можно заменить на со, так как из условия реализуемости системы (отклик системы не может появиться раньше воздействия) фу — т) = О, при б — т < О или т > й Выражение (4.5) называют интегралом Дюамеля. Он определяет отклик линейной стационарной системы у(~) как свертку сигналов х(г) и д(г): у(~) =х(1) Э е(~).
(4,6) Формула (4.5) имеет наглядный физический смысл: линейная стационарная система выполняет над входным сигналом операцию взвешенного суммирования всех его мгновенных значений, существовавших в прошлом при— сс < т < ~. Роль весовой функции играет ИХ. Физически реализуемая система должна быль также устойчивой: возникающие от внешнего толчка (воздействия Ь(г)) собственные колебания должны с течением времени затухать, что требует вьпюлнения условия абсолютной интегрируемости: ~~й(~)~а ( ю. Формулу (4.5) можно обобщить на случай. линейном нестацнонарного (параметрического) канала: у(г) = ) м(т)я(г,т)4т, (4.7) если учес1ь, что ИХ б(Г, т) — это огклик канала (системы) в момент г на б-импульс, поданный ко входу в момент 1 — т.
Длл стационарной системы е(г, т) = е(т). Если канал (система) имеет в входов и л выходов, можно ввести в рассмотрение матрицу импульсных характеристик й(б т) с парциальными импульсными характеристиками я, (бг),1=1,л, 7=1,е, и обобщить (4.7) для многомерного случая у(г) = )х(т)Яб фч, где х(г) — гл-мерный вектор; у(г) — л-мерный вектор.
Преобразование Фурье от Х(Г,т) по переменной т О к(7',г)= ~х(бт)е1 4т определяет передаточную Функцию линейного канала с переменными параметрами, которая является функцией не только частоты, но и времени. (4.9) (4.12) 131 Для стационарных линейных каналов (систем) передаточная функция (комплексный коэффициент передачи или частотная характеристика — ЧХ) не зависит от времени, поскольку ~а К(у) = Ь(т)е ' Ж . (4.8) Импульсную характеристику фГ) можно найти из К(~) обратным преобразованием Фурье: О а(Г) = ) К(7)Е '"аГ .
Спектр Фурье свертки (4.6) равен (см. задачу 2.6.) ',(~) =..(~)к(~), (4.10) где Я,(~), Я,(~)- спектральные плотности входного и выходного сигналов. Зная спектральную плотность выходного сигнала (4.10), можно найти выходной сигнал у(г) обратным преобразованием Фурье: у(г) = ) Я,(~)К(~)е1"а7 . (4.1 1) Соотношения (4.10) и (4.11) определяют спектральный (частотный) метод анализа линейной стационарной системы, в то время как соотношение (4.4) определяет временной метод анализа этой системы.
Спектральный метод анализа линейных стационарных систем можно обобщить, если от преобразований Фурье входного х(г) и выходного у(г) сигналов перейти к их преобразованиям Лапласа. Предположим, что х(г) — вещественный или комплексный сигнал, определенный при г > 0 и равный нулю при г < О. Преобразование Лапласа этого сигнала — это функция комплексной переменной Р = 6+)сз > определяемая интегралом р'„(р) = ~х(1)Е "а1Г; (4.13) о Г(р) называют изображением для сигнала х(1). Интеграл (4.13) существует (абсолютно сходится) при (х(г)) < Ае (А, а — положительные числа), если Кер> а.
(4.14) Ф+~а х(г) = —. ~Р,(р)С'"ф. 2л1, . (4.16) Из соображений сходимости надо, чтобы выполнялось условие с > а (см. (4.14)). Изображения по Лапласу оказываются в точках комплексной плоскости р (за исключением счетного числа так называемых особых точек, которые, как правило, полюсы, однократные или многократные) аналитическими функциями (непрерывные функции с производными любого порядка).
Это позволяет для вьгчисления интегралов типа (4.16) пользоваться достаточно простым и отработанным методом теории вычетов. Чтобы использовать методы теории вычетов для интегрирования (4.16), надо сначала от этого интеграла перейти к интегралу по замкнутому контуру Рисяя, Образование замаиугого контура интегрирования х(г) = —.~Р„(р)е'".
1 (4.17) 2л1 Контур интегрирования в (4.17) образован добавлением к прямой о = а дуги бесконечно большого радиуса Я (рис. 4.1). Для того чтобы добавление этой дуги не изменило значение интеграла (4.17), надо, как доказывается в теории функции комплексной переменной р: при положительных значениях 132 Число а называют абсциссой абсолютной сходимости.
Выражение (4.13) можно рассматривать как обобщение преобразования Фурье (для сигналов, определенных при г > 0) на случай комплексной частоты (4.12). В литературе имеются таблицы большого числа функций х(г) (оригиналов) и их изображений Г,(р), что часто делает излишним выполнение операции обратного преобразования Лапласа. Так, для функции х,(г) = А, еи' 1(г), р, = а, + гго„ Р; (р) = А,) е ~~и 1'агг = А, Р Р~ Учитывая линейность преобразования Лапласа, можно утверждать, что изо- бражению (сумме простых дробей) А, и Р'(р) = ~ ' соответствует оригинал х(г) = ~А„е"'1(г) . ви Р 1 1 Оригинал х(г) по заданному изображению Г,(р) можно в общем случае на- ходить обратным преобразованием Лапласа. Для этого в формуле обратного преобразования Фурье О х(г) = — ') Б(1'го) е1"~ ы (4.15) 2п следует осуществить аналитическое продолжение, перейдя от мнимой пере- менной 1го к комплексной переменной р = гг + га.
Так как гЬ = с(р/3, то из (4.15) следует С(р )е"'(р- р) С(р,)е" 13(р,) - ж3(р) (4.22) С(р) е" Если функция — имеет в точке р; полюс кратности К, то ее вычет ~э~р) С(р)е" (р- р,) 4р) ~К-! А — (К 1)~,~ к-! (4.23) Если интеграл в (4.20) берется при ~ > 0 (контур замыкается в левой полу- плоскости), то согласно 'теореме о вычетах он не равен нулю, так как все полюса подынтегральной функции попадают внутрь контура интегрирования. Действительно, полюса Г„(р) лежат внутри этого контура, что обусловлено выполнением условия.с > а.
Полюса р!, операторного коэффициента передачи К(р) устойчивой линейной стационарной системы лежат в левой полуплоскости переменной р, так как свободное колебание в системе (существующее при 133 располагать дугу с радиусом Я в левой полуплоскости и вести интегрирование по замкнутому контуру против часовой стрелки (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
