Кловский Д.Д. и др. Теория электрической связи (1999) (1151853), страница 33
Текст из файла (страница 33)
4.1); при отрицательных значениях ~ располагать дугу с радиусом Я -+ о в правой полуплоскости и вести интегрирование по замкнутому контуру по часовой стрелке (рис. 4.1, штриховая линия). Согласно теореме Коши о вьгчетах, интеграл по замкнутому контуру фР„(р)е~'йр = 2в3~йег„[Р„'(р)е' ), (4.18) и 1 где Кел„[Г,(р)е'") — вьгчет подынтегральной функции Г.(р)е относительно ее и-го полюса, который лежит внутри контура интегрирования. Вводя вместо передаточной функции линейной стационарной системы К(3а) ее операторный коэффициент передачи К(р) (т.е. формально, перейдя от мнимой частоты 1а к комплексной частоте р), получаем для изображения Р,(р) (преобразование Лапласа) отклик системы у(~) на воздействие х(Г): Мр) = Мр)К(р) (4.19) Функция у(г) определяется аналогично (4.17): уЯ = —.ф Г,(р)К(р)е "ар.
(4.20) 2Ч Анализ цепи посредством формул (4.19) и (4.20) называют ор!ераторным. Для интегрирования (4.20) методом теории вычетов надо прежде всего знать полюса функции Г(р)К(р)е (т.е. значения р, при которых эта функция обращается в бесконечность). Представим эту функцию в виде С(р) „ С(р)е'" Р'„(р)К(р)е!" = ( ) е" — ( )( ) ( . ) ), (4.21) где р; — с-й полюс функции.
Вычет рассматриваемой функции, имеющей в точке р; простой полюс (первой кратности), отсутствии внешнего воздействия) совершается по закону е"'. Эти колебания стремятся к нулю с ростом г (условие устойчивости) лишь при КеЫ < О. Если интеграл в (4.20) берется при г < О (контур замыкается в правой полуплоскости), то он равен нулю, так как при Ке1р1 > с нет полюсов внутри контура интегрирования. Этот результат очевиден, поскольку входное воздействие начинается лишь при г = О.
Пример. Найдем операторным методом ИХ интегрирующей цепочки с операторным'ко- 1 эффипиентом передачи К(р) = Изображение Лапласа для 5-функции 1+ рЯС О Р;(р) = ~ 5О)е яс11 = 1. Тогда изображение отклика 0 1 1 1+ рЯС 1 Я р+— лс Оригинал 1 г 1 2я1ЛС р+ 1/ЛС подынтегральная функция имеет один простой полюс р1 = — 1/Яс Вычет в этом полюсе 1 Кезе"' =6 еяс при г~ 0 и используя теорему о вычетах, имеем х(г)= — е '~яс1(г).
1 лс Линейный стационарный канал (цепь) является неискажающим (не меняет форму входного сигнала), если ~(1) = уб(1- Г,), (4.24) где у — масштабный коэффициент; ~1 — постоянная задержка в канале. Дейст- вительно, подставив (4.24) в (4.4) и учтя фильтрующее свойство Ь-функции, получаем у(Г) = у х(1- Г,). (4.25) Импульсной характеристике (4.24) соответствует согласно (4.9) передаточ- ная функция канала К(у) = К(у)е"'(г~ = уе "", т.е.
АЧХ не зависит от частоты, а ФЧХ 1р(у) = — 2луг, линейно меняется с часто- той. В реальных каналах связи, даже когда можно пренебречь аддитивным шу- мом, преобразование сигналов имеет сложный характер и обычно приводит к отличию формы выходного сигнала от входного. 4.3.2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УЗКОПОЛОСНЫХ СИГНАЛОВ В УЗКОПОЛОСНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ КАНАЛАХ Многие каналы (цепи) можно считать узкополосными, когда модули их передаточных функций к( 1в) имеют существенные значения лишь в малой окрестности частоты +ге0. В то же время и входные сигналы х(г) можно чаще всего в линиях связи считать узкополосными (квазигармоническими, см. й 2.2).
Поэтому представляет интерес упрощенный метод расчета преобразований таких сигналов, вводящий в рассмотрение низкочастотный эквивалент канала с передаточной функцией Г(1й) или Г(Я. 134 Спектральную плотность узкополосного входного сигнала х(г) со средней частотой спектрами~ на положительных частотах ( — 4 — на отрицательных частотах) можно представить в виде Ц .(З )= ' '.(1( -")).+05 '.(-1( + .)) (4.26) где А, — комплексная огибающая входного аналитического сигнала: х(г)=А„(г)е ". Докажем (4.26).
Учитывая, что «(Ф) = к~я!в - 0 5 (й(~) ~ ц!)) = 0(А (Ф) е"" + А, (г) е ""), имеем о,(Зв)= ~Ке(х(г))е "'"пт'=05~А (г)е '~" "1ач+05 ~А.(г)е '(" ')сИ. (427) Введем обозначение Я,. (1(в -а,)) = ~ А,(г)е ( "'"Ж. Заменяя переменную (в области положительных частот) а — ас = й, запи- сываем 0 Очевидно, что с учетом узкополосиости сигнала два слагаемых (4.26) Не перекрываются по спектру. Л Два слагаемых в правой части (4.29) не перекрываются по спектру.
135 Я. (3й)= ~л,(г)е ""й. (4.28) Выражение (4.28) определяет спектр по Фурье комплексной амплитуды А,(г), который расположен в области низких частот. С учетом (4.28) из (4.27) следует (4.26). Из (4.26) следует, что спектр А,(г) (4.28) можно получить как удвоенное значение Я.(~в) в области положительных частот при замене а-ае на й. Аналогично, полагая что средняя частота в полосе пропускания канала с характеристикой К()а) на положительных частотах равна вс (на отрицательных -ас) можно записать К()'в)= ~аа(8(г)+Я,г) =у(г)е'""~е ' й= = 0+(г) е " '"й+05~у(г)е ( ')й = ГЦа-в,))+Г(-1(а+а,)) 2),(4.29) где 8(г) — сигнал, сопряженный с я(~) по Гильберту, у(г) — комплексная огибающая ИХ узкополосного канала 8(г), а Г(5й) =0,5~у(г)е ~'а (4.30) передаточная функция низкочастотного эквивалента канала с ИХ 8 .(г) = 0,5у(г), имеющая существенные значения лишь в области низких частот.
ко найти их 8(т). передаточная функция низкочастотного эквивалента Г(1в) = 1+ 1к1тк затем согласно (4.30) определим комплексную огибающую ИХ т(г) = — ) .' ед" кз. (4.32) оо 1+ )Г1т к Интегрирование выполняется просто при помощи теоремы о вычетах, если считать в ин- теграле, что й = а +1Ь является комплексной переменной. Замыкая вещественную ось дугой бесконечно большого радиуса в верхней полуплоскости (при г > О), перейдем от (4.32) к рав- К, г Е1о' ному по величине интегралу по замкнутому контуру: т(0 = —. 1ат„о кз+ 1Дтк Подынтегральное выражение имеет единственньгй полюс в точке й, = — 1/(1т„).
Вычет в 2 КО этой точке согласно (4.22) йез, = Ека . Используя (4.18), получаем у(г) = — 'Е "1(1), тле 1(г)— го единичная функция. Согласно (4.31) ИХ С о ~гк, —, 1 гк, — —, 8(г)=ве] — е ",е"""1(г)~= — Е "созв,г 1(г). ~ тк тк По (4.10) определяем спектральную плотность выходного сигнала Ю4а), как произведение правых частей (4.26) и (4.29). Учитывая сноски на двух пре- дьшуших страницах получаем Ьк()а)=0,55„[3(а — ао)]Г[3(а — ао)]+0,5Ьл,[-3(а+во)]Г[ — 3(а+во)], (4.33) Спектральную плотность >у(1а) можно аналогично (4.26) йредставить через спектр по Фурье комплексной амплитуды А„выходного сигнала: Бу()а) = 0,55„. [3(а — ао)]+0,55л„[ — 3(а+во)]. (4.34) Приравнивая правые части (4.33) и (4.34) и обозначая а — аб = й, находим низкочастотный эквивалент соотношения (4.10): л„.
(3а1= Я„. (3а1Г(3а). (4.35) Исходя из (4.35) и учитывая (4.30), комплексную огибающую выходного сигнала можно найти и посредством свертки: А (1) = 0,5 ~ А„(т) у(1 - т)от . (4.36) Сам выходной сигнал у(1) = Ве[А,(1) е"""]. (4.37) 136 Из формулы (4.29) следует, что характеристику Г(1й) можно получить нз К(3а) в области положительных частот, полагая в ней а — ас = й.
Действительную ИХ узкополосной системы можно выразить через частотную характеристику низкочастотного эквивалента с учетом (4.30) так: ого = кчуо)ев" 1= к~в"" — 1г1дс)е' ас]. (4.31), и Пример. Одноконтурный резонансный усилитель имеет на положительных частотах передаточную функцию (ЧХ) К()в) =, где тк = 212/в — постоянная времени контура. ко 1+ 1(в -во)тк Пример. На входе одноконтурного резонансного усилителя из предыдущего примера действует амплитудно-модулированный сигнал х(г) = е ы созе,~ 1(Г), а > О.
Найти отклик усилителя. Здесь А,(г) = Е ы1(Г). Согласио (4.36) А (Г)= — ~1Е Е "ат1(Г)= ' Е -Е '* 1(Г). у "о 1 — ат у. / СОГЛаСНО (4.37) ОТКЛИК уСИЛИтЕЛя у(Г) = — Е ы -Е " Сева ОГ 1(Г). 1- ат„~ Отметим, что в некоторых задачах комплексную огибающую А,(г) можно найти без формул (4,35) или (4.36), пользуясь обычными методами комплексных амплитуд из теории -цепей. Реализовать комплексную фильтрацию (4.35) или (4.3б) можно посредством квадратурной обработки сигнала [11]. 4.3.3.
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ Рассмотрим преобразования энергетических характеристик детерминированных сигналов длительности Т в линейных стационарных системах (каналах). Учитывая определение СПМ, данное в ~ 2.5, можно выразить связь между этими характеристиками на выходе и входе детерминированного линейного стационарного канала: аЯ ~~Я з и Я Я л,'~~), (4.38) Средние мощности сигналов на входе и выходе системы определяются со- О О отношениями Р ~ б ( / )ф Ру ) бу( / )ф В й 2.5 было также показано, что ФК В,(т) сигнала х(г) и его СПМ С.исвязаны парой преобразований Фурье. Если ввести в рассмотрение ФК для ИХ системы (канала): В,(т)= ~8(г)8(г — т)сй, то, используя обобщенную формулу Рэлея (2.137) и соотношение (4.8), можно получить В (т) = ~К'Яе'"ф и Кф) = ~В Яе ' сй, т.е.
ФК системной характеристики 8(г) и коэффициент передачи системы по мощности а.'И связаны парой преобразований Фурье. Используя спектральное соотношение (4.38), можно утверждать, что ФК выходного сигнала у(г) определяется сверткой ФК входного сигнала х(г) и ФК импульсной характеристики системы В,(т)=В.(т)ЭВ,(т)= )В.()В,(т- )~ . 1 Пример. На вход интегрирующей цепочки с коэффициентом передачи К(1е)= 1+ 1аЛС поступает прямоугольный видеоимпульс с единичной амплитудой длительностью Т: х(г) = 1(г) — 1(à — 7).
Найти ФК, СПМ и средние мощности сигналов на входе и выходе цепи. 137 о1п'— Тогда В„(г) = Т 1,, ег'в41" . вТ 1+(втгС)О 2 Средняя мощность выходного сигнала (,т)* ~ ° (,ясг, ~ (мс)', 2 гонг х 1 я~ аг о„Л Используя табличный интеграл Е = — ~1- — (1-Е '"~~, г2 1+во г2 2 2 о получаем -ггас) При т)ггс — ош имеем Р =1 (это максимальное значение при вариации параметра т -г1ас Т 1~ Т ,о ГгС) Т ). При — к 1, разлагая экспоненту в ряд Е в 1 — — + — ( — ), получаем ТгС лс г (.яс! ' ~, -од( — ).
4.3.4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ В ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ЛИНЕЙНЫХ КАНАЛАХ Исследование преобразований случайных процессов при их прохождении через динамические системы (как с регулярными, так и со случайно меняющимися параметрами) связано с решением задач двух типов: определение корреляционной функции (спектральной плотности мощности) отклика у(1) на выходе системы, заданной своими характеристиками, по данной корреляционной функции (или спектральной плотности мощности) входного воздействия Х(1); определение многомерного распределения вероятностей отклика 21г) на выходе системы по многомерному распределению входного воздействия Х(1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
