Кловский Д.Д. и др. Теория электрической связи (1999) (1151853), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Во многих каналах из двух векторов ошибки с одинаковым весом более вероятным оказывается такой, в котором единицы расположены близко друг к другу, т.е. имеется тенденция к группированию ошибок. Безусловный интерес представляют модели дискретного канала, построенные на основе заданной модели непрерывного канала и задания способов модуляции-демодуляции и кодирования-декодирования. Однако в общем виде построить такую модель затруднительно. (4.56) где 2а = Я/Е; ао = 1/(ЕС). Ток в цепи г(т) = С еу(т) дт Состояние этой цепи в любой момент времени то характеризуется двумя параметрами: 1(то) — током, протекающим через индуктивность Е, и у(то) — падением напряжения на емкости С. Значения 1(йз) и у(йз) содержат достаточную информацию о предыстории цепи, связанной с прошлыми воздействиями и(~), ~ < уо, которая необходима для определения будущих значений выходного процесса у(т), т > го при заданных воздействиях и(т), ~> й.
Таким образом, и ау(г) дт у(т) можно интерпретировать как переменные состояния, а дифференциальное уравнение (4,56) — как уравнение состояния, которое обычно приводят к форме векторного дифференциального уравнения первого порядка. При замене переменных к,(т) =у(т), к,(т) = (,), ау(т) (4.57) уравнение (4.56) эквивалентно системе дифференциальных уравнений первого порядка: ай,(т) йт а~;(т) =-а',х,(т)-2ох,(т)+а',и(т), (4.58) 158 я ! (канала), начальное состояние и сигнал, действующий только на промежутке от тр 1 с ! до ~, можно последовательно определить и(~) 'И ~ ~ ~у(') как сигнал на выходе, так и новое со- стояние цепи в любой момент времени о т> уо. Рнс.4.6. последовательный колебательный контур Подобный подход известен из тео- рии дифференциальных уравнений, в которой искомая функция определяется как самим уравнением, так и определенными начальными условиями, число которых равно порядку уравнения.
Излагаемый здесь метод переменных состояния иллюстрируется примерами систем, описываемых с помощью линейных дифференциальных уравнений. Множество величин, однозначно определяющих поведение систем в некоторый момент т, содержащее минимальное число элементов п, называют состоянием, а сами элементы этого множества — переменными состояния. Каждую из этих переменных обычно рассматривают как составляющую и-мерного вектора состояний.
Для любой заданной системы можно составить два уравнения, позволяющих по состоянию в момент то и сигналу, поступающему на вход, найти состояние в момент ~ > то и выходной сигнал. Первое из них называется уравнением состояния, а второе — уравнением наблюдения. Для иллюстрации основных положений метода переменных состояния рассмотрим простой пример — линейную ЛЕС-цепь (рис.
4.6), в которой выходное напряжение у(~) связано с входным напряжением и(т) дифференциальным уравнением а" у(т) ау(т) + 2а — + а ,'у(т) = а',и(т), которая с учетом правил векторно-матричных преобразований допускает ком- пактное представление г — (21+ 1)Т 1 с Х где х(г)=; й= блюдения имеет вид (4,57) или в Г1 01 у(г)=Н х(г), Н=~ (4.59) (О 1 С=~ ~; н=(О,и(г)).
При этом уравнение наг~' векторной форме (4.60) В более общем случае аналогичные матричные уравнения в форме (4.59) и (4.60) можно построить для систем более высокого порядка, в том числе нелинейных и с переменными параметрами. Отличие будет лишь в размерности матриц и в том, что они могут быть Рис.4.7. Моделирование уравнений состояния линейной системы 2-го порядка (последовательиого колебательного контура) 159 Заметим, что выбранный вектор состояния х(г) не является единственно возможным. Любое обратимое линейное преобразование вектора х(г) приводит к другому вектору состояния.
Важной особенностью метода переменных состояния является возможность непосредственного моделирования систем, описываемых уравнениями состояния с помощью аналогового или цифрового вычислительного устройства. На рис. 4.7 показана модель системы уравнений (4.58).
При построении такой схемы удобно рассуждать следующим образом. Пусть в некоторых точках присутствуют входной сигнал и(г) и переменные состояния х1(г) и х2(г). соединим эти точки сумматорами, усилителями и интеграторами так, чтобы соотношения между ними соответствовали уравнениям (4.58). Из первого уравнения следует, что, подав на вход интегратора х2(~), получим с точностью до постоянной к1(г). Эта постоянная определяется начальным условием и равна х1(го). Затем осуществляют операции, записанные в правой части второго уравнения: умножим и(г) и х1(г) на го'„а х2(~) на 2сс (с помощью усилителей с соответствующими коэффициентами усиления) и сложим полученные результаты с учетом знаков.
Проинтегрировав полученную сумму и прибавив к ней постоянную х2(г~) (начальное условие), получим хз(г). Таким образом, все точки в схеме соединились в соответствии с уравнениями (4.58) (или (4.59)), Если на такую схему-модель подать входной сигнал и(~), то на выходе получится выходной сигнал у(г). Однако это не представляет большого интереса, поскольку то же самое можно сделать без моделирования, исследуя экспериментально исходную систему (в данном случае рис.
4.6). Значительно важнее то, что с помощью модели можно решить обратную задачу — по выходному (наблюдаемому) сигналу найти входной, даже если выходной сигнал наблюдается на фоне шума (см. гл. 8). функциями времени (для систем с переменными параметрами) и состояния (для нелинейных цепей). Если на систему воздействует несколько входных и несколько выходных сигналов, то их также рассматривают как компоненты вектор-функции.
В самом общем случае уравнения состояния и наблюдения процесса принимают в векторной форме следующий вид: = в(г, х)х(г) + С(г, х)п(г); ах(г) (4.61) У.(г) ='Н(г,х)х(т)+)ч(т), г> г„х(г,) = х„ (4.62) где 1Ч(г) — шум наблюдения. Каждое из матричных уравнений представляет в сущности, систему дифференциальных уравнений, число которых для уравнений состояния равно количеству переменных состояния (порядку системы), а для уравнения наблюдения — количеству выходов системы' ).
Одно из приложений метода переменных состояния связано с возможностью конструктивного описания случайных процессов. Оно состоит в том, что случайный процесс Х(г) с заданными вероятностными характеристиками представляют как выход некоторой динамической системы, возбуждаемой другим случайным процессом (вообще говоря, многомерным) с более простой вероятностной структурой Щг). Обычно в качестве порождающего используют стационарный гауссовский процесс У(т) типа белого шума с нулевым средним и корреляционной функцией В„(г,г+т) = М(1)(г),Ю'(~- )~ = Об(т), (4.63) где (1 — симметричная, неотрицательно определенная матрица.
Пусть случайный процесс Цт), удовлетворяющий (4.63), воздействует на схему, описываемую (4.61) и (4.62), где некоторые функции Р, Н, 6 удовлетворяют условиям непрерывности и ограниченности. Тогда процессы Х(г), а также (Х(~), 7(~) = НХ(г)) являются марковскими, переходные плотности вероятностей которых н(х, г!х0, ф) и н(х, у, г~х0, у0, г0) подчинены соответствующим дифференциальным уравнениям в частных производных Колмогорова- Фоккера-Планка (см. (2.99)). Если гауссовский порождающий процесс 11(г) воздействует на линейную систему, то и выходной процесс Х(г) будет гауссовским. Он будет также стационарным, если формирующая система является линейной с постоянными параметрами.
Распределение вероятностей процесса Х(г) будет негауссовским, если он сформирован нелинейной системой. В частности, если на вход цепи рис. 2.37, б поступает БГШ, то выходной процесс будет марковский гауссовский процесс с корреляционной функцией (2.150). Метод переменных состояния с успехом применяют и для описания стохастических цепей (каналов) со случайно изменяющимися параметрами.
Для этого некоторые элементы системных функций (матриц) Р, 6, Н следует рассматривать как случайные функции. Этот метод дает универсальный подход для моделирования (в рамках весьма широкой марковской модели) каналов передачи информации (систем связи) для самых различных сообщений, способов кодирования и модуляции (как линейной, так и нелинейной), линии связи с детерминированными и случайными параметрами, рассеянием сигналов, аддитивными шумами (как гауссовскими, так и негауссовскими). Более сушествен- П Описание систем с дискретным временем в основном аналогично описанию систем с непрерывным временем; при этом дифференциальные уравнения состояний сводятся к уравнениям в конечных разностях (см, гл, 10).
160 но то обстоятельство, что, представляя наблюдаемые (анализируемые в месте приема) случайные марковские процессы с помощью дифференциальных уравнений, как уже отмечалось, можно решить обратную задачу, т.е. получить дифференциальные уравнения для оценки сообщений, заключенных в этих процессах. Такие оценки, получаемые с помощью аналоговой или цифровой техники, найти значительно проще, чем оценки, вытекающие из интегральных уравнений (см. гл.
8). ВЫВОДЫ 1. Каналы связи и реализующие их электрические цепи можно разделить по характеру сигналов, действующих на входе и выходе, на: непрерывные, дискретные (цифровые) и дискретно-непрерывные (цифро-непрерывные) или непрерывно-дискретные (непрерывно- цифровые). 2. Классификация каналов (систем, цепей) основана на свойствах системных операторов, связывающих вход и выход. Различают линейные и нелинейные, стационарные и нестационарные, сосредоточенные системы и системы с распределенными параметрами.
3. В качестве интегральных системных характеристик линейных цепей чаще всего используют импульсную характеристику и передаточную функцию системы, связанные парой преобразований Фурье. 4. Спектральная плотность по Фурье или Лапласу сигнала на выходе линейной стационарной системы определяется произведением спектральной плотности входа и передаточной функции системы, Выходной сигнал можно найти по его спектральной плотности обратным преобразованием Фурье или Лапласа (спектральный метод анализа). Его же можно найти сверткой входного сигнала и импульсной характеристики системы (временной метод анализа).
5. Расчет прохождения узкополосных сигналов через узкополосные системы (каналы) существенно упрощается, если воспользоваться понятиями комплексной огибающей входного сигнала и низкочастотного эквивалента передаточной функции системьь 6. Как при детерминированном, так и при стационарном случайном воздействии спектральная плотность средней мощности на выходе линейной стационарной системы равна произведению спектральной плотности средней мощности входного процесса на квадрат модуля передаточной функции системы. Соответственно функция корреляции выходного процесса определяется сверткой функции корреляции входного процесса и временной автокорреляционной функции системы. 7. Нахождение корреляционной функции (спектральной плотности мощности) на выходе произвольной линейной системы, как детерминированной, так и случайной, при стационарных случайных входных воздействиях существенно упрощается, если ввести системную характеристику К(1а, ~)К(-)а, (+ з), где Х()е, 1) — случайная передаточная функция линейной стохастической системы.
8. При прохождении случайных процессов через узкополосные линейные системы выходной процесс имеет тенденцию к нормализации, независимо от распределения входного процесса. 9. Расчет прохождения узкополосных случайных процессов через нелинейные (даже безынерционные) системы существенно упрощается, если воспользоваться квазигармоническнм представлением входного процесса. 1О.В теории и инженерной практике чаще всего пользуются следующими моделями линейного непрерывного канала: неискажающий канал с аддитивным шумом, канал с неопределенной (случайной) фазой и аддитивным шумом, однолучевой канал со случайной фазой и амплитудой (с замираниями) и аддитивным шумом, мнотолучевой канал с аддитивным шумом, канал с межсимвольной интерференцией (памятью) и аддитивным шумом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
