Кловский Д.Д. и др. Теория электрической связи (1999) (1151853), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Максимум этой вероятности при заданном виде модуляции В.А, Котельников назвал потенциальной помехоустойчивостью, а демодулятор, обеспечивающий этот максимум,— 167 идеальным приемником. Из этого определения следует, что ни в одном реальном демодуляторе средняя вероятность правильного приема символа не может быть больше, чем в идеальном приемнике. На первый взгляд принцип оценки качества приема вероятностью правильного приема символа кажется вполне естественным и даже единственно возможным. Ниже будет показано, что это не всегда так и что существуют и другие критерии качества, применимые в тех или иных частных случаях.
Ознакомимся подробнее со статистическим подходом к задаче приема дискретных сообщений на фоне шумов. Пусть при передаче дискретных сообщений, закодированных кодом с основанием т в месте приема ожидаются сигналы я;(т), Ын[О, Т[, соответствующие кодовым символам Ь; (~' = О, 1, 2, 3, ..., и — 1)1). В течение отрезка времени [О, Т[2) на вход приемного устройства поступает колебание 4~), которое вследствие искажений и помех в канале не совпадает в точности ни с одним из элементов сигнала на передаче и;(г). Следовательно, в этом случае приемное устройство должно выбрать одну из лт возможных взаимоисключающих (альтернативных) гипотез: передавался кодовый символ Ьп, т.е. ожидается сигнал зо(~); передавался кодовый символ Ь1, т.е.
ожидается сигнал х1(г); ... передавался кодовый символ Ь,„,, т.е. ожидается сигнал з„,(т). Для двоичной системы (тп = 2) приемное устройство выбирает одну из двух альтернативных гипотез о передаче символа 1 или О. Совокупность всех возможных реализаций г(т) можно интерпретировать точками в пространстве У принимаемых финитных сигналов. Обычно оно является бесконеч номерным пространством Гильберта или, с некоторыми (приемлемыми для практики) оговорками, многомерным пространством Евклида. Простоты ради будем графически изображать реализации принимаемых сигналов х;(г) и помех п(т) (длительностью У) точками на плоскости (рис.
5.1) или соответствующими векторами на плоскости, откладываемыми от начала координат О. Если правило решения выбрано, то это означает, что каждой точке пространства принимаемых колебаний (концу вектора х = и + и) приписывается одна из т гипотез, т.е. определенный передаваемый кодовый символ Ь;. Пространство прини- "в, маемых сигналов окажется при этом разбитым на и непересекающихся областей В,, каждая из которых соответствует принятию определенной гипотезы.
В такой трактовке различные приемные устройства отличаются друг от друга способом разбиения про- к о странства сигналов на области В,, т.е. правилом пРи тиЯ Р шениЯ . Во можное Разбиени схем~- и и ма м кол банни е е з) з Рис.5.1. Разбиения пространтстаа тически показано на рис. 5.1. на непересекающиеся области Л Без потери общности можно, когда это удобно, считать Ьг=1, 4 Начало этого отрезка для удобства совместим с началом координат. В принципе интервал анализа на приеме не всегда совпадает с тактовым интервалом Т (см. ниже). Сигналы на тактовом интервале часто будем называть элементом сигнала.
з1 В математической теории связи это разбиение и называют решающей схемой. Заметим, что в некоторых случаях пользуются решающей схемой со стиранием, или отказом от решения. Это значит, что т областей не охватывают всего пространства сигналов и если приходящий сигнал не попадает ни в одну из этих областей, то принимается решение о стирании либо о невозможности определить передаваемый символ. 168 В двоичной системе пространство У разбивают на две непересекающиеся области В, и В,. Пусть на отрезке [О, Т1 принимается колебание г(г) = я;(г) + п(г), где з;(Г) — полезный сигнал в месте приема, прошедший канал связи, а п(г) — реализация аддитивной помехи. Если помехи отсутствуют, возможные значения г(г) изображаются точками з; (1 = 0„1, 2, ..., т — 1).
При наличии помехи и передаче сигнала с номером 1 точка принимаемого колебания г отклоняется от точки з;. На рис. 5.1 это показано для сигналов я;(г) и я~(~). Область В, содержит точку иь В тех случаях, когда помеха не выводит точку г за пределы области В,, решение оказывается верным при сигнале ль В противном случае возникает ошибка. Очевидно, изменяя границы между областями, можно влиять на вероятность ошибочного приема отдельных передаваемых символов. Например, если в разбиении, показанном на рис. 5.1, расширить область В, за счет области В„то уменьшится вероятность ошибочного приема символа Ь„вместо передаваемого символа Ь; Однако в этом случае возрастает вероятность ошибочного приема Ь,. при передаваемом Ь~,. Очевидно, всегда существует такое расположение областей, которое в определенном смысле лучше всякого другого.
Если задан критерий качества, то наилучшее разбиение пространства принимаемых сигналов (оптимальная решающая схема приемного устройства) достигается методами теории статистических решений. 5.2. КРИТЕРИИ КАЧЕСТВА И ПРАВИЛА ПРИЕМА ДИСКРЕТНЫХ СООБЩЕНИЙ Рассмотрим сначала широко распространенный критерий Котельникова или критерий идеального наблюдателя, согласно которому качество демодулятора оценивают безусловной (средней) вероятностью правильного приема символа. Будем сначала полагать, что пространство передаваемых и принимаемых сигналов является конечномерным евклидовым. Это может быть, например, пространство финитных сигналов, представляемых конечной тригонометрической суммой.
В дальнейшем это ограничение будет снято. В п-мерном пространстве случайный сигнал г(г) характеризуется и-мерной плотностью вероятностей вектора г'. и(г). Ее можно рассматривать как плотность вероятности коэффициентов разложения г(г) по любому ортонормированному базису. Если передается некоторый символ Ьь т.е. принимается сигнал з;(Г), то можно определить условную п-мерную плотность вероятности в(х~Ь;) = и(ф;) — функцию правдоподобия 1-й гипотезы (~ = О,ж-1). Пусть на вход демодулятора в течение отрезка [О, Т1 приходит некоторый элемент сигнала л(г). Предположим, что демодулятор принимает при этом решение, что передан символ Ьь т.е.
выдает оценку Ь,. Вероятность того, что это решение правильно, очевидно, равна условной вероятности Р(Ь,!г(г)) того, что действительно передавался символ Ьь при условии прихода реализации элемента сигнала г(г), Ее называют апостериорпой вероятностью символа Ь; (т.е. вероятностью, определенной после опыта, заключающегося в наблюдении и анализе сигнала г(г)). 169 Для построения решающей схемы по правилу (5.10) необходимо знать ап- риорные вероятности символов Р(Ь;), а также свойства модулятора и канала, определяющие условные плотности ю(х~Ь,) — функции правдоподобия.
Правило (5.10) можно записать иначе. Решение о том, что передавался символ Ьь должно приниматься, если для всех г' ~ 1 выполняю(ся т — 1 нера- венств в(х Ь,.) Р(Ь,) (5.12) арчь ) Р(ь,) ' Отношение в левой части этого неравенства называется отношением прав- доподобия двух гипотез: о том, что передавался символ Ьь и о том, что переда- вался символ Ь.. Его обозначают Л;, В случае, когда все гп символов передаются равновероятно, т.е. Р(Ь;) = 1/т, правило (5.12) упрощается: Л, >1,г еО,т — 1,/и~1. (5.13) Иногда вводят в рассмотрение помимо гп гипотез о передаче символов Ь,.(1=0,т — 1) еще дополнительную ( шумовую ) гипотезу о том, что никакой сигнал не передавался, т.е.
г(г) = п(г) — чистая помеха11. Отношение правдопои(х!Ь,.) добил, = Л, обычно обозначают просто Ль Тогда правило (5.13) можно записать так: Л, > Л при всех~'~г, (5.14) или короче: 1 =Агя шах(Л,.~. Такое правило максимума правдоподобия реализу- ет критерий идеального наблюдателя при том условии, что все символы пере- даются равновероятно21 . Для двоичной системы правило (5.14) сводится к проверке неравенства Л,>Л,. (5.15) Как отмечалось, критерий идеального наблюдателя не является единствен- ным разумным критерием оптимальности решающей схемы. Дело в том, что во многих случаях различные ошибки приводят к различным последствиям.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
