Кловский Д.Д. и др. Теория электрической связи (1999) (1151853), страница 17
Текст из файла (страница 17)
4, для реализуемой цепи е(1) = 0 при 1 < О. Если все же ПГ таких сигналов необходимо, его реализуют приближенно, с некоторой задержкой 10, заведомо отбрасывая ветви е(1), 1' располагающиеся левее точки 1= -1») и правее точки 1= го. Задержка сигнала должна быть учтена в других устройствах, работающих синхронно с ПГ. Следует отметить, что погрешность преобразования, связанная с усечением импульсной характеристики ПГ, может оказаться недопустимо большой. ПГ легко реализуется, если сигнал х(1) можно представить через узкополосные квадратурные компоненты (см.
ниже). Комплексный сигнал х(1) = х(1)+1х(1), полученный на основе ПГ, называется аналитическим. Рассмотрим его основные свойства. 1. Аналитический сигнал является естественным обобщением комплексного представления гармонического сигнала на случай сигнала общего вида. В самом деле, если х(1) = Асов(вг+ в), то х(1) = Асов(в1+<р)+1Аяв1в1+~р) = = А(1)е" "). При этом полная фаза у(1) = в1+ ~р, а мгновенная частота в(1) = — =в.
А~ф) Ж 2. В спектре аналитического сигнала х(1) =х(1)+ 1х(1) содержатся только положительные частоты. Действительно, из (2.104) и (2.105) видно, что х(1) =х(1)+1х(1)=~~~ а„Е, в„>0. (2.111) (А) В общем случае, когда спектр Я„(Г) сигнала х(1) — сплошной, имеем,с учетом (2.108) м) =~.»~) з~.И=)„»' )',„ Аналогично в спектре комплексно-сопряженного аналитического сигнала х = х(1) — 1х(1) содержатся только отрицательные частоты: '10, /'>0 ~гЯ,(Г), Г < 0 ' 3. Скалярное произведение сигналов х(1) и х(1) в Г,2(У) равно нулю (сигналы ортогональны); Ю О (хх) = ] х(г)х(г)ггг = ] Я(г)Яг(г)ау = ] 5~(~)в18а(г) г" = О.
(2114) 4. При общем фазовом сдвиге всех частотных компонент сигнала х(г) на угол О ге аналитический сигнал умножается на е . В этом легко убедиться, добавив в (2.111) в каждом слагаемом общий фазовый сдвиг О: х,(г) = ~ а„е =с х(г). (2. И5) М Из (2.115) естественным образом вытекает алгоритм общего фазового сдвига всех частотных компонент вещественного сигнала х(г): х,(г) = Ке(х,(г)] = Ке(е х(г)1 = Ке((совО+3 яа 0)(х(г)+3 х(г))) = х(г) сов0- х(г) яа О. (2.116) 5. Преобразование частоты (транспонирование спектра, см. гл.3) сигнала х(г) сводится к умножению аналитического сигнала х(г) на е, где Аа~~О— величина частотного сдвига.
Это видно из (2.111): (2,117) (») Из (2.117) вытекает алгоритм транспонирования спектра вещественного сигнала х(г): х,„(г) = Ке(гх,„(г)] = х(г) совйгвг — х(г) йяЬвг. (2.118) Алгоритм (2.117) используется при фазобалансном методе однополосной модуляции (когда Лгв = гво — частота несущей), при коррекции частотных сдвигов, обусловленных неточным сопряжением синтезаторов частот на передаче и на приеме или доплеровскими сдвигами (тогда Лгв ~~0 мало), и при демодуля- ции сигнала (тогда Аа < О). Вопросы однополосной модуляции и демодуляции мы рассмотрим в гл. 3.
Операции, связанные с ПГ, становятся реализуемыми и существенно упрощаются, если сигнал х(г) можно представить через квадратурные компоненты А,(г), А,(г) при заданной частоте (обычно в спектре сигнала) ао, х(г) = А,(г)созвог — А,(г)япвог, (2.119) причем верхняя частота в спектре сигналов А,(г), А,(г) (или А(г) = А,(г)+ЗА,(г) ) »'в ~.Й. (2,120) Условие (2.120) будем называть условием»узкополосности в расширенном смысле". Чаще всего канальные сигналы в системах связи обладают свойством узкополосности ~» (2.121) Это означает, что квадратурные компоненты А,(г), А,(г) меняются медленно (по сравнению с созаог или с апвог) и сигнал (2:119) имеет вид квазигармонического сигнала (рис.
2.30). Именно в этом случае обработка сигнала (через обработку низкочастотных квадратурных компонент) технически проще и реализуется точнее. Очевидно, что (2.119) можно записать х(г) = А(г) сов(со,г + ф(г)] = Ке[А(г) е (2.125) Рис.2,3!, Геометрическое представление аналитического Рис.2 зп. характерный вид узкополосного сигнала с пеРеменной огибакицей А(г) процесса(сигнала) и переменной мгновенной часппой ез(г) =— мо) 1 где А(г) = А(г)е = А,(г)+)А,(г) — комплексная амплитуда ). Поскольку умноже- мр ние А(т) на е означает перенос спектра сигнала А(г) вверх на величину Я~, ми то очевидно, что при выполнении условия (2.120) спектр сигнала х(г) = А(г) е содержит только положительные частоты Кп;„> О, у,па <,у + гв) и может рассматриваться как аналитический.
Тогда сопряженный по Гильберту сигнал х(г) = 1ш~А(г) е ~ = А,(г) яп а,т+ А,(т) сова,г . (2.122) Из сравнения (2.119) и (2.122) видно, что преобразование Гильберта сигнала А,(г)сова,т Н1А,(т) сова,т~ = А,(г) япа,г, (2.123) а преобразование Гильберта сигнала А,(г) япа,т 4А(т) ш аот3 = -А,(т) сова от. (2.124) Формально (2.123) и (2.124) можно интерпретировать так, что преобразование Гильберта осуществляется над сошог и япаог. ,( л) О[сю~,~)=ю(~ф — — )=~~,~, н~ип~ф1= ' (е,~- — )=-юю,~ гу при неизменности Ас(г) и Аа(г). Из (2.119) и (2.122) видно, что огибающая сигнала Аи = аи! = Р6) +*'и = Д%) + А'(~), а полная фаза А,(1) фт) =а,т+аг~А(т) =а,т+агстй — ' А,(1) (2.126) Мгновенная частота сигнала (скорость изменения фазы) Жр(г) . ~ ~ А,(~) 1 А,'(т)А,(т) — А,'(т)А,(т) а(т)= =ао+ ~агсто ~=ао+ а й ' г1г~ А,(г) ~ ' А,'(г) + А,'(г) (2.127) На комплексной плоскости (рис.
2.31) аналитический сигнал- ~[вы ви)) х(т) = А(г)е в общем случае отображается вращающимся вектором с переменной длиной А(г). Его угловая скорость вращения а(г) меняется во времени. При представлении узкополосного в расширенном смысле сигнала через квадратурные компоненты алгоритм (2.116) реализуется достаточно просто: ') Следует отметить, что А,(г) и А,(у) сопряжены по Гильберту лишь при условии, что комплексный сигнал А(г) содержит только положительные частоты.
69 хв(г) = Аее(г) сов(оог — А»е(г) вшю0г ) где А„(г) = А.(г) совО- А,(г) япО; А»а(г) = А,(г) совО-А,(~) в О. Алгоритм преобразования частоты (2.118) можно представить в виде х,.(~) = А., (г) ю,г - А (г) 1 где А, (г) = А,(г)совЬои — А.(г)вшЛгог; А„а„(г) = А;(г)совЛгог- А,(г)вигила~. Используя понятие сопряженного по Гильберту сигнала, Л.М. Финк'ввел очень важное для теории и практики электросвязи понятие ортогональности и усиленном смысле пары сигналов х(г) и у(г) 127].
Сигналы х(г) и у(г) ортогональны в усиленном смысле в пространстве Е2, если одновременно (к,у) = ~х(~)у(г)ог = О, (х,у) = ~х(г)у(г)й =О, (2.128) Полезность понятия ортогоиальности в усиленном смысле объясняется тем, что сигналы х(г) (у(г)), пройдя через канал связи, часто получают случайные фазовые сдвиги О„, О . При выполнении условий (2.128) ортогональность сигналов сохраняется при произвольных фазовых сдвигах О, и О Действительно, представим сигналы х(г) и у(г) через огибающую А(г) и полную фазу: х(г) = А.(г) сощ,(г), у(г) = А (г)сову (г).
Сигналы, получившие фазовые сдвиги О„и О, запишем с учетом (2.116): хе (г) = совО, х(г) — вш О, х(г), (2.129) у,(г)= вО,у(г)-Ы О,Р(г). (2.130) Ортогональность сигналов х, (г) и у, (г) (»,у,)= 1» иу, ко=о (2.131) будет обеспечена только в том случае, если сигналы х(г) и у(г) ортогональны в усиленном смысле (условие (2.128)). Этот результат очевиден, если выполнить операцию (2.131) с учетом (2.129), (2.130) и условия (2.128). Как будет показано в гл. 5, при наличии случайного фазового сдвига в канале система сигналов, ортогональных в усиленном смысле, обеспечивает наибольшую помехоустойчивость. Часто используемая в технике связи система ортогональных в усиленном смысле сигналов, определенных на интервале ( — Т/2; Т/2), строится на основе тригонометрических функций кратных частот (совю,1, сов2гл,г, ..., совкга,~, ...
(2;132) Обычно в ансамбле (2.132) удерживается конечное число компонент'Ф. Если ансамбль (2.132) дополнить элементами в1п(йо1г), то получаем ансамбль ортогональных сигналов размерности 2Лг. Если каждый элемент последнего ансамбля дополнить противоположным элементом (-созЬю1г, — апйв1г), то получаем часто используемый при передаче дискретных сообщений ансамбль сигналов, называемый биортогональньгм.
Число элементов этого ансамбля 41т'. Вероатпоетпые каракгеристпки огибающей и фазы узкополосного случайного гауссовского процесса. Для определения ПВ огибающей А и фазы р узкополосного случайного процесса 70 будем исходить из совместной плотности вероятности в(А, А,) квадратурных компонент А, и А, в фиксированных сечениях СП. Считая процесс гауссовским, представим зту ПВ (а,-лв,) (а,-пв,) (А„А,)= (А,) ~А,)=, Е "' .,—,-Е (2.133) )/2по~ )) 2по, где те, т„а~, о~ — МО и дисперсии квадратурных компонент, Представление (2.133) предполагает, что квадратурные компоненты А„А, — независимые случайные величины, что всегда можно обеспечить. Действительно, известно, что гауссовский вектор комплексной огибающей А можно так расположить в декартовой системе координат)), что его проекции (А„А,) оказываются некоррелированными (значит; и статистически независимь)ми при гауссовском распределении).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
