Кловский Д.Д. и др. Теория электрической связи (1999) (1151853), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Спектры дискретизированного сигнала представлены для случаев, когда Гд = 2Г, (рис.2.9, в), Гд ) 2Г, (рис.2.9, г) и Гд < 2Г, (рис.2.9, д). Для неискаженного воспроизведения функции х(г) по последовательности отсчетов посредством идеального фильтра низких частот необходимо выбирать частоту дискретизации так, чтобы спектральные компоненты свертки Я,(у') с каждой из дискретных составляющих периодической функции рГд (р=О, ~1, ~2, ...) Располагались в неперекрывающихся областях (рис. 2.9). Этому соответствуют значения Гд~ 2Г,. При Гд< 2Г, спектральные области перекрываются, в полосу частот (-Г„Г,) дискретизируемого сигнала по пад уг спектральные компоненты смежных областей и воз- а) б) -Г -Г Я В никнут искажения при восстановлении функции по отсчетам.
Далее будет показано, что для точного воспроизведения непрерывной функции с ограниченным (финитным) спектром достаточно д) Гд 2Гд У располагать значениями функции Рис.2.9. Спектр (а) непрерывного сигнала д(г); (б) дннейчатый (отсчбтами) лишь в отделъных точках. 1 Модели сигналов с ограниченным решетчатой чункцнв с пеРиодом Ь = —; (е) дискРетного спектром часто используются в технике связи. В частности, в стандартном тесигнала пра Г, = 2Е'„, (г) пра Г,> 2Р'„, (д) прв Г, < 2Г„ лефонном канале за верхнюю граничную частоту принимают Г, = 3400 Гц, при телевизионной передаче граничная частота определяется числом различимых злементов изображения и равна Г, = б,5 МГц.
Теорем» отсчетов. Фундаментальное значение для решения многих задач теории передачи сигналов имеет следующая теорема отсчетов2) Котельникова: непрерывная функция хф, не содержащая частот выше граничной Р„полностью определяется отсчетами мгновенных значений х(ко) в точках, отстоящих друг от друга на интервалы Л ~ 1/2Гв. Интервал Л называется интервалом Котельниковаз). Эта теорема позволяет представить непрерывную функцию х(г) в виде ряда О ,(г) = ~:.(рЛ) (2.55) $ о оз а П Спектр периодической последовательности Гд® можно рассматривать как совокупность поднесущих, разнесенных на интервалы, кратные Гд. з) В иностранной литературе эту теорему связывают с именами Найквиста и Шеннона.
з> В зарубежной литературе — интервалом Найквиста. 4б Из сопоставления ряда (2.55) с общим видом обобщенного ряда Фурье в пространстве Гильберта следует, что элементарными базисными функциями в разложении Котельникова являются отсчетные функции') в (с-сд) ' (2.56) » Для коэффициентов разложения х(с) по элементарным функциям (2.56) в соответствии с (2.17) можем записать с апв,(с — Ссд) (2.57) "3 "' ..(с сд) где постоянная и вводится с учетом нормировки функций (2.56). Докажем, что коэффициенты с соответствуют мгновенным значениям функции х(с) в точках с = ссд.
пусть Я(7) — преобразование Фурье функции х(с), тогда х(С) = ) я(у) Ес 4Г, (2.58) О 5(7)= ~х(С)Е ' СС. (2.59) — Ф Если х(С) имеет огРаниченный спектР с наивысшей частотой Гв то Я(7) вне полосы +Г, Равя, но нулю, а выражение (2.58) принимает вид х(с) = ),ф)е ф'. Пусть с = lсд, тогда 1»»св 4М)= ) я(/')Е с(С' или после подстановки в последнее выражение вместо я(/) его значе- ния из (2.59) и изменения порядка интегрирования получим сс(хд) = ) х(с).
Р -с»»сс-м) е сс7' » Р» с»»с» сс»» в» зшв»(с После вычисления интеграла в квадратных скобках 1 е сс7 = — ' ' получаем сс в,(с — Ьд) «1 Ортогональность функций (2.56) следует из соотношения » 1 апв,(с — сд) Ипв,(с — Ссд) —, с вСс, ссс = 2Р; в»(с — сд) в,(с — Ссд) О, СвСс 47 А( ) в 1 с) япв (с Ссд) (2.60) Сравнение (2.60) с (2.57) при а =ъсв,/и показывает, что коэффициентами обобсценного ряда Фурье С„разложения (2.16) по ортогональным функциям (2,56) являются отсчеты х()сХ)с мгновенных значений функции х(с) в моменты с = Ссд. Восстановление непрерывной функции по отсчетам. Процедура восстановления непрерывной функции х(С) по отсчетам ее мгновенных значений х(кС1) вы'текает непосредственно из (2.55): нужно' перемножить значения отсчетов х(/сЛ) йа соответствующие отсчетные функции (2.56) и просуммировать полученные произведения.
Эти операции иллюстрирует рис. 2.10. Спектральная трактовка процесса восстановления х(с) следует из рис. 2.9. Оценим качественно погрешность 1а(г)! = 1х(Г) — х,(г)(. Поскольку все слагаемые ряда (2.55) обращаются при г = й в нуль во всех точках, за исключением, слагаемого с номером к = 1, то в этих сечениях значения х,(г) совпадают с х(Г), т.е. погрешность а(ко) равна нулю; погрешность достигнет наибольшей величины внутри промежутка между отсчетами.
Кроме того, величина погрешности нарастает к краям рассматриваемого интервала. Другая причина погрешностей обусловлена тем, что спектры реальных финитных сигналов не обрашаются в нуль за пределами граничной частоты. Хотя основная энергия сигналов расположена на частотах от нуля до Р„некоторая часть приходится на частоты выше граничной. Относительная среднеквадратическая погрешность определяется соотношением — ) 11'о,.И41' (2.б2) х (!) ~вг (ф/ о где à — полная энергия сигнала х(1), а лŠ— та часть энергии, которая оказывается за пределами полосы частот 10, Го) и не учитывается при восстановлении сигнала.
Таким образом, при заданной погрешности (2.62) можно определить необходимую граничную частоту Г„а следовательно, и интервалы между отсчетами ~ = 1/2Ро. Детальное исследование показывает, что погрешности за счет неучитываемой части спектра сигнала будут тем больше, чем медленнее убывает спектр за пределами граничной частоты. Третьей причиной погрешностей являются неидеальные характеристики фильтра, формируюшего отсчетные функции. Колебания, имеюшие форму отсчетной функции вида (2.5б), можно получить на выходе идеального фильтра нижних частот (ФНЧ) с граничной частотой Г при действии на его входе дельта-импульса Ъ(г). АЧХ идеального ФНЧ равномерна (рис.
2.11) (1, О</<Р;, К(/) = ~ ' " а ФЧХ вЂ” линейна: <р(1)=-оот. ~(0, />Р„ Импульсная характеристика К(г) фильтра определяется обратным преобразованием Фурье от комплексного коэффициента передачи к(/) (см. 0 4.4): Б(1) = ) к(у)е' 4/'. Для рассмат- риваемого случая идеального ФНЧ'1 Р Г 1„0-Е аав,(! — т) й(1) = 1е (/=2Р, в (2.бЗ) 11 При достаточно больших значениях задержки т характеристика (2.бЗ) может быть реализо- вана (см. гл. 4). 48 Для полного восстановления необходимо просуммировать бесконечное множество членов ряда (2.55).
Однако если функция с ограниченным спектром х(г) рассматривается на конечном интервале Т (рис. 2.10, а), то точное рыло- жение (2.55) можно заменить следующим приближенным разложением: х,(г) = ~~~ х(ЙЛ) янга,(г — М) (2.б1) -и/2 а,(г — М) Конечное число отсчетов и, определяющее х,® равно (при Л = 1/2Га) и = Т/Л + 1 = 2Г,Т+ 1. Параметр В = 2ГаТ, играющий важную роль в ТЭС, называют базой сигнала. Очевидно, что погрешность представления сигнала при ограничении числа его отсчетов будет тем больше, чем меньшее число слагаемых учитывается при суммировании. г) Рис.2.10. Иллюстрация принципа восстанов- ления непрерывной функции по ее отсчЕтам Рис.2.11.
АЧХ и ФЧХ фильтра, формирующего отсчетные функции: (1) идеального ФНЧ; (2) неидеального ФНЧ Рис.2.12. Импульсная характеристика: (!) для идеального ФНЧ, (2) для неидеального ФНЧ Характеристики реальных фильтров К(у) и ~р(у) отличаются от идеальных (пунктирные кривые 2 на рис. 2.11), что приводит к отклонению реальной функции отсчетов от идеальной (кривая 2 на рис. 2.12) и, как следствие, к появлению дополнительных погрешностей восстановления функции х(г) по отсчетам. 2.5. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ И ИХ ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ Понятие случайного процесса.
В основе большинства методов исследования общей теории связи лежит представление о процессе передачи сообщения как некоторого случайного процесса, развивающегося (чаще всего) во времени. Словом случайный подчеркивается то обстоятельство, что предопределить заранее точное протекание процесса невозможно. Типичным примером случайного процесса может служить напряжение У(г) = х(г) + Аг(г) на входе приемника. Наблюдая напряжение в данный момент, мы не можем с полной определенностью предсказать, каково будет его значение в последующие моменты времени. Это объясняется тем, что параметры формируемого передатчиком канального сигнала х(г) (амплитуда, частота, фаза) изменяются случайным образом в соответствии с передаваемым сообщением п(г).
Кроме того, в процессе передачи сигнал подвергается воздействию различных аддитивных помех Ф(г), имеющих 49 случайный характер, например в виде электрических разрядов в атмосфере, помех от электрического транспорта, помех от других радиостанций и т.д. Случайность процесса Х(г) проявляется в том, что вид наблюдаемой функции случайным образом меняется от одного наблюдения к другому. Однако получаемая в результате каждого отдельного опыта функция хф не случайна. Ее называют реализацией случайной функции Совокупность всех возможных реализаций 1х"(г)) и образует случайный процесс (или случайную функцию) Х(г) = (х" (г)1.
Для непрерывного случайного процесса число реализаций образует несчетное множество. На рис.2.13 показаны четыре реализации случайного процесса. Наличие случайности результатов многократных наблюдений одного и того же процесса не означает, что в этом процессе нет никаких закономерностей, Оказывается, что средние результаты, найденные по большому числу наблюдений, устойчивы. Иными словами, случайные явления и процессы подчиняются определенным статистическим закономерностям.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
