Кловский Д.Д. и др. Теория электрической связи (1999) (1151853), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Иначе говоря, для любого наперед заданного момента времени г может быть однозначно определено значение функции х(г). Детерминированные функции широко применяются при изучении электрических цепей. Так, при анализе переходных процессов в линейных цепях часто используют детерминированные испытательные сигналы ~г(г,Л) и т)(г,гл), формы которых показаны на рис. 2.1, а и б.
Если параметр Л -+ О, то сигнал ч(г,Л) переходит в единичную функцию включения (1, г>0; 1(г) = Ыш ф, Л) = ~ а сигнал у)(г,Л) в Б-функцию (функцию Дирака, рис. 2.1, в) (ео, у=0; 5(г) = 11ш ~)(г, Л) = ~ ) 5(фй = 1. сК1(г) Можно считать, что о(г) = и 1(г) = ) о(х)г1х. й Поскольку 5-функция часто используется в теории связи, отметим некоторые ее полезные свойства. Для произвольного непрерывного сигнала х(г) справедливо соотношение О О ~ х(г)о),г — г,)с1г = х),г,) ~ 5(г — г„)игг = х(г,) . Это соотношение называют стробирующим (или фильтрующим) свойством Ь-функции.
а) а) б) о лолу. л о л г 2 2 2 2 Рис.2.1. Испытательный сигнал (а) у(Г, Л) = Р)(х, Ь)дх, суь(г, л) (б) Ч(Г, Л) = — прямоугольный импульс с единичной площадью, (в) о-импульс Ж (2.2) (2.4) Дельта-функцию часто представляют как предел определенных последовательностей, например б(х) = йп, е '"*, 1 (2.1) а~-+О 1~~ру2 б()= а-+ о ях Можно б-функцию представить и в интегральном виде о(х)= ~ е ' И~. (2.3) Меняя в (2.3) местами ~и х, получаем соотношение Ф)= 3' е"" ~1'. При определении АЧХ и ФЧХ линейных стационарных (с постоянными параметрами) четырехполюсников (цепей) часто в качестве испытательных используют гармонические сигналы х(Г) = Усоз(гаГ + ср), -оо < Г < + о. При анализе, настройке и регулировке различных импульсных устройств и усилителей используются последовательности импульсов прямоугольной или иной формы.
Детерминированные колебания различной формы широко применяются в качестве переносчиков при формировании модулированных сигналов. Случайными называются такие процессы Х(г), реализации которых в каждом опыте точно предсказать невозможно. Они отличаются от детерминированных тем, что нельзя заранее утверждать, что Х(г) в некоторый момент г будет иметь определенное значение; например, для непрерывного случайного процесса можно лишь говорить о некоторой вероятности того, что в этот момент значение Х(г) окажется в интервале между значениями х и х + Лх.
Иначе говоря, если Х(г) есть случайная функция, то ее значения при фиксированном значении аргумента представляют собой случайные величины Х(г;) = Х;. Случайные процессы и их основные свойства обстоятельно рассматриваются в 5 2.5. В зависимости от вида передаваемых сообщений и сигналов, а также характера помех соответствующие им функции могут быть непрерывными или дискретными как по аргументу (времени г), так и по значениям. Об этом уже говорилось в гл. 1 (см. рис. 1.1). 2.2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ИХ БАЗИСЫ Аналогия между сигналами и векторами.
Любая задача легче воспринимается, если ее можно связать с каким-либо известным явлением. При математическом описании сигналы удобно рассматривать как векторы или точки в некотором функциональном пространстве — пространстве сигналов. Электрические сигналы сложной формы по своей физической природе далеко не всегда сходны с привйчными нам представлениями векторов как направленных отрезков. Тем не менее практический интерес имеет обобщение операций над векторами на сигналы (функции), описывающие различные колебания. Дело в том, что среди различных математических приемов, используемых при исследовании электрических цепей ц сигналов наиболее широко 30 х = (хо, х1, ..., х„1).
Таким образом, сигнал х(г) произвольной формы представ- ляется суммой и простейших элементарных сигналов, в данном случае в виде импульсов прямоугольной формы. Слово пространство используется здесь, чтобы придать множеству сигналов геометрический смысл и тем самым на- глядность. Наиболее простой и в то же время физически достаточно содержа- тельной является трактовка сигналов как элементов нормированного линейного метрического пространства.
Основные определения, относящиеся к функциональным пространствам Евк- лида, Гильберта, Хэмминга. Линейным или векторным называется пространство сигналов, для элементов которого выполняются правила сложения и умноже- ния на любое число из некоторого множества Я,называемое множеством ска- ляров1). Сложение векторов производится покоординатно, т.е. суммой векторов х (функции к(г)) и у (функции у(г)) называется вектор х + у = (хо+ у0, х1 + у1, ..., х„+ у„), принадлежащий данному пространству, а произведение 2,х вектора х на число 2, дает вектор 2,х = ()!.х0, ) х1, ..., 2.х„1), также принадлежащий данному пространству. В линейном пространстве суще- ствует нулевой элемент О, такой, что х + О = х и каждому элементу х соответ- ствует противоположный элемент -х, так что х + (-х) = О.
Вектор, образован- ный суммированием и линейно независимых (базисных) векторов у; со скаи-! лярными коэффициентами х; называется их линейной комбинацией х = '> х,!у,. ю-0 Множество векторов (Ч!;) называется линейно независимым (базисом), если условие и — 1 ~х,ч!= О (2.7) !<а выполняется лишь тогда, когда все х,= О. Иначе говоря, линейно независимым называется 'множество (Ч!;), для которого ни одна из его компонент не может быть образована линейной комбинацией других. Размерность линейного пространства определяется числом любых ли- нейно независимых базисных векторов (!у!), образующих зто пространство.
Линейно незави- симые векторы (!Г;) можно рассматривать как координатные оси пространства. Метрическим называется линейное пространство, в котором определено расея!оялие меж- ду элементами (векторами) пространства (мел!рика), т.е. каждой паре элементов, скажем, х и у может быть поставлено в соответствие некоторое вещественное неотрицательное число Ф(х, у) и способ, в соответствии с которым находится это число. Расстояние удовлетворяет следующим правилам: 1.
б(х, у) = О, если х = у 2. г((х, у) = а~(у, х); 3. б(х, у) < сК(х, х) + Щ у), где х, у, х — элементы (точки) пространства. Смысл первых двух условий очевиден. Третье условие называют неравенством треугольника: длина стороны треугольника меньше (или равна) суммы длин двух других сторон. Нормированные пространства.
Среди линейных метрических пространств важное место занимают нормированные пространства. Этот внд пространства определяется заданием нор- мы 1х~~, удовлетворяющей следующим аксиомам: 1 (~4~0; 2. !Щ = )1,Ях((; 3. 1х + у1 < 1х1 + 1у1. П Множество (Ц должно быть полем, т.е. на нем должны быть определены операции сложения и умножения с коммутативными и дистрибутивными свойствами и оно должно содержать элементы нуль и единицу. Примерами полей являются множества всех целых чисел, всех действительных чисел, всех комплексных чисел и др. 32 Первая аксиома устанавливает, что норма есть положительное вещественное число, равное нулю только лля нулевого вектора, во второй аксиоме Х вЂ” любое число (скаляр), третья аксиома — аксиома треугольника.
!!(' )))-!! !НЫ (2.9) известное в литературе как неравенство Буняковского-Шварца. Знак равенства имеет место лишь тогда, когда у = Йх (2.10) (Й вЂ” скаляр), т.е. когда векторы х и у коллинеарны. Для соответствующих сигналов х(г) и у(г) это означает, что они совпадают по форме у(г) = )сх(г). Квадрат выше определенной нормы вектора х можно найти как скалярное произведение вектора на самого. себя: !!х!Р = (х, х). При п -ь со пространство А„переходит в бесконечномерное пространство Гильберта, обозначаемое Е~. Гильбертовым пространством является, в частности, пространство всех непрерывных комплексных функций аргумента г', за( тт~ данных на интервале ! — —; — ~, в котором скалярное произведение определено соотношением (х,у) = ) х(с)у(г)й, (2.11) 33 Начнем с перечисления терминов и определений, относящихся к и- мерному вещественному евклидову пространству А„.
Любой вектор х в этом пространстве определяется совокупносп ю его координат: х =(х„х„..., х„,). Совокупность п линейно независимых векторов образует и-мерное евклидово пространство, обозначаемое А„. Пространство А„можно определить как множество точек, представленных концами векторов, для которых норма !!.!!=, ~. Ъ |-о Как видим, норма есть обобщение длины вектора в двухмерном и трехмерном пространстве. Расстояние между двумя векторами х и у определяется как норма разности векторов: «( уН*-у)=!!~(*,-у)* Для пространства Евклида А„можно ввести понятие скалярного произведения двух векторов х и у: «-! (х,у) = ~~~,х,.у! = !!х!! !!у!!совср, (2.8) ! О где !р — угол между двумя векторами. Для проекций х на у и обратно, у на х, имеем !!!х!!Соаср = — ', !!у!!Совср,= — ' !1~1Г ' !!'!! Координаты вектора представляют собой проекции вектора на координатные оси, аналогично (2.5).
Из соотношения (2.8) вытекает очевидное неравен- СТВО ется условие Е„= 3 х'(с)с1с <со. (2.13) Гильбертово пространство обозначается при этом Щ7). При Т-+ о получаем пространство Е2( о). Для некоторых сигналов (функций) пространства 12(со) условие (2.13) при Т-+ о может не выполняться, но выполняется условие т г() ~ г Т, г В этом случае можно вместо (2.1!) ввести скалярное произведение с размерностью мощности (для токов и напряжений на единичном сопротивлении) 1 (х,у), = — ) х(г)у(~)Ж. (2.15) т Квадрат нормы вектора х в этом случае 1' !!х!!'„= — ) (!х(г)!!'сй = Р .
(2.16) т При выполнении условия (2.14) в пространстве Щ(со) определены и соотношения (2.15) и (2.16) при Т вЂ” э о. В дальнейшем, говоря о функции с интегрируемым квадратом в пространстве Х2(со), имеем в виду выполнение условия (2.13) или условия (2.14) при Т-+ о. Квадрат расстояния между двумя векторами в вещественном пространстве Х2(У) определяется соотношением (2.14) с1'1х, у) = !/х — у!~ = Нх(с) — у(г)) Ж (2.17) "г 1 $ сс'(х,у) =$$х — у$! = — Дх(~) — у(г)) Ж. (2.18) а квадрат нормы 1 !!х!!' = ) х(г) х(г)с1г = Ях(г))сй.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
