Кловский Д.Д. и др. Теория электрической связи (1999) (1151853), страница 10
Текст из файла (страница 10)
(2.12) Норма (2.12) имеет не только геометрический, но и отчетливый физический смысл. Так, если сигнал х(Г) — вещественный электрический ток в единичном сопротивлении 1 Ом, то квадрат нормы !!х!!' = 1х'(~)Ж= Е определяет энергию сигнала. Элементы гильбертова пространства Е2 характеризуются интегрируемым квадратом, т.е. если элементы этого пространства— т т~ вещественные сигналы х(Г), определенные на интервале — —; — ), то вьшолня- Форму (2.18) можно использовать и при Т ~ со для сигналов с конечной средней мощностью. Пространство с2 представляет собой естественное обобщение пространства Я„, получаемое путем перехода от дискретизированной функции к функции непрерывного аргумента.
В курсе ТЭС пространство Е2 имеет особое значение, ибо оно позволяет применить общие геометрические представления к сообщениям, сигналам и помехам, определенные как функции непрерывного аргумента. Устремляя в (2.6) и -+ со, получаем представление непрерывной функции к(г) в пространстве Гильберта: О х(г) =,~„х,у,(г) . (2.19) г=о Операторы н функционалы, В задачах преобразования сообщений и сигналов нам потребуются некоторые обобщения функциональных зависимостей. Величина у называется функцией независимой переменной х, если каждому значению х (из множества его возможных значений) соответствует определенное значение у. Иначе говоря, функциональная зависимость у =Ях) устанавливает соответствие между некоторым множеством чисел х и множеством чисел у или, что то же, функция устанавливает зависимость одного числа от другого.
Более общим понятием является понятие функционала. Функционал устанавливает соответствие между множеством чисел, с одной стороны, и некоторым множеством функций — с другой. Можно сказать, что функционал Ф устанавливает зависимость числа от функции: у = Ф(г(х)). Примером функционала является определенный интеграл, величина которого (при неизменных пределах) зависит от вида подынтегральной функции. Очень полезным является понятие функционального оператора, устанавливающего соответствие между двумя множествами функций, т.е. с помощью оператора Е устанавливается зависимость функции от функции: у(~) = Цх(г)1. Так как функции могут быть представлены векторами и множество функций определяется как векторное пространство, то действие оператора может быть описано в геометрических терминах как преобразование пространства Х векторов х в пространство х' векторов у.
Обратное преобразование Ъ' в Х обозначают Г'. В задачах преобразования сообщений и сигналов используются наряду с линейными операторами также нелинейные и параметрические операторы. Векторное представление цифровых сигналов в пространстве Хэммннга. Если функция х(Г) на каждом интервале й может принимать одно из т возможных значений х,'"' (й = О,т — 1), то на отрезке длительностью Т она будет полностью Т определена и = — значениями х~" илн, что то же, совокупностью коэффициентов 1х~'~, х,"~, ..., х~"', ~ (х, 1, ~ е О,т — 1), называемой и-набором. В частности, при т = 2 коэффициент х~" принимает значение 0 или 1, и-набор представляет собой просто кодовую комбинацию и-значного двоичного (т = 2) кода, отображающую символ (букву, цифру) передаваемого сообщения.
Двоичные и- наборы отображаются векторами (точками) в пространстве Хэмминга 2„. Скалярное произведение в этом пространстве удобно задать функцией 35 где 2.' — сумма в обычном смысле. Отсюда норма двоичного вектора Ы=Хх,'=Хх,. о-о о-о Можно видеть, что норма двоичного вектора определяется количеством содер- жащихся в'нем единиц. Эту норму называют также весом вектора (кодовой комбинации) и обозначают а.
Расстояние в пространстве Хзмминга а'(х,у) = 1х — у~~ = ~ ~х, -у,~ =~~~ ~х, Еу„!, где знак Ю означает операцию суммирования по модулю 2 (гпой 2): 0 Ю О = О, О Ю 1 = 1, 1 Ю О = 1, 1 Э 1 = О. Приведем пример суммирования по пюй 2 двух векторов: х = (1001011) Э у = (0101101) хщу = (1100110) Суммирование и вычитание по пюй 2 эквивалентны. В пространстве Хзмминга расстояние между двоичными векторами определяется по числу позиций в ко- довой комбинации, в которых векторы х и у имеют различающиеся символы.
В рассмотренном примере о((х, у) = 4 единицам. В более общем случае, если число различимых значений равно и, используется разность по модулю т. 2.3. РАЗЛОЖЕНИЕ СИГНАЛОВ В ОБОБЩЕННЫЙ РЯД ФУРЬЕ Важным понятием в пространствах Евклида, Гильберта и Хзмминга является ортогональность векторов. Два вектора х и у ортогональны, если (х,у) =О.
(2.20) Легко показать, что если векторы Чо; и хг при у ~ 1 взаимно ортогональны, то они также линейно независимы. Поэтому совокупность ортогональных векторов можно использовать в качестве базиса линейных пространств. Представим непрерывную (во времени и по уровню) функцию к(г) с интегрируемым квадратом в пространстве Е2(Т) через произвольную ортонормированную систему базисных функций (у,(Г)), для которых 10, ) у,(г)у,(г)ой = ~ (2.21) о 2 Вместо (2.19) имеем представление х(г) = ~Су,(г), (2.22) ! о где С; — коэффициенты (координаты) разложения в ортонормированном базисе (щ(г)). Представление (2.22) называют обобщенным рядом Фурье.
Для определения коэффициентов С; найдем скалярное произведение (х,Ч,) = ХС, 1ЧФ)Ч,(г)( С учетом (2.21) следует 36 Представим теперь приближенно функцию х(г) разложением в усеченный ряд по ортонормированным базисным функциям (1р1(2)) «-1 х,(!) = ~~1 71Ч 1(г) (2.25) l О и определим коэффициенты 71 так, чтобы минимизировать среднеквадратическую погрешность (СКП): 2 2 1 *о!=-Д«О-*««3««-1 «О-Х~«««1«~« 1О 1 2 «-1 1 «-1 = — ) х~(!)11т — — ~71 ) х(!) Р (!)Оа + — ~У,.~ . 1-о 1 1-о С учетом (2.23) можно записать 2 2 о (1) = — )» (!)~Й 1- — ~~~ (71 — С,) — — ~~~ С', 10 1О (2.2б) Погрешность о'(!) принимает минимальное значение, если у,= Сь т.е. если коэффициенть1 разложения в усеченном представлении (2.25) являются коэффициентами обобщенного ряда Фурье.
Обозначив а~(!) = е„, можно написать исходя из (2.26) $ «-! 1г2 1с 2 а = — ~х(!)П- — ~С2)О т2 Т -'$ 1-О вли «-1 ~х (0)О1! > ~~~ (2.27) 1=0 Неравенство (2.27) называют неравенством Бесселя. С ростом и величина а„уменьшается. Если при л -+ оо СКП стремится к нулю, то систему базисных 41ункций (Ч11(Г)) называют Полной. Имея ввиду, что при л -+ ОО справедливо (2.24), можно утверждать, что в пространстве Гильберта система базисных функций (ч11(г)) является полной.
эта система функций является также замкнутой, так как для любой функции х(г) из Ез(У) неравенство (2.27) переходит прн л — о«о в равенство. В Если С! = (х, 1у1)р, то 2:С', определяет среднюю мощность сигнала х(г). 1-О 37 С, = (х, 111 ) = ) х(г)1р (Г)с(Г. (2.23) Таким образом, коэффициенты обобщенного ряда Фурье С; являк!тся проекциями вектора х на ортогональные оси (единичные орты) 2(о12 С учетом (2.21) и (2.22) можно получить'> е„= ) х (()с(г = ~ ~~! с1р (г) о2!г ~~с (2.24) 1-О 1=0 (2.24) является частным случаем равенства Парсеваля (см. ниже). С учетом ортонормированного базиса (1р;(г)) легко видеть, что скалярное произведение и норма в пространстве Я„можно находить по формулам (2.11) и (2.12). (2.30) где А, = —, А, = )а, +Ь„, гр, = агс~8 —.
(2.32) Согласно формуле (2.31) периодическую функцию х(Г) можно представить суммой гармонических колебаний с частотами, кратными основной частоте 1~ = 1/Т с амплитудами Ад и начальными фазами гр~,. Совокупность амплитуд Ад (1с = О, 1, 2, ...) образует амплитудный спектр сигнала, а совокупность фаз <рд О 2' ,2~ /ф нг'; (к = О, 1, 2, ...) — фазовый спектр сигнала. Линейчатый амплитудный спектр периодического сигнала х(г) изображен на рис. 2.4. Ряд Фурье (2.31) часто представляется в комплексной форме Рис.2А. Амплитудный спектр перисдичесаого ! сигнала с периодом следование Г =— Х х(г) = ХС,е' (2.33) а о где С, — комплексная амплитуда, определяемая по формуле С,= — '' = — ~х(г)е' 'Ж.
2 Т Следует обратить внимание на то, что сумма в (2.33) охватывает не только положительные значения /с, но и отрицательные (появляются "отрицательные частоты"). Для перехода из (2.31) к (2.33) можно воспользоваться формулой Эйлера феи р~) -~(мчг р~) ) е -е (2.35) (2.34) 38 Спектральное представление периодических колебаний. При формировании и обработке сигналов часто приходится иметь дело с периодическими колеба- ниями сложной формы.
Периодическую функцию х(г) = х(г — лТ) (Т вЂ” период повторения) можно представить разложением в обобщенный ряд Фурье (2,22) по базисным функциям основной тригонометрической системы 1, сов,г, овгз,г, ..., Ыа,г, ... (2.28) вшв1г, вш2со,г, ..., вшйго1г, ... Все функции системы (2.28) попарно ортогональны на интервале ( — Т/2; Т/2). Обобщенный ряд Фурье по базисным функциям (2.28) можно записать а, х(г) = — '+~~ (а,совЬо,г+Ь вшйв,г), (2.29) а 1 2 2 а = — ~х(г)сов(М,г)с(г; Ь = — ~ х(г)вш(йо,г)с1г. Т, Представление (2.29) называют рядом Фурье. Ряд (2.29) можно записать в виде х(г) = ~ А, сов(дассо,д — гра), (2.31) (2.37) ~(Л = А(У) — ЗВ(/) = Ф(У)!е""), где А(~") = ) х(~) сов»Ь — четная функция частоты; о В(/) = ~х(~) ашй — нечетная функция частоты. (2.40) Из (2.40) видно, что для вещественных функций х(г) амплитудный спектр )яЕуу)=,/Л"ууу.:.В'1уу лелле ее че ной функцией чеетоты, фееоеый епектр 39 Выражение (2.35) можно интерпретировать как представление гармонического сигнала единичной амплитуды с положительной частотой /са1 в виде суммы двух гармонических колебаний (половинной амплитуды) на положительной частоте»ао1 и отрицательной частоте — Ьо1.
Для вещественных функций к(г), как следует из (2.30) и (2.32), аь= а ь, Ь»= -Ь», А»= А ь, <р»= -»р» (амплитудный спектр — четная функция частоты, фазовый — нечетная функция частоты). Как а „вЂ” /Ь» а„+/Ь» ° А„ следствие С, = " ' = " "=С», — "=)С,~=~С»~, агяС» = — »р» = — агяС». Комплексное представление ряда Фурье оказывается очень удобным при выполнении различных расчетов. Спектральное представление непериодических функций. Разложение в тригонометрический ряд Фурье (2.33) может быть обобщено на случай непериодических функций х(г) путем устремления Т-ф йо или /у = 1/Т-+ О. Для этого запишем (2.33) так: е х(~) = ~'.С,ТЕ" Ц, (2.3б) где Лг"=/1 = 1/Т вЂ” частотный разнос между линиями спектра периодического сигнала.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
