Кловский Д.Д. и др. Теория электрической связи (1999) (1151853), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Введем в рассмотрение текущую частоту спектра Ьо1 = а ®~ =/) и определим спектральную плотность (СП) по Фурье непериодического сигнала: 4/) = б —" = ЬтСТ. Тогда из (2.36) при Л/-+ 0 следует представление х(к) = ) 5(/)ейй Ы~, (2.38) а из (2.34) и (2.37) следует формула для определения СП е Я(/) = ) х(~) е '"'Ыг. (2.39) е Согласно (2.38) непериодическая функция х(~) представляется суммой гармонических компонент е" (на положительных и отрицательных частотах) с бесконечно малыми амплитудами ф')ау". Модуль ~Я(/)~ определяет.сплошной (непрерывный) спектр непериодического сигнала, а ага Б(/) = ур(/) = — с1»нощной (непрерывный) фазовый спектр непериодического сигнала.
Спектр по Фурье можно записать в виде ~рИ=-агсгя — ~-~ — нечетная функция частоты. Дискретный (линейчатый) в1'у1 АЯ спектр амплитуд С, периодического сигнала х(г) = х(г+ пТ) можно найти по формуле 1 .ГИ Т Т (2.41) Бара преобразований Фурье х(г) -+ ф') (прямое) и ф') -ь х(г) (обратное) описывается, как видно из (2.38) и (2.39), линейным оператором. Поэтому для этих преобразований справедлив принцип суперпозиции (наложения) СП для сигнала х(г) =~ х,(г) определяется суммой СП слагаемых х~(г).
Следует под- ь 1 черкнуть, что, строго говоря, СП (2.39) существует для функций х(г), удовлетворяющих условию абсолютной интегрируемости ) )х(г)~й (со. (2.42) Тем не менее можно определить СП и для сигналов х(0, не удовлетворяющих условию (2.42), если воспользоваться введенной выше обобщенной Ь-функцией. Например, пусть х(!) = Е~ ". СП по Фурье такого сигнала по определению г(у) = ) е "'"(' А) о. (2.43) Воспользовавшись интегральным определением Ь-фуикции (2.4), из (2.43) получим результат Я(Т) = Ь(Т- 4,) . Аналогично можно показать, что СП для сигнала х(г) = Е равна )Э,ф -уф е +е б(.Г) Ь(,Т+Уа) Как следствие, СП для сигнала оеаа,г = равна ЯОф -уф е -е б(Х)=Е,5 Ь(У-Л)+0,5 Ь(~'+Л), Для спектральной плотности сигнала вша ~=, по г) лучаем ьЯ='оде '*ф-,го)+обе 'ь(г+ у,), Скалярное произведение функций х(г) и у(г) (в общем случае комплексных) в пространстве Гильберта Е2(Т) можно выразить и через их СП по Фурье: О (к,у) = ) х(г).у(г)й = ) 1,(~г) о„(~)ф.
(2.44) аф Соотношение (2.44) называют обобщенной формулой Рэлея (или соотношением Парсеваля). 40 (2.52) Если в (2.50) положить у(г) = х(г) и ввести обозначение В„(т) для функции корреляции (ФК) сигнала х(г) с размерностью энергии, то из (2.50) следует г Ю В, (т) = )х(г)х(г-т)й= ) И'„(г)е' 4'=)Ц,Ясовтс4Г. (2.51) х 2 Х 2 о Вводя обозначение В„(т) = (х, х,) для ФК сигнала х(г) с размерностью мощно- сти, получаем соотношение 2 Ю 2 В,(г) = — ~х(г)х(г — т)й = ~б„(~)е' сф'= $6,„®соволф Х о и, как следствие, И'„(г) = ) В,„(т)е ' сй, 0„(У') = $ В.(т)е ~гИ.
(2.53) Таким образом, ФК В„(т) сигнала х(~) и его СП мощности б,(г") (аналогично ФК сигнала В„,(т) и его СП энергии И'„(~)) образуют пару преобразований Фурье. В качестве иллюстраций в табл. 2.1 приведены примеры спектров некото- рых импульсов (непериодических функций) и даны графики их амплитудных спектров в области положительных частот.
Из приведенных примеров видно, что импульсы ограниченной длительности теоретически имеют бесконечный спектр. Практически под шириной спектра будем понимать эффективную об- ласть частот Г„в пределах которой сконцентрировано 90...99% энергии. Для колокольного (гауссовского, см. ниже) и экспоненциального импульсов, имеющих теоретически бесконечную длительность, для удобства расчетов так- же вводят понятие эффективной длительности т„понимая под этим интервал времени, в пределах которого сосредоточена основная доля энергии сигнала. Если принять за основную часть энергии Е, = уЕ (у=0,9 ...
0,99), то эффектив- ная ширина спектра и эффективная длительность находятся из выражений1) 2 а О Р, О Е, = ) х'(г)й = у ) х~(г)й и Е„= ) И'„(~)ф = у) И'„(~)ф . О о о 2 Для сравнения в табл. 2.2 представлены значения произведений Езтз при у = 0,9 для импульсов из табл. 2.1. Для импульсов с "плавными" фронтами, на- пример гауссовского и косинусоидального, произведение Е,тз оказывается меньше, чем у импульсов со скачкообразными фронтами, например, прямо- угольного и экспоненциального. Характерная особенность в том, что для всех импульсов (простых сигналов)2) Езтз (2.54) н Для сигналов, определенных при г ~ О, следует интегрирование во времени проводить от О до т,. и Для сложных сигналов (с большой базой) произведение Р,т, значительно больше 1 (см. гл.
9). 42 Амплит1лгный спектр Спектраль- ная плот- Сигнал х(О М п/п ность Я(~') 1, Ц~-' 2 О, $с$>- 2 О 1 2 Т т -~~, $$--' х(с)- т 2 о, $с$>— г ~~" $'$-- «(г) = о, ф>-' г 1,5 2 5 т т 4~)=е а*'Р $ е е', ( ~ о, $ о, ~ < о. т.е. произведение Г,т, — величина порядка единицы. Соотношение (2.54) ук, зывает на явную связь между шириной спектра и длительностью импульса: че, короче импульс, тем шире его спектр.
Разложение сигналов с использованием базисных функций Радемахера и Уолша. В гк следние годы успешно развиваются цнфровь1е методы передачи и обработки сигналов ь Таблица 2.2 основе дискретных ортогональных последовательностей в виде функций Радемахера, Уолша н др. Функции Радемахера образуготся из синусоидальных функций с помощью соотношения П(0) = в)йл[зш(2"ае)), 0 К О я 1, где аргумент 0 = г(т — безразмерное время; т — период функции, а положительное целое число й = О, 1, 2, ., — порядок функции; з18л(х) — знак действительного числа х, (з)хп(х) = +1 при х > 0 и а)ха(х) = -1 при х < 0). Иначе говоря, функции Радемахера, принимающие зна- чения ~1, можно трактовать как функции "прямоугольного синуса". На рис. 2.5 приведены в качестве примера графики первых четырех функций Радемахера «ь(0) для к = О, 1, 2, 3.
Легко 1 (1, ~ =/с, видеть, что Функции «ь(0) ортонормированны на интервале О я О <1 [ «(0)«„(8)сю = ~ ' [О, ~ ~/с, 0 Дальнейшим развитием систем функций, имеющих форму "прямоугольной волны" явля- ется система функций Уолша (маг(ш, О)). Она образуется следующим образом. По определе- нию вводятся функция ва((0, 8) = 1 при в = О. Для получения функции юа((«л, 8) при в > 1 достаточно записать число т в двоичной системе счисления, т.е.
представить суммой я=2"'+2~'+...+2"«, где р1 < цг < ... < рр — положительные целые числа, При этом функция Уолша «аГ1т,в) = «„„(0)«„„(0) ...«„„(8) . На рис. 2.6. приведены графики первых восьми функ- ций Уолша юа1(0, 8), и а1(1, 8), ..., и~а1(7, 8), построенных по четырем функциям Радемахера. Функции Уолша не только ортогональны, они обладают и свойством мультипликативно- сти.
Зто означает, что произведение любых двух функций Уолша также является функцией Уолша: и~а((1, 8)ма1(й, 8) = и~а1(р, 8), где р = 19 к. В связи с возможностью применения к функциям Уолша логических операций, они находят применение при разработке устройств формирования и преобразования сигналов на базе микропроцессорной техники. Сигналы на основе функций Уолша используются в цифровых многоканальных системах передачи ин- Формации.
В теории связи, особенно в задачах аппроксимации, находят применение и другие ан- самбли ортогонапьных функций. Среди них функции Лежандра, функции Лагерра, функции Эрмита[9[. 2.4. ДИСКРЕТИЗАЦИЯ СИГНАЛОВ ВО ВРЕМЕНИ Представление непрерывной грункпии дискретной последовательностью отсчетов ее мгновенных значений. Для точного представления произвольной непрерывной функции х(г) на конечном интервале времени Т необходимо располагать данными о мгновенных значениях (отсчетах) этой функции во всех о О Рис.2.5.
Графики функций Рааемахера О, 1, 2 и 3-го порядков Рнс.2.6. Графики первых восьми функций Уолша 44 ! Кл «(г) «„(г) б) а) Рис.2.7. Дискретизация непрерывной функции времени посредством периодической коммутации с частотой дискретизации Е,=1/о в) точках интервала, т.е. непрерывным множеством отсчетов, отстоящих друг от друга на бесконечно малые интервалы. Некоторое приближенное представление о функции х(г) можно составить по ее отображению в виде дискретной последовательности импульсов, имеющих на интервалах Л значения х(/Л), называемых отсчетами (рис.2.3). Операция замены непрерывной функции последовательностью отсчетов ее мгиовенных значений называется дискретизацией. В качестве простейшей физической модели дискретизации рассмотрим коммутационное устройство (рис.
2.7, а). С помощью ключа Кл обеспечивается периодическое с частотой дискретизации /д = 1//з подключение к источнику непрерывного сигнала х(г) (рис. 2.7, б) на время т, т.е. производится замена непрерывной функции х(г) последовательностью кд(/) на интервалах т (рис. 2.7, в). Последовательность отсчетов хд(Г) можно трактовать как произведение х(г) на периодическую последовательность импульсов дискретизации /д(г) (рис. 2.8): хд(г) = х(г) /д(г) = х(г) ~ гр„(/-/оз), 11/ т, г и ~- т /2;т /2~; где импульсы дискретизации ц~,(г) =~ Множитель 1/т нор- О, г и — т/2;т/2. мирует функцию гу,(г) к единичной площади. Для этого в схеме рис.
2.7, а после ключа Кл введено масштабное звено. Чтобы перейти к отсчетам мгновенных значений х(г) в точках г = И, необходимо рассмотреть особенности периодической функции Яг) при т -+ О. Нетрудно ".(г)=«(')/(г) видеть, что при т -+ О эта периодическая функция заменяется решетчатой функцией ./.(г) ,/в(г) = ~~> Ь(/-ло) . Дискретный сигнал «д(г) = (г)/,(г) =«(г) ~ ь(г-йа) = ,'> х(/Л)8(г-/и(). Спектральная трактовка дискретизации. Как было поРис 2 я дискре 1 извиня нел ерывной ано, процедура дискре изац и свели Я к обр ованию ф „„„«(г) путям ек н „„„„пРоизвелениЯ ДискРетизируемой фУнкции х(Г) на послеДопериодическую последовательность вательность импУльсов дискретизации /л(Г).
В спектральной импульсов /(г) области произведению функций времени соответствует свертка их спектров (см. подробнее гл. 10). Пусть спектр функции х(г) финитен и имеет вид, представленный на рис. 2.9, а, где Гв — верхняя (граничная) частота. Спектр периодической последовательности импульсов дискретиза- 45 ции является линейчатым (рис.2.9, б); частота дискретизации определяется интеРвалом дискретизации Гд = 1/Ь').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
