Кловский Д.Д. и др. Теория электрической связи (1999) (1151853), страница 15
Текст из файла (страница 15)
(2.86) 2 Ясно, что а2 = В(0). Схема измерения функции корреляции согласно алгоритму (2.86) изображена на рис. 2.24, а графики типовых ФК вЂ” на рис. 2.25 (1— корреляционные связи медленно убывают, 2 — корреляционные связи быстро убывают). Определим нормированную функцию корреляции тт(т) = —, )тт(т)) < 1, В(т) В(0) ' а также интервал корреляции .„.,=~~я(.)~ (. о Определение интервала корреляции согласно (2.87) называют методом равновеликого прямоугольника: интервал корреляции равен основанию прямоугольника с высотой, равной 1, площадь которого равна площади под кривой )тт(т)~ при т > 0 (см.
Рис. 2.26). Пусть случайный процесс У(1) образуется сумми- 0 т т РОВаНИЕМ дауХ СтацИОНарНЫХ цЕНТРИРОВаННЫХ ЭРГО- Рнс.2.26. Определенненнтервала дических вещественных СП У(1) = Х(1) + 1'(1). КФ корреляцнн методом равновелнпроцесса У(1) определяется соотношением кого прямоугольннка ционная функция В (т) отлична от нуля. Если Вху(т) = О, процессы Х(г) и У(~) считаются некоррелированными при данном т. Спектральная плотность мощности случайного процесса. Для описания случайных процессов наряду с корреляционными функциями В(т) широко используются спектральные характеристики, в частности спектральная плотность мощности б(~).
Между В(т) и .0(~) существует пара преобразований Фурье, аналогичных (2.52) и (2.53). Для случайных стационарных процессов эти соотношения строго установлены А.Я. Хинчиным и Н. Винером. Поясним физический сйысл спектральной плотности мощности б(Т) для случайного процесса Х(Г).
Рассмотрим функцию х (Л, совпадающую на интервале ( — Т/2; Т/2) с реализа- 7 цией случайного процесса х(')(~), заданной, вообще говоря, в бесконечных пределах. Определим среднюю мощность сигнала х, (1) при Т вЂ” э ю с учетом (2.47): 1 г=' и — ' ~,;(,)й= и ~б„(фУ (2. 88) Предел функции под интегралом (2.88) и определяет СПМ вЂ” спектральную плотность мощности СП б(/) = дщ бг(Т).
Строго говоря, приведенное определение СПМ случайного прот-. цесса справедливо лишь для эргодических процессов, поскольку оно характеризует распределение мощности по частоте единственной реализации х(г), Для определения СПМ для совокупности реализаций (х(')(~)~ следовало бы провести усреднение по ансамблю возможных значений бг(Т), т.е. М(бг(Т)), Дисперсию (среднюю мощность) СП можно найти путем интегрирования б(7") по частоте о' = В(0) =, ) СЯф = ) С,Яф, о где б,(7") — СПМ, определенная на положительных частотах.
Методом равновеликого прямоугольника (или по иному критерию) можно найти не только интервал корреляции СП (" ширину" В(т)), но и эффективную ширину его спектра гз ("ширину" С,(7)). Произведение этих параметров удовлетворяет условию т„.,Г,-К, где К вЂ” константа, имеющая порядок единицы. Здесь просматривается аналогия с табл. 2.2, иллюстрирующей соотношение между длительностью сигнала и шириной его спектра.
Имеются случайные процессы, у которых параметры т р и Г, принимают крайние значения (О нли сс). Гармонический сигнал со случайной равномерно распределенной фазой (2.72) является примером такого стационарного эргодического СП. Его ФК А В( )= бЯу~~— А Для случайного процесса (2,72) СПМ на положительных частотах: б ( Т) = — ~ Ь(Т- /'), Г, = О. Другой пример случайного процесса (белого шума) с параметрами т„,р = О, Р, = е дан ниже. 00(у) ло а) о а) ~о(г ) 'чо б) о б) о т Рис.2.28.Функции корреляции (а) квазибелого и (б) белого шума Рис.2.27. Спектральные плотности средней мошности (а) белого и (б) квазибелого шума Функция корреляции случайного процесса с ограниченным спектром. Случайный процесс, характеризуемый СПМ 6,11') = )т',, равномерной на всех частотах (рис.
2.27, а), называют белым шумом (по аналогии с белым светом в оптике). Если спектр С',(~) ограничен сверху частотой Гв (рис. 2.27, б), то процесс называется квазибелым шумом. Его дисперсия о2 = В(0) = ЛгсРв. Найдем ФК квазибелого шума: В(т) = ) С,Ясоаалф = У,.Р; (2.89) о в Полученная ФК отображена на рис. 2.28, а. Обратим внимание на то, что при значениях, кратных 1/2Г„значения В(т) проходят через нуль. Это означает, что сечения процесса, разделенные интервалом гс/2Гв (гс — целое число), не коррелированы между собой. Если беспредельно увеличивать граничную частоту Г„то от квазибелого шума придем к абсолютно случайному процессу (белому шуму), у которого два несовпадающих сечения не коррелированы; КФ белого шума выражается 8-функцией (рис. 2.28, б): В(') = — ",' а(т).
(2.90) Результат (2.90) следует из (2.89), если воспользоваться определением 8- функции (2.2). Белый шум является математической идеализацией реального процесса, так как средняя мощность (В(0)), необходимая для создания такого процесса, оказывается бесконечно большой. Вместе с тем случаи, когда реальный спектр помехи можно аппроксимировать белым шумом, встречаются в практике достаточно часто.
Примером помехи типа белого шума является тепловой шум резисторов, имеющий практически равномерную спектральную плотность на частотах вплоть до б 10" Гц. 2.6. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ РЯДАМИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ Каноническое разложение. В й 2.5 показано, что непрерывный случайный процесс Х(г) является математическим объектом большой сложности: его можно трактовать как несчетное множество случайных величин. Естественно, возникает желание представить случайную Функцию Х(г) через счетное множество случайных величин, что упрощает анализ.
В й 2,3 показано, что сколь угодно сложные детерминированные сигналы с интегрируемым квадратом (элементы в пространстве Гильберта 1ч(7)) могут быть представлены обобщенным рядом Фурье (2.22). Зги идеи можно распространить на представление случайного процесса, непре- 60 которая обеспечит разложение Х(г) на некоррелированные слагаемые.
Такое разложение, называемое разложением Карунена-Лоэва, имеет вид Х(г) = ~и,Чо,(г), (2.91) о где ~,. = ) Х(г) Чо,(~)Го — коэффициенты разложения, которые являются попарно некоррелиро- 1 ванными случайными величинами. Разложение вида (2.91) случайного процесса на некоррелированные слагаемые называется его каноническим разложением. Функции (щ(г)) в каноническом разложении называются координатными функциями. Они образуют базис разложения и находятся как собственные функции интегрального оператора г В(О,и) Чо,(и)Ыи = Хо у,(О), г т где В(би) — ФК случайного процесса, А; — собственные числа. Докажем, что ~, и ио при ! и 1о некоррелированы: , „= ~ Х(г,)цф,)о~гД Х(г,)цр,(г,)о~г, = О улг,)рЯю,) Х(г,) ХЯ~х,а, = = Ц ~р,(г,)цсо(г,)В~(„г,)о(г,о(г, = 2, ~ Ч~,(г,)ц~,(г,)й, = О.
Здесь учтено, что Чо,(г) и Чоо(г) при о ~1о взаимно ортогональны. Для вычисления ФК случайного процесса Х(г) дадим аргументу г в формуле (2 91) два значе- ния г~ и гь Тогда Х(О,) = ~~~ моею(О,), Х(~о) = ~ и,-хо,Я). о о о о Зтн формулы выражают значения Хо и Хг случайного процесса Х(г) в виде линейных функций одних и тех же некоррелировайных случайных величин ~е, ип ..., иь 1 = О, 1, 2, ... В этом случае корреляционная функция случайного процесса Х(1) определяется выражением В(г,,~) = х(г,)х(г,) =~~~ в,ч,(г,)ч,(г,), оо (2.92) где Ю, — дисперсия величин ъ; (и = О, 1, 2, .„). Поскольку дисперсия СП Х(о) равна значению ФК при Г~ = Гг = 1, то О йо) = В(оо) = ХВ,Ч/2(~). (2.93) ~ о Разложение по гармоническим функциям. Для стационарных непрерывных в среднеквад( ( т тЪ ратическом смысле, периодических случайных процессов Х(г) (г е~ — —;+ — ~ базисных 2 2р функций П Когда выполняется условие 1нп М~(Х(г — т)-Х(г)) ~=0.
г- о 61 рывного в средиеквадратическом смысле'>, Для такого центрированного случайного процесса т т'1 хИ, ( — ',— ), > ~ ю~ о "у то ы оз ц вил>, 2 2,) < ~-„соза,~, узша,1, а„= — с достаточно пРостым ЯвлЯетсЯ его Разложение по оРтоноРмирован»ой системе некоррелированными координатами: Х(1) = ~~~ (аз,соза,з+г,. зша,с), (2.94) го гле +,,,)=+„1= 0, а +„1=+„]= о~ = Р— дисперсия (-й гармоники. В соответствии с (2.92) корреляционная функция центрированного процесса (2.94) Ю Ю В(з) = ~ Р,-(соза,з соза,.~,+вша,г зша,1,) = ~~1 Р,ама,з, (2.95) 1 0 ао является периодической функцией с периодом Т, где т = 12 — б, т е (-со; +оэ). Дисперсия стационарного СП (2.94) равна Р = В(О) = ,> Р, . Это означает, что мощность центрированного еа случайного процесса Х(1) равна сумме мощностей всех гармоник.
Поскольку (2.95) является разложением В(з) в обобщенный рлд Фурье по ортонормированной системе базисных функ- Р, ций (~Г2соза,т~ с координатами С, = — ', можно с учетом (2.23) написать 1Г2 Р; = 2 ) В(т)сод,а,фз, 1 = О, 1, 2, ... Разложение в рлд Котельникова. Требованиям канонического разложения (2.91) удовлетворяет разложение непрерывного в среднеквадратическом и стационарного в широком смысле случайного процесса х(1), спектр плотности мощности которого б(Т) равномерен н ограничен областью частот <Т< я г,.
Для такого случайного процесса справедливо разложение в ряд Котельникова а,(~'- зо) (2.9б) Следовательно, непрерывный стационарный СП с ограниченным спектром полностью определяется счетным множеством некоррелированных случайных величин зз = Х(/сп), /с = О, +1, +2, ... Для гауссовского случайного процесса (процесса с нормальным распределением, см. ниже) коэффициенты канонического разложения (2.91) являются статистически независимыми гауссовскими случайными величинами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
