Кловский Д.Д. и др. Теория электрической связи (1999) (1151853), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Именно в этом случае разложение КаруненаЛоэва особо проявляет свои преимущества и существенно облегчает решение многих задач. Случайные процессы, определяемые двумерной плотностью вероятности. Среди различных типов случайных процессов можно выделить некоторые процессы, которые полностью характеризуются простейшими плотностями вероятности.
В качестве примера случайного процесса, который полностью определяется одномерной плотностью вероятности, можно привести так называемый абсолютно случайный процесс или белый шум. В атом процессе значения Х1, Х2, ..., Х„, взятые в различные моменты 11, 12, ..., г„, статистически независимы друг от друга, как бы близко эти моменты ни располагались друг от друга. Иначе говоря, возникающие в белом шуме всплески затухают за бесконечно малые промежутки времени. Поскольку значения Х1 и Х2 в моменты г1 и г2 независимы, их совместная (двумерная) плотность вероятности равна произведению одномерных плотностей: »(х1, х2,' гн 12) = »~(х1, 11)»(х2' ,г2).
62 Аналогично и(х,,х, ",х„;г„с„...,г„)=пи(х,;с,). ! 1 Это означает, что в рассматриваемом случае все и-мерные плотности вероятности определяются одномерной плотностью вероятности. Следующий по сложности процесс получается, когда вся информация о нем содержится в двумерной плотности вероятности и(хн х2, гн г2). Такими являются гауссовские СП или простые марковские СП; и-мерная ПВ гауссовского случайного процесса определяется формулой (х,. -222,)(х - т ) и(х„х2,...,х„;с„с2„„,с„)= ехр — — ~,~~2 А„., (2.97) 2А .. о о,. (2л)" !4 о,' П,' »=! где иь о,2 — соответственно М О и дисперсии значений СП в отдельных сече- ниях процесса; ~ А ~ — определитель корреляционной матрицы Я!1 Я22 " Я2и 1~! Я22 '" Аи , Я„= 1, Я, = Я„,, Я. Я; — коэффициент корреляции между значениями СП в 2-м и~'-м сечении; А;.
— алгебраическое дополнение в определителе ~ А ~ элемента Я; Для определения ФК, МО и дисперсии гауссовского СП требуется знание лишь двумерной плотности вероятности. Если все сечения гауссовского СП не коррелированы, то матрица К является диагональной (Япс = О, й ~ 1), и (2.97) принимает вид 1 (х,— и) и(х„х,.„, х„; с„с~, ..., 2„)=П ~~ехр— ~=~ ~2!со'' (2.98) Но (2.98) определяет условие статистической независимости отдельных сечений СП. Итак, если гауссовские случайные величины Х; при различных !' не коррелированы, то они также статистически независимы.
Отличительной особенностью простого марковского СП является минимальное последействие: для него вероятность нахождения Х в заданном интервале значений в момент Г„зависит только от состояния в предшествующий момент Г„1. И (Х!2» 22! ~ Х1» с1» Хз» Гт»» Х22 — 1» 222 1) И (Х!2» Г!2 ! Х22 — !» 222 1) Иначе говоря, л-мерная ПВ простого марковского СП при г1 < г~ <гз < ... < г„ и2(х!,х2,...»хл;Г2,сг " Ги)=и»(х!»С!)и»(хг Г2)х!»Е!)и»(х!»Сз!х2»Г2)'''и»(хи си~хи-!»Гл-!) полностью определяется двумерной плотностью вероятности. Теория марковских процессов хорошо разработана;и широко используется в современной теории связи.
В частности при некоторых дополнительных условиях переходная плотность вероятности при гз > г1 удовлетворяет дифференциальному уравнению 2-го порядка в частных производных: ди(х,, с, ~х,, г,) (2.99) 63 + 0,5 дс2 дх2 К марковским процессам относятся также процессы с независимыми приращениями, Эти процессы обладают тем свойством, что для любой совокупности моментов времени й < г, « ... г„(л ~ 3) разности значений процесса х(гз) — х(г1), х(гз) — х(гз),, х(г„) — х(г„,) взаимно независимы. Для того, чтобы определить функцию распределения любого порядка для процесса с независимыми приращениями„достаточно знать только одномерные распределения Х(г) и Х(г») — Х(г» ~), т,е.
одномерную и двумерную функции распределения процесса, Если распределение приращений Х(() — Х(г — т) зависит лишь от т, то процесс с независимыми приращениями называется однородным. Рассмотрим процесс, введенный Н. Винером в качестве простой модели броуновского движения частицы, передвигающейся под воздействием множества соударений таких же частиц. Винеровский процесс Н(() определяется как интеграл от нормалъного белого шума Н(Г): I НЯ=~ н,(~)и, о (2.100) или с помощью стохастического дифференциального уравнения — Н(с), где Л~г) — гаусгн(~) /л совский стационарный СП с нулевым МО и 5-корреляцией: /ог(ЛЩ=О, В(го -~,) = — Ъ(/, — /,) . Посколъку преобразование (2,100) является линейным, то винеровский процесс остается гауссовским.
Для математического ожидания, дисперсии и корреляционной функции процесса Н(г) имеем соответственно М(~())= 0; ~„()=ЯМ( ((,) (~,))й,а, = ~'~; оо // /2 Вл(// йо ) = ~ ~ М(//(т/)//(оз ))/го///со — — — лав(Г/ Ао ) . оо Одномерная плотность вероятности винеровского процесса /о(/Ь г) = е — —, г /о 0 . ,я; 1'1 Винеровский процесс является нестационарным с дисперсией — ~, пропорциональной вре/" о 2 мени; его реализации оказываются своеобразными, с возрастающим во времени разбросом траекторий. Для винеровского процесса коэффициент сноса А/(ч, г) в (2.99) равен нулю, а коэффициент диффузии Аг(П, г) = Но/2 = сопвГ; поэтому винеровский процесс часто называют диффузионным, он играет основополагающую роль при формировании более сложных марковских процессов. Важной особенностью винеровского процесса является то, что его реализации нигде не дифференцируемы, хотя являются непрерывными с вероятностью единицы.
Это следствие особых свойств винеровского процесса Н(г), производная от которого ЬН Н(Г), если ее понимать в обычном смысле, не существует, поскалъку йш — =оо. Действио/-/о /ьг телъно, принимая во внимание равенство оН=Н(Г,)-Н(Г,)=) /о'(т)/от, для дисперсии прира- щений имеем б4 при начальном условии ог(з~,г,)х,,г,) =о(х, — х,). Здесь А1(х2, 12) — коэффициент сноса, а А2(х2, г2) — коэффициент диффузии.
Уравнение (2.99) называют уравнением Фоккера-Планка-Колмогорова. Марковские процессы, удовлетворяюц1ие этому уравнению, называют диффузионными. В зависимости от вида коэффициентов А1 и А2 диффузионный марковский процесс может иметь различные распределения вероятностей. ьч М(ьН'(г)) = Ц т,) Н(,) И,а, = — 'ьг. (2.101) ь ь Порядок величины приращения ! дН! = ! Н(А) — Н(ь) ~ определяется из (2.101) как дН 1 ~дН~-Д~-+О при дГ-+О, а отношение — -- -+<с.
Скорость изменения обращается в ,~,и бесконечность, что свидетельствует о недифференцируемости процесса. Вместе с тем марковские диффузионные процессы являются во многих случаях удобной математической моделью сообщений, сигналов и помех. Представление случайных процессов дифференциальными уравнениями. Для описания сообщений, сигналов и помех можно воспользоваться их представлением в пространстве состояний (подробнее см. гл. 4).
В зависимости от вида воздействий дифференциальные уравнения, определяющие поведение процесса в пространстве состояний, могут быть детерминированными либо стохастическими. Для непрерывного времени задание состояния процесса (или системы) во времени означает задание функции (вектора состояния): х(т) = 1«1(т), х2(т), ..., х„(~)] г, где т- знак транспонирования матрицы, Поведение многих реальных динамических систем хорошо описывается стохастическим векторным дифференциальным уравнением вида (подробнее см.
гл. 4) Ж(г) = Р(г «(г))+Ф х(т)) (2. 102) где Г(Г, х٠— п-мерная неслучайная вектор-функция своих аргументов; Цт, х(г)) — п-мерный случайный процесс с известными вероятностными характеристиками, которые могут зависеть от вектора х. В частности, как будет показано в й 2.8, если в (2.102) с(т, х(т)1 является белым гауссовским шумом, то вектор состояния х(~) представляет собой простой марковский процесс соответствующей размерности. Важнейшим свойством такого процесса, как отмечалось выше, является то, что при фиксированном настоящем (сечении ф), его будущее состояние не зависит от прошлого (значений процесса при г < ф).
Представление случайных процессов стохастическими дифференциальными уравнениями весьма плодотворно и будет использовано в последующих главах. 2,7. ОГИБАЮЩАЯ И ФАЗА СИГНАЛА. АНАЛИТИЧЕСКИЙ СИГНАЛ. КВАДРАТУРНЫЕ КОМПОНЕНТЫ УЗКОПОЛОСНОГО СИГНАЛА Для многих практических приложений бывает полезно представить сигнал х(г) в виде процесса с изменяющейся амплитудой (огибающей) А(() и полной фазой у(1): хЯ = А(т)созе(1). (2.103) Так, при амплитудной модуляции информация закладывается в А(г), при угловой — в у(().
Представление (2.103) в общем случае неоднозначно, т.е. один и тот же сигнал х(г) может быть представлен бесконечным множеством пар (А((), у(г)). Из каждой такой пары может быть образован новый сигнал х'(г) = А(1)япу(Г), в некотором смысле сопряженный с сигналом х((). Очевидно, р 2 х'(т) что А(г) = х'(г)+ 1«'(г)1, ~у(г) = агс18 — . Комплексный сигнал х(г) 65 кам, указанным на рис. 2.29. Отклик линейного стационарного ПГ определить как свертку функций х(1) и 8(1) (см.
гл. 4): х(1) = х(1)Э8(1) = )х(х)8(1 — т)~1т = — 1 сй 1 хЯ п „1 — т Аналогично ( 1 ') 1 7 х(т) х(1) = х(1)Э вЂ” — ) = — — ~ — с1т. л11 и 1-т х(1) МОЖНО (2.109) (2.110) (2.112) б7 (2.109) называют прямым, а (2.110) — обратным преобразованием Гильберта. Совместно их называют парой преобразований Гильберта. Отметим, что для произвольных сигналов х(1) (х(1)) преобразование Гиль- берта (2,109) (также обратное преобразование Гильберта (2.110) нереализуемо, так как оно требует импульсную характеристику цепи, определенную не только при 1 > О, но при 1 < 0 (см, 2.107). Как будет показано в гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
