Кловский Д.Д. и др. Теория электрической связи (1999) (1151853), страница 14
Текст из файла (страница 14)
2.18, а; а на рис. 2.18, б изображен график ПВ процесса (2.72). Аналитическое выражение этой плотности имеет вид —,, )и!ьА и(и) = а!!А.-и (2.73) О, )и!> А Наибольшую плотность, стремящуюся к бесконечности, имеет мгновенное значение У, равное по величине амплитудному Ае. Среднее значение Г = т, = О, дисперсия о' = А,'/2. Справедливость формулы (2.73) доказывается путем вычисления плотности вероятности СВ У, связанной с другой случайной величиной Х функциональной зависимостью у= !"(»). Если эта "' Г '(у) Р1Ч связь взаимно однозначна, то и„(у)~пу~=их(х)~а!х~ и и„(у)= ' . если каждому у М соответствует множество значений х,(1= 1,М), то и Ябу~= ~ и,(»,1их,~ и "и-Е "4А'и!/,'.! (2.74) =~я!ах~=ч1 — соя» =з!1 — у Ы» Согласно формуле (2.74), учитывая, что имеем, 2а 1 2 2" 1~1у' Для случайной величины У=АОУ получаем ПВ: О, ~ф>1, ,(у) = Распределения вероятностей дискретных случайыых величин.
Пусть некоторая случайная величина Х может принимать одно из и возможных значений (хе, х1, ..., хь ..., х„!); 1 — порядковый номер соответствующего дискретного значения. Обозначим через Р(Х = х1) = Р(х;) вероятность того, что случайная величина,Х примет конкретное значение х! Пример закона 54 Обозначим в (2.72) У1'А, = Г и ве1+ Ф = Х. Если Ф имеет равномерное распределение на интервале '(-а; +а) с плотностью и(О) = 112а, то и Х имеет равномерное распределение на интервале (о~1 — а; ае1+ а) с той же плотностью. Для каждой отдельной реализации у = соя х следует х = агссоз у: Последняя зависимость (на основном интервале периодичности х от — х до +а) дана на рис. 2.19.
Из рисунка видно, что каждому у соответствуют два значения х. а) х, х, х, 0 х, х, х, х б) х, 0 х„ х, Рис.2.20. Дискретная случайная величина ед (а) распределение вероятностей и (б) интегральная функция Рис.2.19. Зависимость х= атссояу 55 распределения этой случайной величины показан в виде графика на рис.
2.20, а. Сумма вероятностей всех возможных значений СВ всегда равна единице, поскольку совокупность событий (х«) образует полную группу. Выберем на оси абсцисс рис.2.20,а некоторую произвольную точку х, которую будем рассматривать как независимую переменную. Одномерная ИФР случайной величины Х г"(х) = Р(Х < х) = ~ Р(х«) 1(Х вЂ” Х,. ) (2.75) О« для дискретного распределения дана на рис.2.20,б; 1(х — х,) — единичная «рункция, начинающаяся в точке хо Суммирование в (2.75) проводится по всем х«< х. Таким образом, ИФР дискретной случайной величины имеет ступенчатый вид со скачками в точках возможных значений случайной величины. Если использовать Ь-функцию, то можно определить ПВ для дискретного распределения: .(х)= — — '„«.Р(х«)а( -х,).
ГР(х) «я Распределение Пуассона. В ряде телекоммуникационных задач мы встречаемся со случайным точечным процессом (потоком), который представляет собой последовательность точек, расположенных случайным образом, например, на оси времени. Такие точки могут соответствовать различным событиям, например моментам времени поступления заявок на обслуживание, моментам времени наступления отказов в какой-либо системе и др. С точечным случайным потоком мы встречаемся и в задаче распределения вызовов на телефонной станции в течение суток (рис.
2.21). Общее число вызовов в теВызовы чение суток — величина случайная. Дня каждого временного интервала Т путем наблюдений можно установить среднее число вызовов мТ (математическое ожидание). Коэффициент пропорциональности ««характеризует интенсивность 0 г' г«0 ««г~ Т вызовов (сРеднее число вызовов в единицУ вРемени). ВеРо- рис2 21 П вл „„ ятность появления 7«вызовов Рк(Т) на интервале (0 7) чаще в слкчайнь«х точках интервала Т всего определяется формулой Пуассона (2.7б) Из (2.76) видно, что вероятность появления на этом интервале 0 вызовов (вероятность отсутствия вызовов) Р,(т) =Е (2.77) Докажем эти формулы.
Разобьем единичный интервал времени (например, 1 секунду) на )у= 1/ЬТподь«итервалов величины ЬТн будем считать, что в пределах малого интервала ЬТс определенной вероятностью Р,г появляется лишь один вызов (вероятность появления более одного вызова пренебрежимо мала), а вызовы на отдельных интервалах АТ появляются Ро(т+ Ьт) — Ря(7') Выражение (2.78) можно записать ' = -кРя(т). Устремляя йТ вЂ” ьО, получаем Ьт дифференциальное уравнение — = -кр,(т) . 7Р,(т) т7Т (2.79) Начальное условие Рс(0) = 1. Решение уравнения (2.79) приводит к (2.77).
Аналогичными рассуждениями найдем вероятность получения /с > 1 вызовов на интервале (О, 7). Пусть Рк(7)— вероятность появления 7т вызовов на интервале (О, Т). Тогда вероятность получения 7т вызовов Рк(Т+ Л7) на интервале (О, 7+717) равна Рь(7'+Ь!') = Р„(т)(1- кдт)+ РычЯиЬТ. Устремляя пт-+ О, получаем дифференциальное уравнсние ' Р„(т) т7Т = — кРк(7')+ иРк 1(Т) с начальным условием Р,,(0) = О. Выражение (2.7б) и является решением уравнения (2.80). На рис. 2.22 дана зависимость Рк(7) ог 7т при заданном параметре к.
Экспонеициальиое распределение. Оказывается, что для случайных точечных процессов с пуассоновским распределением (2.76) всличина т, представляюшая собой интервал между вызовами (рис.2.21), описывается экспоненциальным распределенисм с ПВ (рис, 2.23, а); ~,(т) = ЛЕ ", . > О, (2.81) а ИФР при зтом имеет вид (рис.2.23,б) т Р(т)=~ЛЕ 7 =1-Е ". (2.82) о С помошью формул (2.81) и (2.82) можно найти, например, вероятность того, что интервал между соседними вызовами окажется равным или меньше некоторого значения тс. Аналогичные формулы используются при определении ПВ интервала между двумя отказами (неисправностями) в работе аппаратуры.
Обширные сведения об ИФР и ПВ можно найти в литературе по статистической радиотехнике, например в [18, 22]. (2.80) Стационарные случайные процессы. Случайные процессы можно разделить на стационарные и нестацианарные. Стационарным случайным процессом в строгом смысле называется такой случайный процесс, для которого ПВ (или ИФР) любого порядка не зависит от сдвига процесса во времени на произвольную величину т. Это означает, что для любых н и т справедливо равенство и (т) а) у=— — ! =л Г(т) б) 0 1 2 3 4 5 б л Рис.2.23.
Экспоненцнальнсе распределение„его (а) плотность вероятности и (б) интегральная функция Рнс.2.22. Пуассснсвсксе распределение дискретной случайной величины 5б независимо. Тогда имеем )у независимых опытов, и по определению Рьг - -— — — кдт. ВероятМ ность отсутствия вызова на интервале Ь Травна 1 — Ркг = 1- Ьт. Пусть Рс(7) — зто вероятность не иметь вызовов на интервале (О, 7). Тогда вероятность Ре(Т+ Л7) не иметь вызовов на интервале (О, Т+ Ь7) равна вероятности совместного события: нет вызовов на интервале (О; 7) и нет вызовов на интервале (Т, Т+ Ь7): Ря(Т е Лт) = Ря(т)(1- нЬТ) . (2.78) и»(х1> х2> ..., х»> 11> >2» ".
1п)»>(х1> х2> ..., х»> >1 — т, >2 — т, ."> >» т). (2.85) 1 т х(г) — ~ х(~)а9~ Т, Следовательно, для эргодического процесса нахождение МО сводится к простому интегрированию. Среднее значение квадрата центрированного эргодического СП можно найти так: > ск' = (х(1) — х11' = — Ях(~) — х)'Ж.
Т 57 Отсюда следует, что все одномерные плотности вероятности должны быть идентичными, т.е. не должны зависеть от времени и(х, 1) = ю(х, à — т) = и(х). (2.83) Все двумерные плотности вероятности могут зависеть только от интервала т = ~2- 11.' из(х1 > х2> 11 > 2) и»2(х1> Х2> 11 т» 12 т) и (х1 > х>> т) (2.84) и не зависят от положения этого интервала во времени. В дальнейшем будут рассматриваться только стационарные в широком смысле случайные процессы, свойства которых описываются только одномерной плотностью вероятности, удовлетворяющей условию (2.83) и двумерной плотностью вероятности, удовлетворяющей условию (2.84). Соответственно для СП, стационарного в широком смысле параметры т1 и о~ на зависят от времени, а ФК зависит только от т.
Из определения стационарности в широком смысле СП следует, что его ФК вЂ” четная функция от т: В(т) = В(-т). Кроме того, легко показать, что для стационарного процесса В(т) < В(0) = сР. Для доказательства рассмотрим очевидное неравенство: [ ~12 (Х(~) — т,) — (Х(г-т) — т,)) >О. Раскрывая левую часть этого неравенства, получаем 21Х(г) — т,| — 2(Х(г) — т>)(Х(~ — т) — т,) = 2[о' — В(т)] > О.
Отсюда следует (2.85). Теория, охватывающая случайные процессы, стационарные в широком смысле, называется корреляционной. Очевидно, что процессы, стационарные в узком смысле, стационарны и в широком, но не наоборот. Эргодические процессы. Стационарные в широком смысле процессы в большинстве практически важных ситуаций обладают так называемым эргодическим свойством: усреднение по множеству реализаций случайного процесса Х(~) дает примерно тот же результат, что и усреднение по времени одной реализации х(~), если время усреднения Тдостаточно велико. Достаточное условие (условие Слуцкого) эргодичности стационарного (в широком смысле) случайного процесса можно записать в виде 1 г 1вв — ~ В(т)Ж = О.
т- Т о Математическое ожидание для эргодического СП можно определить путем усреднения во времени (обозначается волнистой чертой) единственной реализации х(г): я (г-т) Рнс.2.25. Функция корреляцнн случайного процесса с (1) медленно убываюглнмн н (2) быстроубывающнми связями Рнс.224. Схема для измерения функции корреляцнн зргодического случайного процесса Эта величина есть не что иное, как средняя мощность переменной составляющей процесса х (1) = х(1) — х (если х имеет размерность тока или напряжения). В данном случае операция определения а2 сводится к обычным операциям возведения в квадрат переменной составляющей процесса и интегрирования.
Функцию корреляции эргодического СП также можно получить усреднением во времени: (2.87) Вт(т) = [х (1)+У (1)~х (1 — т)+У (1 — т)1 = = х (1)х (1-т)+ у (1)у (1 — т)+ х (1)у (1-т)+ у (1)х (1-т) = В„(т)+В (т)+2В, (т), 1 где Вх(т) и В (т) — КФ пРоцессов Х(1) и 1'(1), а В (т) = — ~ х (1).У (1-т)сй т взаимно-корреляционная функция (В„у(т) = В (т)). Случайные процессы Х(1) И у(1) называют коррелированными прйзаданном т, если их взаимная корреля- 58 В(т) =х (1)х (1-т) = — 1х (1)х (1-т)п'1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
