Кловский Д.Д. и др. Теория электрической связи (1999) (1151853), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Если на графике множества реализаций случайной функции Х(г) (рис.2.13) выбрать момент (сечение) ~1, то множество )х'$4 значений реализаций в этот момент образует случайную величину Х. Значении этой случайной величины заранее неизвестны. Но можно установить некоторые закономерности, по которым можно судить о том, что в данном сечении случайная величина с вероятностью Р будет принимать значение в определенных пределах 1х, х + Лх). Плотность вероятности и интегральная функция распределения (ИФР), Для непрерывных процессов Х(Г) распределение вероятностей в заданном сечении гз характеризуется одномерной плотностью вероятностей (ПВ) Р(х я Х < х+ 6х) и(х)= Йп и О, выражающей отношение вероятности того, что случайная величина Х(г) примет значения в интервале х < Х < х + Ьх, к величине интервала ох. На рис.
2.14, а изображен типовой график одномерной ПВ. Вероятность того, что случайная величина Х примет значение в интервале (х1, хз) определяется выражением Р(х, я Х ~хз)= ~зг(х)юй. н а) х, х х б) Рис.2.13. Задание случайного процесса через совокупность его реализаций Рнс.2.14.
Типовой график (а) одномерной ПВ н (б) одномерной ИФР 50 Числовые характеристики. На практике часто ограничиваются рассмотрением хотя и менее полных, но зато более простых характеристик случайных величин (процессов)с называемых числовыми характеристиками или моментами. Числовой характеристикой случайной величины может служить момент )с-го порядка, определяемый как т„(г) = Х'(г) = М(х" (г)) = ~ х'и(х,г)с(г.
В частности, момент первого порядка, называемый математическим ожиданием (МО) СВ определяет среднее значение случайной величины т,(г) = Х(г) = М(Х(г)) = ~ х и (х, г)с(х, (2.65) где черта сверху означает усреднение по множеству реализаций. Аналогично вводится момент второго порядка О ,(г) = Х'(г) = М(Х'(г)) = ) х' (х, г) й О (2.66) 51 Интеграл в бесконечных пределах от функции со(х) равен единице 1 (условие нормировки для достоверного события) с Р( — со и Х Я со) = ) в(«)~Й = 1.
Другой важной характеристикой случайных величин Х является ИФР Р(х), определяемая как вероятность того, что случайная величина Хне превзойдет некоторого значения х: Р(«) = Р(Х < «) = ) сс(«)сГ« . ИФР имеет следующие свойства: 1) Р ( — со) = О; 2) Р (со) = 1; 3) Р (х) — неубывающая функция, т.е. Р (хз) ~ Р (х|) при хз > х~', 4) Р (х1 я Хк хз] = Р (хз) — Р (хс). График ИФР Р(х) приведен на рис. 2.14, б.
В прикладных задачах часто предполагают, что ИФР являются дифференцируемыми функциями и определяют а(х) как производную от ИФР: сс(«) = (2.64) Для более полного описания случайного процесса нужно располагать его л-мерной плотно- стью вероятности м(хс, хз, ..., х„; 1п Гз, ..., 1„) или л-мерной ИФР г(хп хз, ..., х„; Гп гз, ..., г„), выражающих свойства случайного процесса в произвольных сечениях Г1, ~ъ ..., Г„. В общем случае а-мерная ПВ определяется аналогично (2.б4) как д («и «з, ..., «„; Рп Гз, ..., г„) ссс(«с, «з, ..., «„; !„Рз, ..., Р„)— с"ссай " и Для полного описания непрерывного во времени СП приходится л -+ оо. Подобно тому, как при одномерном распределении вероятность того, что СВ попадает в заданный интервал на оси, равна площади под кривой «(х), ограниченной указанным интервалом (рис.2.14,а), при двумерной ПВ вероятность того, что СВ попадает в заданную область о плоскости, равна Р(о) = Ц сс(«,у)сс«сссу, К, у — координаты точки.
Нахождение л-мерной ПВ, равно как и л-мерной ИФР— трудная задача, которую удает- ся решить далеко не всегда. Разность между случайной величиной Х и ее МО Х вЂ” Х = Х представляет собой отклонение СВ от среднего значения. Она называется центрированным значением СВ. МО квадрата этого отклонения называется дисперсией или центральным моментом второго порядка (яи)="и= ~ги)=П*- и)'-~*,> (2.67) Величину сг = ~ф Х) называют стандартным или среднеквадратическим отклонением.
С учетом (2.65) и (2.66) выражение (2.67) приводится к результату о'(г) = 221Х(~)1 = е,(т) — т1Я(г) = Х'(г) — ХХЯ(г). Дисперсия характеризует разброс случайной величины относительно ее среднего значения. МО гп1 и дисперсия о' являются важными характеристиками случайной величины, однако они не дают достаточного представления о изменчивости случайного процесса во времени. При совместном изучении центрированных случайных величин Х1 — — Х(г,) и Хя —— Х(г,) сечений г1 и г2 центриро- Нормальное (гауссовское) распределение. В качестве примеров рассмотрим некоторые типовые ПВ и ИФР непрерывных случайных величин. Многие случайные величины, с которыми приходится встречаться в задачах практики, описываются так называемым двухпараметрическим нормальным нли гауссовским распределением (рис. 2.1б), для которого плотность Рнс.2.! 5.
График зависимости двух ФК от расстояния между сечениями т=д-1,. Рис.2.1б. Гауссовское распределение вризййаииой дисперсии о и двух значениях МО ') Математическое ожидание центрированной СВ всегда равно нулю. 52 ванного случайного процесса Х(г) = Х(г) — т,(г) вводится понятие смешанного момента второго порядка, называемого функцией корреляции (ФК): 0 Ю В(я,я)=м[х,.х,]~= /1~*,— ч(я)) (*,— ч(г)) (*„ч;ячч)яяя,, (268) О О где и(х1, х2, г1, г2) — двумерная плотность вероятности.
Функция корреляции характеризует степень статистической взаимосвязи значений Х1 и Х2 случайного процесса Х(г) в моменты г1 и г2, разделенные интервалом т = г2 — г1 (см. рис. 2.15). Убывание ФК с увеличением т свидетельствует об ослаблении связи между мгновенными значениями процесса. Если ФК при каких-либо значениях т имеет отрицательное значение, зто свидетельствует о том, что положительным отклонениям процесса в одном сечении соответствуют преимугцественно отрицательные отклонения в другом сечении и наоборот.
Если случайные величины Х1 и Х2 статистически независимы, то их двумерные ПВ определяется произведением одномерных ПВ: н(х1, х2', г1, г2) = и(х1,' г1)и(х2,' г2); ФК между двумя такими сечениями, как следует из (2.68), равна нулю'). вероятности представляется формулой 2 1 х — гп,(Г) 2р(х,г) =, ехр— ,/2 а'ф 2 '(а (2.б9) Как следует из. (2.69), гауссовское распределение полностью определяется двумя параметрами т! и пг. Непосредственным вычислением интегралов легко убедиться в том, что зти парамет- ры имеют смысл соответственно МО и дисперсии: М(Х)= ~ х ехр — ' Их= — ~ (о!+2и,)ехр — — й=т, О 2 -О -О ( и(и)= — ех — —, -оэ ( и ( +со. и'2л л~ 2 ) (2.70) Имеются таблицы для ИФР стандартного нормального распределения (Функция Лапласа) Р(х) = — ) е — — ди. и'2л л~ 2 ) (г(х) называется интегралом вероятности.) В литературе приводится и ряд других функций, связанных с Г(х), например Д(х) = — ) ехр( — — у~и =1 — Р(х).
С помощью функции Г(х) мож- ~/2л 2 но вычислить вероятность попадания гауссовской случайной величины Х в любой интервал (хп хг): "~= (".")- (".") (2.71) В частности, вероятность того, что случайная величина Х превысит некоторый пороговый уровень х„р, можно определить, положив в (2.71) хг = и2 и х! = х„„р. Равыомерыое распределеыие. Наиболее простым является равномерное распределение (рис. 2.!7), лля которого плотность вероятности постоянна для данного интервала (хп хг) и равна нулю за его пределами, т.е. , х е(х1,х2), и(х) = х2 х! О, х я(х,,х2).
Если, например, измерение какой-либо'величины производится с точностью до целого числа делений шкалы измерительного прибора, так что ошибки, превосходящие по абсолют- ному значению половину деления (или половину шага квантования в приборах с цифровым 53 График ПВ 2р(х, г) нормально распределенной случайной величины симметричен относительно ординаты в точке х = и2ь Нормальный закон распределения имеет место практически во всех случаях, когда случайная величина образуется в результате суммирования очень большого числа случайных величин одного порядка малости (см.
в 4.7). если и2! = О, то плот! ( х ность вероятности описывается выражением н(х,!) = ехр — — . Из графиков 1~2л Я 2ег(!)) рис. 2.16 следует, что наиболее вероятным значением гауссовской случайной величины Х является ее МО. Преобразованием и = (х — л2!)/о 'нормальное распределение с произвольными параметрами л2! и а приводится к стандартной нормальной плотности вероятности с параметрами и2! = О, е = 1 О х, х а) Г/// б) А О А и х, Рис.2.! 8. Гармонический сигнал се случайной фазой, его (а) реализация и (б) плотность вероятности Рис.2,17, Плотность вероятности при равномерном распределении отсчетом), практически невозможны, то ошибка измерений а представляет собой равномерно распределенную СВ.
Возможными значениями я являются в этом смысле действительные числа, не превосходящие по абсолютной величине половину деления шкалы. Распределеыне вероятыостей мгновеыных зыачеынй гармоыического колебаыиа. Пусть У(1) = Ассов(ве1+ Ф), (2.72) где амплитуда Ае и частота ая известны, а фаза Ф вЂ” случайна и принимает с равной вероятности и (о) = 112а любые значения в интервале (-а; +а). Набор реализаций процесса (2.72) дан на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
