Кловский Д.Д. и др. Теория электрической связи (1999) (1151853), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Для упрощения анализа ограничимся случаем, когда дисперсии квадратурных компонент равны а~ = а~ = о~ . Тогда из (2.133) следует (2.134) г ' Пз~(, 2о' Ъ" о Перейдем от декартовых координат А„А, к полярным координатам А = ))'А~ + А~, ~р = агсщ(А,/А,), Тогда А, = Ассар„А, = Аз)п~р. Элементарная площадка в декартовых координатах равна НА„АА, (см. рис. 2,32, а). Площадку той же величины в полярных координатах можно выразить формулой АйрИАз) (см.
рис. 2.32, б). Приравнивая вероятности элементарных событий в двух системах координат, получаем . в(А„А,)НА,ИА, = в(А, А,)АйрИА = в(А, ~р)ЫАйр и в(А, <р) = в(Асоир, Аз)пгр)А. С учетом (2.134) следует результат (А,р)=,е" " е (2,135) Одномерную плотность вероятности огибающей получим, интегрируя (2.135) по всевозможным значениям ~р на интервале периодичности гармонической функции ( — и; +и) я в(А)= ~ (АЛ)йр = —,Е" " — ) Е' йр, О=вес)й — ', (2.136) Интегрирование можно выполнить при помспци табличного интеграла г саов(е "е) йр = ~о(С) 2)е где 1д(С) — модифицированная функция Бесселя нулевого порядка (при С= О имеем у+о) а) О х +Ах б) О Рис.2.32.
Определение элементарных площадок в декартовых (и) и полярных (б) координатах " Поворот системы координат, при которой обеспечивается иекоррелированность А, и А„не влияет на модуль А= ~ А ~, следовательно, и на его ПВ. 2) Говорят, что якобиан преобразования из декартовой системы координат в полярную равен А. 71 Хо(С) = 1, с ростом ~ С~ функция непрерывно возрастает). После интегрирования следует ре- зультат (2.137) Формула (2,137) выражает обобщенный закон Рэлея или закон Райса.
Узкополосный случайный процесс Х(т) с регулярной частью Хр(г) (с отличным от нуля МО) можно представить, как х(~)-(А.,~) ...-(;.,~)ы.,~.лте,х(,). Отсюда видно, что амплитуда регулярной части сигнала (2.139) С учетом (2.139) представим распределение Райса ~(А)= — е " 7,~ — '), А~о. (2.140) (2.138) А Эта зависимость при различных параметрах — ~ дана на рис. 2.33, а. Одномерную плотность а вероятности фазы получим, интегрируя (2.135) по всевозможным значениям А (от 0 до ез).
Следует результат 1 —, А сок~<р — О) А„соку — О) -4) е '(е-е) (р)= — Е" + ' 1- ", Е ", — <р-О<+и. 2п .Ящ2 2 о~ Ар График этой функции дан на рис.2.33,6 при различных параметрах — '. При отсутствии регуо парной части сигнала'> (ги, = т, = Ар = О), учитывая, что Хо(0) = 1, получаем из (2.140) рэлеевское распределение амплитуды и~ т 1 и(А)= — тЕ ', Аео. (2.141) о Фаза сигнала в этом случае имеет равномерное распределение 1 — — я<уяя, ю(~р) = 2п О, рй'>ж (2.142) А От (2.141) часто переходят к распределению безразмерной величины у= —.
Из условия о и(у)оУу = и(А)ЫА находим рэлеевское распределение для нормированной амплитуды „2 (у)=уе ',у~о. (2.143) Распределение (2.143) дано на рнс. 2.34. МО огибающей, распределенной по Рэлею (2.141) 1и(у) и (А) 0,6 0,4 0,2 б) А О 0 Рис.2.33. Распределение амплитуд (а) и фаз (б) райсовского вектора Рис.2.34. Распределение амплитуды безразмерного рзлеевского вектора Н Можно показать, что только в этом случае СП (2.128) стационарен в широком смысле, 72 Рис.2.3б. Вид функции корреляции узкополосного квазибелого шума А = ~ А и( А) с(А = о. — . 12 о Среднее значение квадрата огибающей А' = бающей (средняя мощность флуктуаций) озл = Корреляционная функция узкополосного случайного процесса.
Пусть СПМ узкополосного СП Х(г) на положительных частотах [$ — Г;,Я+ Я является равномерной бои = У, и равна нулю вне.этой полосы (рис. 2.35, а). ФК такого СП л+~, В(т)= 56,®соавтор= — 'вшвт = — '~вш(в,+в.)т-вш(в,-в.Я 2гтт А-г, 2пт л-", Используя формулу вша — вш)3 = 2со — вш (2.144) получаем В(т) = Во(т) созвот, где (2.145) В,(т) = 2Ф,Р, (2.146) Й,т Выражение (2.146) определяет ФК низкочастотного квазибелого шума (рис. 2.35, б). График ФК, определяемый формулой (2.145), дан на рис. 2.36. Отметим, что дисперсия узкополосного процесса (равная дисперсии низкочастотного квазибелого шума) сг2 = В(0) = Вп(0) = 2ГвУо.
. ' 2.8. НЕКОТОРЫЕ МОДЕЛИ НЕПРЕРЫВНЫХ И ДИСКРЕТНЫХ ИСТОЧНИКОВ (СООБЩЕНИЙ, СИГНАЛОВ И ПОМЕХ) Прямое и косвенное описание процессов. Способы представления как случайных, так и детерминированных процессов можно разделить на прямые и косвенные. К прямым способам описания относится аналитическое представ- 73 б) -к. о г. г Рис2.35, Графики СПМ (а) узкополосного квазибелого шума на положительных частотах н (б) низкочастотного каазибелого шума Аз и(А)ЫА = 2аз .
Дисперсия рзлеевской огио з 2 4 в 2 А — А = — а 2 ление реализаций процесса временными функциями на основе функциональной связи значений сигнала в данный момент с его значениями в прошлом. То же относится к различным функциональным преобразованиям, отображаемым алгебраическими, разностными, интегро-дифференциальными уравнениями, в которых' функциями времени являются детерминированные или случайные процессы.
Так, задача исследования переходного процесса в линейной стационарной системе классическим методом с использованием дифференциального уравнения системы является типичной для прямого способа описания сигналов. Спектральное описание колебаний — характерный пример косвенного описания. К косвенным способам описания процесса можно отнести такие параметры сигналов, как эквивалентная ширина спектра, эквивалентная длительность. При описании случайных процессов в предыдущих параграфах мы пользовались косвенными характеристиками случайного процесса: интегральной функцией распределения, плотностью вероятностей, моментами первого и второго порядка, дисперсией, функцией корреляции, интервалом корреляции и другими усредненными статистическими характеристиками.
При косвенных способах описания вероятностные закономерности отражают устойчивость средних результатов. Косвенное описание СП находит основное применение в задачах анализа. В задачах синтеза СП прямой способ сводится к определению алгоритма воспроизведения его реализаций по заданным вероятностным характеристикам (косвенному описанию). При этом СП можно представить на основе описания поведения динамической порождающей системы (рис. 2.37, а), на вход которой воздействует белый шум У(~), а на выходе формируется процесс Х(г) с требуемыми характеристиками.
Иначе говоря, прямой способ задает. алгоритм генерирования процесса, а косвенный — вероятностные характеристики процесса. Как прямые, так и косвенные способы описания случайных процессов широко применяются в задачах теории связи. Некоторые модели источников (сообщений, сигналов, помех). Пусть выход источника представляет собой непрерывную функцию х(~), являющуюся реализацией некоторого случайного процесса Х(г), Для описания Х(г) воспользуемся динамической порождающей системой (рис. 2.37, а), на вход которой подается стационарный белый гауссовский шум М(г) со спектральной плотностью мощности Уо.
Случайный процесс Х(г) на выходе простейшей динамической системы (интегрирующей ЯС-цепочки) первого порядка (рис. 2.37, б) определяется стохастическим дифференциальным уравнением состояния. а".с(г) й+Ыа и — + Я= И(), сй(~) (2.147) Н~ й где а = 1/ЯС вЂ” известная постоянная величина; У(г) — стационарный белый гауссовский шум с известными статистическими характеристиками: М(Лф)) = О, М(Ф(~)Ф(г-т)) = — 'Ь(т).
2 (2.148) Общее решение линейного уравнения (2.147), состоящее из решения однородного уравнения (определяющего. свободные колебания) и частного решения (при заданной реализации п(Г)), имеет вид (г) б) п(т) б) о з Рнс.2.38. Зависимость СПМ на выходе динамической системы 1-го порядка (а) и ФК (б) случайного процесса процесса Х(т) Рис.2.37. Порождающая система (фильтр) (а) и динамическая система 1-го порядка под действием реализации БГШ л(г) (б) — = х,(г) пй(г) стг п(к,(1) = 2ах,(Г) — в,'х(Г)+в, Л((Г) (2.151) х(т) п(!) Рис.2.40. Последовательный колебательный контур под воздействием реализации БГШ и(т) Рис.2.39.
Схема вычислителя для формирования СП на выходе динамической системы 1-го порядка при подаче иа вход гауссовского белого шума лс х(Г) = х),Г,) Е "+ — 1 Е "' п(л)сй, о где к(4)) — начальное условие. Можно показать, что рассматриваемый СП Х(г) является гауссовским и марковским, а его СПМ (см. гл. 4) 2 ))т .,и= — "!Х(з-)!' = (2.149) , 1 где К(ь)в) = . — передаточная функция интегрирующей ЯС цепочки. 1+ )вЯС На рис.2.38, а изображен график СПМ, определяемый согласно (2.149) на положительных частотах. Спектру (2.149) соответствует КФ экспоненциальнозатухающего типа (рис. 2.38, б)' В„(т) = 5 Ст„Яе1 ф = о те (2.150) где дисперсия а2 = Вх(0) = аУс/4.
График зависимости (2.150) при т > 0 показан на рис. 2.38, б. На.основе уравнения состояния (2.147) можно составить схему устройства (вычислителя) для формирования случайного процесса с заданными КФ и СПМ (рис. 2.39). В качестве модели источника, порождающего узкополосный случайный сигнал, можно использовать случайный процесс Х(г) на выходе колебательного контура (рис.
2.40) при действии на его входе белого шума с теми же характеристиками, что и в предыдущем примере. ФК и СПМ случайного процесса Х(1) (который является гауссовским и марковским) определяются теперь на основе системы стохастических уравнений состояния соответствующих дифференциальному уравнению 2-го порядка (контура), где 2 2а = Я/Е, езо, = — (для контура с малым затуханием считаем ао, » а'); ФК процесса Х(1) имеет экспоненциально-косинусную форму В.(т) = а'е ми соваот+ — вшсзоЦ (2.152) аз о 2 о '"ое'о где дисперсия процесса а = —.
СПМ определяется выражением 8а ОА 1') = ~ В,(т)е о оу— (2.153) Гауссовские и марковские СП, сформированные на основе стохастических дифференциальных уравнений (2.147) и (2.151), часто используются в качестве типовых моделей телеметрических сообщений, телевизионных и речевых сообщений. На модели речевого сообщения целесообразно остановиться более подробно. Модели речевого сообщения. Под речевым сообщением Ь(() будем понимать электрическое колебание, наблюдаемое на выходе электроакустического преобразователя при действии на его входе акустической речевой волны. К преобразователю отнесем микрофон вместе с фильтром, формирующим спектр выходного колебания в заданной полосе частот, а также устройство регулировки уровня. ЬЩ является речевым сообщением (первичным сигналом) в непрерывном времени т, его спектр сосредоточен в определенной полосе частот, например, для стандартного телефонного канала 300...3400 Гц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
