Кловский Д.Д. и др. Теория электрической связи (1999) (1151853), страница 21
Текст из файла (страница 21)
В системах электрической связи встречаются и другие преобразования сигналов, связанные с трансформацией спектра, К ним относятся: а) генерация сигналов определенной формы, например гармонических с частотой $, используемых в качестве несущих при модуляции. Поскольку генератор питается за счет источника постоянного тока (напряжения), здесь имеет место типичная ситуация с трансформацией спектра; б) преобразование частоты. В этом случае сигнал на входе устройства иа,(Г) = у(Г)соз[оэсг+ ~р(г)] с переменной амплитудой с'(г) и (нли) фазой <р(г), сосредоточенный по спектру около частоты Д~, превращается на выходе устройства в сигнал и,„„(т) = КЩсоз[а„рг+ ~р(г) + ~ре], имеющий ту же форму (К и щ — константы), но сосредоточенный по спектру около частоты Др При преобразовании частоты вверх Улр >А, при преобразовании вниз У„р < Д~. Преобразование частоты часто используется в современных устройствах при приеме сигналов как с амплитудной, так и угловой модуляцией; в) умножение и деление частоты, когда входной гармонический сигнал и „(г) = Ц>соз[асг + ее] превращается в сигнал и,а,(У) = Квасов[(а~я/л)1+ <р~], где т и и — целые числа.
Такие устройства часто используются на практике при генерации заданной сетки частот. Линейные системы с постоянными параметрами (стационарные системы) не могут трансформировать спектр входного сигнала и,„(Г). Действительно, любой входной сигнал можно представить суммой гармонических компонент. Гармоническое же входное колебание и =е~ является собственной функцией системного оператора х, линейной стационарной сис- П В технике часто используется многоступенчатая модуляция (см.
ниже). В этом случае приходится реализовать и многоступенчатую демодуляцию. Последнюю ступень демодуляции, выдающую оценку Ь(~), называют детектированием. Именно эта ступень демодуляции рассматривается в дальнейшем. 82 На практике параметрич..й резистивный элемент Я(г) получают путем внешнего управления нелинейным сопротивлением.
Рассмотрим нелинейный резистивный двухполюсник с вольт-империей характеристикой (ВАХ) ! =Яи) (рис. 3.2), на который действуют напряжения сигнала и1(1) н управления из(г). Ток в нелинейной цепи (=Яи1 + из). (3.2) Предположим, что сигнал управления существенно превышает входной сигнал: )и ~ л )и,) . Разлагая (3.2) в ряд Тейлора по малому сигналу и1 и удерживая два члена ряда, получаем и, и, Рис,3.1. Параметрическая система нулевого порядка Рис.3.2.
Нелинейный резистивный двухполюсник под воздействием двух напряжений 83 темы, т.е. таким входным колебанием, которое на выходе не меняет свою фор- МУ: Пвых(Г) = 2 1цвх(Г)) = ) цвх(Г) )~ СОбетВЕННОЕ ЗНаЧЕНИЕ ОПЕратОра. На СаМОМ деле, согласно интегралу Дюамеля при заданной импульсной характеристике системы Ф() (см. гл. 4): Р О и (г) = ~8(т)и,„(г — т)сй = ~8(т)ез"'"1А = ели ~8(т)е ~Ж . Таким образом, собственным значением системного оператора Е является Ю комплексное число л.= Ки= ~8(т)е) А, которое определяет частотную характеристику (ЧХ) системы (см, гл. 4). Для трансформации спектра можно использовать или линейную систему с переменными параметрами (параметрическую систему), или нелинейную систему..Ограничим анализ параметрической системой нулевого порядка (без реактивностей) и нелинейной системой нулевого порядка. На рис.
3.1 изображен резистивный параметрический двухполюсник. Пусть входное напряжение меняется по гармоническому закону с частотой /~. и)(г) = асов(в)г + гр)), а параметрическая проводимость (крутизна характеристики) меняется по гармониче- скомУ законУ с частотой УпРавлениЯ ф ю(г) = юо + ю)сов(в г+ 1Ру). согласно закону Ома ток в цепи 1(г) = и)(()5(г) = Ц з()сов(в)г + гр1) + У1 з)соя(в)( + гр1)сов(вуг + сру).
Воспользовавшись известной из тригонометрии формулой сова сов)3 = 0,5соз(а + )3) + 0,5соз(а — )3), (3.1) получаем ф) УЯ, ~ (~~~р)<05лд~((~,~~„)~ ~ р, ~д,1<- +0 5УД щ((~, — )(+е, -у ). Таким образом, ток (выходной сигнал) содержит компоненты на частотах Я~ ~ф которых нет во входном сигнале, т.е. произошла трансформация спектра. Полезные (при решении тех или иных задач) частотные составляющие тока 1(г). выделяются линейной фильтрацией.
б) Рис.3.3. Схема перемножения двух сигналов Рис.3.4. Графическое изображение вольт-амперной характеристики (а), входного переменного напряжения в рабочей точке (координаты Е,~„) (6) и изменения тока во времени (в) гд Й ~(г) = у'(из)+ — гч(г) . Обозначим через Я (и ) = — ' . дифференциальную крутизну неди и=и 6Ь и=из линейного резистора в точке и = из. Тогда сигнальная составляющая тока ф)'= г (из(г))и,(~) . (3.3) Следовательно, описанным образом можно реализовать цепь с параметрическим сопротивлением я (из) =1/3 (и,) П.
1 ) Аналогично можно реализовать цепь с параметрической емкостью С (~)= —, если Й~ Ни и = ьь на нелинейную емкость с вольт-купонной характеристикой 4 =Яи) воздействовать суммой напряжений сигнала и управления и1(~) + и2ф. Можно также реализовать цепь с параметри- ИФ~ ческой индуктивностью Е (),) = — ~, если на нелинейную индуктивность с амперы;~=, вебернай характеристикой Ф = г(ю) воздействует сумма токов сигнала и управления )1(г) + )з(г). Если переменные входные напряжения .настолько малы, что (3.4) можно ограничить линейной аппроксимацией (= по+ а1(У вЂ” Е). — трансформация спектра входного сигнала невозможна.
84 Согласно (3.3) параметрический резистивный (безынерционный) элемент функционирует как перемножитель входного сигнала ивх(г) и управляющего колебания ф(г), что показано на рис. 3.3. Знаком "х" обозначен блок, осуществляю)ций перемножение двух сигналов. Через Ф обозначен блок, осуществляющий фильтрацию для выделения полезного выходного сигнала. Рассмотрим нелинейную схему рис. 3.2 при произвольных соотношениях сигналов и) и и2. Вольтамперную характеристику нелинейного ~ =Яи) (см. рис. ЗА, а) очень часто аппроксимируют (относительно рабочей точки, определяемой напряжением смещения Е) полиномом и-й степени: г = аб + а)(и — Е) + аз(и — Е)2 + аз(и — Е)3 + ... + аи(и Е)"..
(3.4) - Чем выше степень полинома и, тем точ ее (в заданных пределах изменения входного напряжения) можно описать изм ление тока. При малых переменных входных напряжениях (ЗА) можно ограничиться квадратичной аппроксимацией2) . Предположим, что (см; рис. 3.4, б) и = Е+ и) = Е+ Ц сох(оз)г'+ <р)) (гармоническое воздействие).
Тогда, воспользовавшись формулами кратных дуг совв а = (1+ сов 2а) / 2 сов' а = (3 сова + совЗа) / 4 сов а = (3+ 4 сов2а + сов4а) /8 сов' а= — (10 сова + 5совЗа+ сов5а) /16 (3.5) Рис.3.5. Аппроксимьция нелинейного элемента ломаной прямой '1 При исследовании нелинейных систем, когда полезный продукт определяется только первой гармоникой /,, часто вводят понятие средней крутизны Я„(У)= /,/У,, т.е. вводится по- пятне линеаризации при данном значении /), нелинейной системы по первой гармонике (так как /,=Ю„(1/)1),).
В нашем случае о, (1/)=а, + — а,У, + — а,У, + ... 85 получим для тока (рис 3.4,в), содержащего гармоники входного воздействия, выражение 1 = /О + 11сов(аэ1/+ ф1) + У2сов(Ъо1/+ 2ф1) + /зсов(Зпэ1/+ Зф1) +... ... + УлСОВ(ПГП1/+ Пф1), (3.6) где постоянная составляющая тока / = п + — а //, + — а„у, +..., 2 3 4 2 8 аМПЛИтуда ПЕрВОй ГарМОНИКИ1) /, = п,и, ~ — п,й, + — п,и,'+..., 4 8 амплитуда второй гармоники /, = — п,и,'+-а,1/,'+...
', 2 8 аМПЛИТула ТРЕТЬЕИ ГОРМОНИКИ / = — а У + — а~У~+... И Т.Д. з 4 1 16 Предположим, что м1 м2 Е+ С/1 СОВ(ОЭ1Г+ ф1) + 1/2 СОВ(ОЭ2/+ ф2) (бигармоническое воздействие). Тогда, воспользовавшись формулами (3.1), (3.5) и формулой бинома Ньютона ел /'/г'1 ! (а+Ь)' = ~~ ~',а" 'Ь', С,' = Ц 1-0 можно видеть, что при бигармоническом воздействии в составе тока имеются частоты /'= /г/~ ~ т6, /с=О,п, т= О,л, (/с+ т) < л: Гармоники частоты /~ соответствуют значениям /и = О (/с~О), гармоники частоты /2 — значениям /г = О (/и~О). Частоты, получаемые при значениях т и /с, не равных нулю одновре- 1 менно, называют комбинационными. 1„ При этом число (/г+ /и) называют порядком комбинационной частоты.
Очень часто при исследовании ' 2О ~ ен О- + схем с нелинейными элементами при -О ' О гармонических воздействиях и„(/) с большими амплитудами ВАХ аппрок- 1 и симируют ломаной линией (кусочно- 1 линейная аппроксимация (см. Оэг рис. 3.5)). Аналитическая запись для ломаной прямой имеет вид О, и<У, Я(и — У ), и~У, и=Е+Усовгаг, (3.7) (3.12) При приближенном расчете постоянной составляюгпей тока 1е, первой гармоники 1~ и второй гармоники 1з для произвольных нелинейных характеристик пользуются методом трех ординат. В этом случае задают три точки на нелинейной характеристике (см. рис.
3.4): макси- 86 где Š— напряжение смещения, определяющее рабочую точку; У, „. — напряжение отсечки. График тока имеет вид косинусоидальных импульсов с отсечкой. Под углом отсечки имеют в виду безразмерное время гв1, в пределах которого ток меняется от максимума до нуля или в пределах которого входное напряжение меняется от максимального значения до У, .
Следовательно, можно написать Е+ УсовО = У „.. Откуда У,-Е совО = (3.8) Угол отсечки может принимать значения от нуля (ток не проходит) до л (линейный режим работы схемы). При Е= У, „. имеем О = л/2 (проходят положительные полупериоды входного сигнала). Постоянная составляющая тока гп определяется формулой 1, = — 1 г(г)Ж. т г„ Вводя безразмерную переменную к = Ы, имеем 1 г ЯУг Я7 1, = — 3 г(х)Ж= — ((совх — совО)с!х= — (япО-ОсовО). 2л , 2л л Вводя коэффициент уо(0) = (1/л)(япΠ— ОсовО), называемый коэффициентом Берга (Ц для постоянной составляющей, можно написать 1о = оУуо(0) (3.9) С учетом (3.7) и (3.8) получаем формулу для максимального значения тока: ггаах С(Е+ У Уотс) сУ(1 ~овО).
Тогда 10 гюахао(0) ~ (3.10) где ао(0) = уо(0)/(1-совО). Если в ходе исследования фиксируются У, 5' и О, то для расчетов используется формула (3.9); если фиксируются Ка,ах и 0 — используется формула (3.10). Аналогично находим амплитуду первой гармоники тока: е 1, = — 1 1(х) совхгй = БУу,(0) =1 „а,(О), (3.11) -е где у1(0) = (1/л)(0 — в1пОсовО), а1(О) = у1(О)/(1 — сокО). Для л-й гармоники тока (при и = 2, 3, ...) имеем 1 1„= — ~ '(х) М )г1х=ЗУу„(0)= ' „а„(0), -е 2 яп(лО) совО -исоа(пО) вш 0 у„(0) где у„(О) — ... и а„(0) = " — коэффициенты Берга л и1,гг — 1) 1- совО по л-й гармонике. Отметим, что для часто используемого режима 0 = л/2 имеем уо(л/2) = ао(л/2) = 1/л, у1(л/2) = а1(л/2) = 1/2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
