Диссертация (1150940), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

 Ar  Ω ( Ω – достоверное событие), Ai  Aj   при i  j .81Множество всех возможных векторов вероятностей p  ( p1 ,..., pn ) есть(n  1) -мерныйсимплексS n1  { p  ( p1 ,..., pn ) : p1  ...  pn  1, pi  0, i  1,..., n} ,лежащий в n -мерном евклидовом пространстве R n . Таким образом, имеет местонеопределенность выбора вектора p  ( p1 ,..., pn ) из множества S n1  R n , которая,согласноТ.Байесувероятностей,то[91],моделируетсяестьзаданиемрандомизациейслучайноговектораэтоговектора~p  (~p1 ,..., ~pn ) ,принимающего значения из множества S n1 и определяемого некоторойплотностью распределения f ~p ( p)  f ~p ( p1 ,..., pn ) , p  S n1 .Подставляя случайные компоненты ~p1 ,..., ~pr рандомизированного векторавероятностей ~p в формулы, определяющие плотность распределения f ( x; p) ,функцию распределения F ( x; p) , математическое ожидание μ( p) и дисперсиюσ 2 ( p) случайной величиныp1 ,..., pr ,получаемхарактеристик~xкак соответствующие функции параметроврандомизированныеэтойслучайнойаналогивеличины:указанныхчетырех~f ( x)  f ( x; ~p )  f ( x; ~p1 ,..., ~pn ) ,~~  ( ~F ( x)  F ( x; ~p )  F ( x; ~p1 ,..., ~pn ) , p)   2 ( ~p1 ,..., ~pn ) .p)   ( ~p1 ,..., ~pn ) , ~ 2   2 ( ~Введем следующие обозначения и запишем очевидные соотношения дляматематических ожиданий pi , начальных моментов второго порядка pi2 ,дисперсий δi2 , стандартных отклонений δi , смешанных начальных моментоввторого порядка pi p j и ковариаций δi j компонент ~p1 ,..., ~pn рандомизированноговектора вероятностей ~p :pi2  δi2  pi2 ,pi  E ~pi , pi2  E ~δi2  D ~pi  pi2  pi2 ,pi p j  E ~pi ~p j  δi j  pi p j ,δi j  cov( ~pi , ~p j )  pi p j  pi p j .В качестве искомых оценок ожидаемых (усредненных) значений~~рандомизированных характеристик f ( x) , F ( x) , μ~ , σ~ 2 случайной величины X82~~естественно взять их математические ожидания f ( x)  E f ( x) , F ( x)  E F ( x) ,~ , σ 2  E σ~ 2 , которые можно найти по формулам:μEμn~f ( x)  E f ( x)  E f ( x; ~p )   pi f ( x; i ) ,i 1n~F ( x)  E F ( x)  E F ( x; ~p )   pi F ( x; i ) ,i 1n  E ~  E  ( ~p )   pii 1d i 1  d i,2nnd i21  d i 1 d i  d i2(d i 1  d i ) 222 ~22~  E   E  ( p )   pi  [ i  pi )]34i 1i 1n(d i 1  d i ) (d j 1  d j ) 2  ( i j  pi p j ).4i , j 12i  jВ качестве оценки среднего значения рандомизированного стандартногоотклонения σ~ можно взять величину    2 .Рандомизация вероятностей p1 , p2 , , pn альтернатив A1 , A2 , , An можетпроизводиться посредством различных распределений способами.

К достаточнопростым формулам приводит распределение Дирихле, которым мы ивоспользуемся.Сначала рассмотрим простейшую систему альтернатив A1 , A2 , A1  A2  Ω ,A1  A2   , вероятности которых суть p1  P( A1 ) , p2  P( A2 ) , p1  p2  1 , 0  pi  1,i  1,2 . Предполагается, что неизвестный вектор вероятностейпринадлежит одномерному симплексуp  ( p1 , p2 )S1  { p  ( p1 , p2 ) : p1  p2  1, pi  0, i  1,2} ,расположенному в двумерном евклидовом пространстве R 2 . Неопределенностьвыбора вектора вероятностейp  ( p1 , p2 )из множества S1 моделируетсярандомизацией этого вектора, то есть заданием случайного вектора ~p  ( ~p1 , ~p2 ) ,принимающего значения из множестваS1и определяемого некоторойплотностью распределения f ~p ( p1 , p2 ) .В байесовской статистике задача [26] оценки параметра p1 (второйпараметрp2однозначноопределяется83первым:p2  1  p1 )плотностираспределения f ~p ( p1 , p2 ) обычно ставится как задача оценки параметра p1биномиального распределения [26]:~ m /~f m~1 (m1 / p1 )  P({m11 p1  p1}) m!p1m1 (1  p1 ) m2 ,m1!m2 !где m1  m2  m , p1 есть вероятность осуществления события A1 в одномиспытании, m~1 ( m1 ) – случайная частота (наблюдаемая частота) появлениясобытия A1 в m испытаниях.

Таким образом, величина f m~ (m1 / p1 ) есть условная1вероятность появления события A1 ровно m1 раз при условии, что вероятностьпоявления этого события в одном испытании равна p1 .Неопределенностьслучайнымвыборомвыбораэтогозначениязначения,параметрат.е.p1описываетсярандомизациейпараметрабиномиального распределения, дающей случайный параметр ~p1 , имеющий~бета-распределение с параметрами v1  0 , v 2  0 . Иными словами, ~p1   (v1 , v2 ) ,~где  (v1 , v2 ) есть непрерывная случайная величина, описываемая плотностьюf ~p1 ( p1 )  f ~ ( p1 ; v1 , v 2 ) p1v1 1 (1  p1 ) v2 1,(v1 , v 2 )где (v1 , v 2 ) есть бета-функция (эйлеров интеграл первого рода), задаваемаяформулой1(v1 , v 2 )   x v1 1 (1  x) v2 1 dx 0(v1 )(v 2 ),(v1  v 2 )где, в свою очередь, v  - гамма-функция:(v)   x v 1 exp ( x) dx , v  0 .0Для натуральных значений аргумента v гамма-функция, как известно,принимает вид простого факториала (v  1)!.Тогда формулу плотности f ~p ( p1 ) можно переписать в виде:1f ~p1 ( p1 )  f ~ ( p1 ; v1 , v2 ) (v1  v2 ) v1 1p1 (1  p1 ) v2 1 , p1  (0,1) .(v1 ) (v2 )84В этом случае можно получить оценки математическое ожидание и~стандартное отклонение рандомизированной вероятности ~p1   (v1 , v2 ) :~p1  E ~p1  E  (v1 , v2 ) v1,v1  v2v1 v 2.(v1  v 2 ) 2 (v1  v 2  1)~ 1  D ~p1  D  (v1 , v2 ) Из этих формул нетрудно выразить параметры v1 , v2 :v2p1 p 2 1,   2221v1  p1v , v 2  p 2 v ,δ12  δ22 .С помощью формулы полной вероятности получаем формулу для~  m }) появления события A ровно mбезусловной вероятности f m~ (m1 )  P({m11111раз в серии из m независимых испытаний:1~  m })  f ~ (m / ~f m~1 (m1 )  P({m11 m1 1 p1  p1 ) f ~p1 ( p1 ) dp1 0m ! (v1  m1 , v 2  m2 ).m1! m2 !(v1 , v2 )Далее, из очевидного соотношения f m~ (m1 / ~p1  p1 ) f ~p ( p1 )  f ~p ( p1 / m1 ) f m~ (m1 )111получаем выражение для условной плотности распределениярандомизированного параметра1f ~p* ( p1 / m1 )1~p1* , полученной при условии, что вmнезависимых испытаниях событие A1 появилось ровно m1 раз:f ~p* ( p1 / m1 ) f m~1 (m1 / ~p1  p1 ) f ~p2 ( p2 )f m~1 (m1 )1.Данное соотношение обычно называется «формулой Байеса».

Подставляяв него выражения для условного распределения f m~ (m1 / p1 ) , для распределения1f m~1 (m1 ) и для плотности f ~p1 ( p1 ) , получаем:f ~p* ( p1 / m1 ) 1p1v1  m1 1 (1  p1 ) v2  m2 1(v1  v 2  m)p1( v1  m1 )1 (1  p1 ) ( v2  m2 ) 1 .B(v1  m1 , v 2  m2 )(v1  m1 )(v 2  m2 )85Отсюда следует, что условная случайная вероятность ~p1* , задаваемаяусловной плотностью распределения f ~p ( p1 / m1 ) , имеет бета-распределение с*1~параметрами v1*  v1  m1 , v2*  v2  m2 : ~p1*   (v1  m1 , v2  m2 ) , m1  m2  m .Тогда математическое ожидание и дисперсию условной случайнойвероятности ~p1* :~p1*  E ~p1*  E  (v1  m1 , v2  m2 ) ~[ 1* ]2  D ~p1*  D  (v1  m1 , v2  m2 ) v1  m1,v1  v2  m(v1  m1 ) (v2  m2 ).(v1  v2  m) 2 (v1  v2  1)За плотностью распределения f ~p ( p1 ) рандомизированного параметра ~p1 в1основной массе текстов по байесовской статистике закрепилось название«априорная плотность распределения», то есть известная исследователю допроведенияопыта.Условнаяжерандомизированной вероятности~p1*плотностьраспределенияf ~p* ( p1 / m1 )1обычно называется «апостериорнойплотностью распределения», то есть условная плотность f ~p ( p1 / m1 ) становится*1известной исследователю только после проведения опыта по реализации серииm испытаний, позволяющей реально наблюдать некоторое число m1 появленийсобытия A1 .Однако, само математическое выражение «формулы Байеса» вовсе непредопределяетоднозначноинтерпретацию,излагаемуювтерминах«априорных» и «апостериорных» распределений, и в контексте настоящейстатьи мы будем пользоваться несколько иной трактовкой.

А именно,предполагается, что на момент составления прогноза исследователь обладаетэмпирической информацией, состоящей в наблюдении числа m1 появленийсобытия A1 в серии из m испытаний, образующих схему Бернулли. Такжеисследователь выдвигает гипотезу, что в будущем поведение схемы Бернуллизадаетсярандомизированнымраспределениявеличиныпараметром~p1 ,имеющимплотностьf ~p1 ( p1 ) .

В частности, это может быть экспертная оценкаp1 . Соединяя при помощи «формулы Байеса» эмпирическую86информацию о частоте m1 появления события A1 в прошлом с информацией,описываемой «гипотетической» плотностью f ~p ( p1 ) , исследователь получает1условную плотность f ~p ( p1 / m1 ) , задающую условную случайную величину*1~~p1*  β (ν1  m1 , ν2  m2 ) , которую можно использовать для получения прогнознойоценки~p1*  E ~p1*  E β (ν1  m1 , ν2  m2 )вероятности появления событияA1вотдельном испытании в будущем.Перенесем теперь рассмотренную байесовскую схему оценки параметрабиномиального распределения на более общий случай оценки параметровполиномиального распределения. А именно, поставим задачу оценки векторавероятностейp1 ,..., pr ,определяющегоплотностьраспределенияx , как задачу оценки параметровf m~ (m1,..., mr / p1 ,...., pr ) случайной величины ~p1 ,..., pr полиномиального распределения~  m ,..., m~ m /~~f m~ (m1 ,..., mn / p1 ,..., p n )  P({m11nn p1  p1 ,..., p n  p n }) n!p1m1  ...

 p nmn ,m1! ...  mn !где pi  (0,1) есть вероятность осуществления события Ai в последовательностиm независимых испытаний с n альтернативными исходами, имеющими~ ,..., m~ ) ( (m ,..., m ) ) –постоянные вероятности pi , i  1,..., n , соответственно; (m1n1nвектор случайных частот (наблюдаемых частот) появления событий A1 ,..., An вm испытаниях; m1  ...  mn  m . Таким образом, величина f m~ (m1 ,..., mn / p1 ,...., pn )есть условная вероятность появления событий A1 ,..., An в m испытаниях ровноm1 ,..., mn разпри условии, что вероятность появления каждого события Ai водном испытании равна pi .Знание совместного распределения f m~ (m1 ,..., mn / p1 ,...., pn ) случайных частот~ ,..., m~ позволяет найти математическое ожидание E m~  m p и дисперсиюm1rii~  m p (1  p ) случайной частоты m~ , а также ковариацию cov(m~ ,m~ )  m p pDmiji jiiii~ ,m~ :случайных частот mij~E f i  pi ,87~ p (1  pi ),D fi  imp p~ ~cov( f i , f j )   i j .mНеопределенность выбора значения векторного параметра p описываетсярандомизациейслучайныйпараметроввекторполиномиальногопараметров~p,распределения,дающейраспределениеДирихлеимеющий(обобщенное бета-распределение) с параметрами v1 ,..., vn , vi  0 , i  1,..., n .

Иными~словами, ~p  ( ~p1 ,..., ~p n )   (v1 ,..., v n ) , где~~~ (v1 ,..., v n )  ( 1 ,...,  n ) есть непрерывнаяслучайная величина, описываемая плотностью:f ~p ( p)  f ~ ( p1 ,..., p r ; v1 ,..., v r ) p1v11  ...  p rvr 1, (v1 ,..., v r )где (v1 ,..., vr ) есть интеграл Дирихле (обобщенная бета-функция), задаваемыйформулой:n 1(v1 ,..., v r )   ...  ... (1  x1  ...  x n 1 ) vr 1  xivi 1 dx1 ...dxn 1 ,i 1S n*1где интегрирование идет по единичному (n  1) -мерному симплексу S n*1 ,расположенномувевклидовомпространствеR n 1 :S n*1  {( x1 ,..., xn1 ) : x1  ...  xn1  1, xi  1, i  1,..., n  1} .Обобщенную бета-функцию (v1 ,..., vn ) можно выразить через гаммафункции:(v1 ,..., vn ) (v1 )  ...  (vn ).(v1  ...

Характеристики

Список файлов диссертации