Диссертация (1150880), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Пусть , ∈ Ω( ),и предположим, что ∈ () ∩ (). По теореме 1, поскольку Ω( ) гиперболично, найдутся такое число > 0 и такие числа , ∈ N, что − () ∈ ( − ()) и () ∈ ( ()).Будем говорить, что неустойчивое многообразие () и устойчивое многообразие ()трансверсальны в точке , если – точка трансверсального пересечения многообразий ( ()) и − ( ()). Будем говорить, что неустойчивое многообразие () и устойчивое многообразие () трансверсальны, если они трансверсальны во всех точках пересечения.Определение 16. Пусть диффеоморфизм , удовлетворяет аксиоме А. Будем говорить,что удовлетворяет строгому условию трансверсальности, если для любых точек , ∈Ω( ) неустойчивое многообразие () и устойчивое многообразие () трансверсальны.Как уже отмечалось во введении, выполнена теорема.Теорема 4. Пусть : → — диффеоморфизм гладкого замкнутого риманова многообразия. Тогда следующие три утверждения эквивалентны:13(1) удовлетворяет аксиоме А и строгому условию трансверсальности;(2) структурно устойчив;(3) обладает липшицевым свойством отслеживания.Доказательство содержится в работах [1–5].Нам также потребуется следующее определение.Определение 17.

Будем говорить, что диффеоморфизм является диффеоморфизмомАносова, если все многообразие является гиперболическим множеством.Отметим, что диффеоморфизмы Аносова являются структурно устойчивыми (см. [16]).14Глава 1Отслеживание для систем с аксиомой АВ данной главе исследуется связь между свойством отслеживания и типами пересеченияустойчивых и неустойчивых многообразий дискретных динамических систем размерности 3,удовлетворяющих аксиоме А.Отправной точкой для данного исследования послужила работа [6], где рассматриваетсятот же вопрос для двумерных систем.

В ней было введено свойство 0 -трансверсальностипересечения двух кривых на плоскости (или, более общо, на двумерном многообразии) иосновным результатом было утверждение, что для двумерных динамических систем, удовлетворяющих аксиоме А, свойство отслеживания эквивалентно 0 -трансверсальности пересечений устойчивых и неустойчивых многообразий (см. также [7]).Отметим также работу [10], в которой сформулировано общее определение 0 трансверсальности и доказано, что для случая кривых на двумерном многообразии оно совпадает с определением, предложенным в [6].В данной главе мы показываем, что сформулированное нами определение 0 -трансверсальности не является необходимым для свойства отслеживания: мы построим пример трехмерной системы с аксиомой А, обладающей свойством отслеживания, у которой пересекаются одномерное устойчивое и одномерное неустойчивое многообразия гиперболических неподвижных точек.1.1Базовые понятия и определенияВ этом разделе мы напомним определение 0 -трансверсальности двух непрерывных отображений топологических пространств в многообразие, предложенное в работе [10], и определим условие 0 -трансверсальности для диффеоморфизма гладкого многообразия, удовлетворяющего аксиоме А.Пусть (, dist) — гладкое замкнутое связное многообразие с римановой метрикой dist, а — топологическое пространство.На пространстве всех непрерывных отображений из в многообразие (которое мыбудем обозначать через (, )), введем 0 -равномерную метрику, заданную по правилу:15для 1 ,2 ∈ (, )|1 ,2 | 0 = sup(dist(1 (),2 ())).∈Определение 18.

Пусть > 0, A,B — топологические пространства, ⊂ , ⊂ — произвольные подмножества, и пусть даны два непрерывных отображения ℎ1 : → ,ℎ2 : → . Будем говорить, что пересечение ℎ1 ( ) ∩ ℎ2 ( ) -существенно, если длялюбых непрерывных отображенийℎ̃︀1 : → ,ℎ̃︀2 : → ,таких что |ℎ1 ,ℎ̃︀1 | 0 ≤ , |ℎ2 ,ℎ̃︀2 | 0 ≤ , выполненоℎ̃︀1 ( ) ∩ ℎ̃︀2 ( ) ̸= ∅.Определение 19. Пусть вновь ,— топологические пространства, ℎ1 : → ,ℎ2 : → — непрерывные отображения, и пусть точки ∈ , ∈ таковы, что ℎ1 () =ℎ2 (). Будем говорить, что в паре точек (,) отображения ℎ1 и ℎ2 0 -трансверсальны, если для любых открытых множеств () ⊂ , () ⊂ , таких что ∈ (), ∈ (),найдется такое > 0, что пересечение ℎ1 ( ()) ∩ ℎ2 ( ()) -существенно.Наконец, дадим определение 0 -трансверсальности двух отображений.Определение 20.

Пусть , — топологические пространства, а ℎ1 : → , ℎ2 : → — непрерывные отображения. Будем говорить, что ℎ1 и ℎ2 0 -трансверсальны, еслидля любых точек ∈ , ∈ , таких что ℎ1 () = ℎ2 (), отображения ℎ1 и ℎ2 0 трансверсальны в паре точек (,).Ясно, что данное нами определение 0 -трансверсальности двух отображений не зависитот римановой метрики на многообразии .

В частном случае, когда , ⊂ , нам будетудобно ввести еще одно определение.Определение 21. Пусть , ⊂ , ∩ ̸= ∅. Мы будем говорить, что в точке ∈ ∩ пересекается с 0 -трансверсально, если отображения вложения : → , () = ,и : → , () = , 0 -трансверсальны в паре точек (,).Отметим также, что из теоремы о трансверсальности (см. [17]) и возможности аппроксимации непрерывных отображений гладкими (также см. [17]) вытекает следующее утверждение.Утверждение 2. Пусть , — гладкие связные многообразия, : → , : → — непрерывные отображения. Если найдется такая пара точек (,), ∈ , ∈ , чтоотображения и 0 -трансверсальны в (,), то dim() + dim() ≥ dim( ).161.2Условие 0-трансверсальностидля систем с аксиомойА.В дальнейшем мы будем предпологать, что — замкнутое связное гладкое римановомногообразие, : → — диффеоморфизм, удовлетворяющий аксиоме А.

Через Ω( )будем обозначать неблуждающее множество .По теореме 1 об устойчивом многообразии найдется такое > 0, что через каждую точку ∈ Ω( ) проходят устойчивое () и неустойчивое () многообразия размера , т.е. () = exp (graph ),где exp — экспоненциальное отображение в точке ∈ , : () → () — 1 -гладкоеотображение, константа Липшица Lip( ) ≤ 1, (0) = 0, D (0) = 0, а graph = {(, ()) | ∈ ()}, и аналогичные утверждения верны для (). В дальнейшем это число фиксировано.Кроме того, () =⋃︁ − ( ( ())),∈N∪{0} () =⋃︁(1.2.1) ( ( − ())).∈N∪{0}Теперь мы сформулируем условие 0 -трансверсальности для диффеоморфизма замкнутого многообразия , удовлетворяющего аксиоме А.Пусть диффеоморфизм удовлетворяет аксиоме А, , ∈ Ω( ), и существует ∈ () ∩ (). Через − () и + () будем обозначать наименьшие натуральные числа, удовлетворяющие соотношениям −− () () ∈ ( −− () ()), + () () ∈ ( + () ()).Отметим также, что ∈ − () ( ( −− () ())) ∩ −+ () ( ( + () ())).Определение 22.

Будем говорить, что диффеоморфизм удовлетворяет условию 0 трансверсальности, если любая точка ∈ () ∩ (), где ,ляется -трансверсальной точкой пересечения многообразий 0 −+ () ( ( + () ())).− ()∈Ω( ), яв-( ( −− () ()))и17Отметим, что в случае dim = 2 наше определение системы с аксиомой А, удовлетворяющей условию 0 -трансверсальности, совпадает с предложенным в [6].1.3Основной результатМы докажем следующее утверждение.Теорема 5. Существует 1 -гладкий диффеоморфизм : → гладкого 3-многообразия , удовлетворяющий следующим условиям:(1) удовлетворяет аксиоме ;(2) найдутся такие две неподвижные гиперболические точки 1 ,2 , что (1 ) ∩ (2 ) ̸= ∅, dim( (1 )) = dim( (2 )) = 1;(3) обладает гельдеровым свойством отслеживания с показателем Гельдера 41 .Приведенная ниже иллюстрация (рисунок 1) показывает общий вид пересечения одномерных многообразий: неустойчивое многообразие точки 1 наматывается на устойчивое многообразие точки 2 подобно спирали, делая бесконечное число витков при приближении кточке пересечения.

(2 ) (1 ) (2 )21 (1 )Рисунок 1.1: Схематичное изображение пересечения неустойчивого и устойчивогомногообразий точек 1 и 2 .Отметим также, что наиболее интересным случаем поведения псевдотраектории является тот, в котором псевдотраектория близко подходит к точке пересечения устойчивого инеустойчивого многообразий. В этом случае отследить ее удается именно из-за эффекта спиралевидного пересечения многообразий.Доказательство мы разобьем на две части.

Вначале мы построим локальный диффеоморфизм (т.е. зададим систему на открытом подмножестве в R3 ), затем докажем, что построенная система обладает сформулированным нами свойством отслеживания, и продемонстрируем, как можно вложить построенное нами отображение в диффеоморфизм трехмерногомногообразия 1 × 2 , где под мы имеем в виду сферу размерности .181.4Локальная конструкцияДля точки ∈ R3 ее координаты будем записывать в виде: = ( , , ).Для пары чисел (,) ∈ R2 положим1|(,)| = (2 + 2 ) 2 ,для тройки чисел (,,) ∈ R3 ,1|(,,)| = (2 + 2 + 2 ) 2 .Для точки ∈ R3 , и чисел > 0, > 0 положим (,,) = { ∈ R3 | | − | ≤ , |( , ) − ( , )| ≤ }.(1.4.1)Ясно, что существует такая ∞ -функция 1 : [−1,9] → [−3,8 13 ], что:– 1−1 существует и также принадлежит классу ∞ ;– 1 () = 3 для ∈ [−1,1],– 1 () = + 2 для ∈ [1 + ,5],– 1 () = 31 ( − 8) + 8 для ∈ [5 + 3, 9],– 1 () − > 0 для ∈ (0,8),где ∈ (0,1).2392(1.4.2)Такая функция 1 является строго монотонной на промежутке (0,8), имеет в точности двенеподвижные точки = 0 и = 8, причем первая является гиперболической отталкивающей,вторая гиперболической притягивающей.Пусть : [0,1] → [0,1] — строго монотонная гладкая функция, (0) = 0, (1) = 1, ′ (0) =′ (1) = 0, и пусть : [−1,1] → [0,1] — такая функция класса ∞ , что |[−1+,1−] ≡ 1, |[−1,−1+ 2 ] ≡ 0, |[1− 2 ,1] ≡ 0.198 = 1 ()50 18Рисунок 1.2: Схематичный график функции 1 .Далее мы построим отображение ℎ1 : → R2 , где = (−1,9) × R × R ⊂ R3 .Опишем неформально общий вид этого отображения.

Характеристики

Список файлов диссертации